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Factoreo de polinomios. Operaciones con fracciones.


 

 


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OPERACIONES CON FRACCIONES

La adición, sustracción, multiplicación y división que incluyen fracciones algebraicas se suelen simplificar por medio del factoreo, y serian muy complicadas sin el empleo de éste.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones que contienen polinomios es similar a la multiplicación de fracciones que contienen sólo números aritméticos. Si toma en cuenta este hecho el estudiante tendrá pocas dificultades para manejar la multiplicación en álgebra. Por ejemplo, recordamos que para multiplicar una fracción por un número entero, multiplicamos simplemente el numerador por el número entero. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo:

A veces el trabajo se simplifica factoreando y tachando antes de realizar la multiplicación. El ejemplo que sigue ilustra esto:

Cuando el multiplicador es una fracción pueden aun aplicarse las reglas de la aritmética: es decir, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Esto se ilustra a continuación:

Cuando es posible, el trabajo puede reducirse de modo considerable factoreando, simplificando y luego realizando la multiplicación como en estos ejemplos:

Si bien los factores pueden multiplicarse para formar dos trinomios como se indica, por lo general es suficiente con dejar la respuesta en la forma factoreada.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, multiplicar como se señala:

División de fracciones

Las reglas de la aritmética se aplican a la división de fracciones algebraicas; igual que en aritmética, simplemente se invierte el divisor y se multiplica, así:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, dividir y reducir a los mínimos términos:

Suma y resta de fracciones

Las reglas de la aritmética para sumar y restar fracciones son aplicables a las fracciones algebraicas. Las fracciones que se combinan para la adición o sustracción deben tener el mismo denominador. Los numeradores se combinan entonces de acuerdo con las operaciones indicadas y el resultado se coloca sobre el denominador. Por ejemplo, en la expresión

el segundo denominador será el mismo que el primero si se cambia su signo. El valor de la fracción permanecerá igual si el signo del numerador se cambia también. Entonces, tenemos esta simplificación:

Cuando los denominadores no son los mismos deben reducirse a común denominador todas las fracciones a sumar o sustraer y luego se procede.

Consideremos, por ejemplo,

Primero determinamos el mínimo común denominador (MCD). Recuerde que éste es el mínimo número exactamente divisible por cada uno de los denominadores. Para determinar este número, como en aritmética, primero separamos cada uno de los denominadores en factores primos. El MCD contendrá todos los diversos factores primos, tantas veces como aparecen en cada uno de los denominadores.

Factoreando, resulta

y el MCD es (x + 2) (x - 2) (x - 6). Volviendo a escribir las fracciones con este denominador y sumando los denominadores, tenemos la siguiente expresión:

                      

Como otro ejemplo, consideremos

Factoreando el denominador de la segunda fracción, determinamos que el MCD es (x + 3) (x + l). Volviendo a escribir las fracciones originales con el MCD como denominador, combinamos ahora las fracciones de esta forma:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones señaladas en cada uno de los siguientes problemas;

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