OPERACIONES CON FRACCIONES
La adición, sustracción, multiplicación
y división que incluyen fracciones algebraicas se suelen
simplificar por medio del factoreo, y serian muy complicadas
sin el empleo de éste.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones que contienen polinomios
es similar a la multiplicación de fracciones que contienen
sólo números aritméticos. Si toma en
cuenta este hecho el estudiante tendrá pocas dificultades
para manejar la multiplicación en álgebra. Por
ejemplo, recordamos que para multiplicar una fracción
por un número entero, multiplicamos simplemente el
numerador por el número entero. Esto se ilustra con
el siguiente ejemplo:
A veces el trabajo se simplifica factoreando y tachando antes
de realizar la multiplicación. El ejemplo que sigue
ilustra esto:
Cuando el multiplicador es una fracción pueden aun
aplicarse las reglas de la aritmética: es decir, se
multiplican los numeradores entre sí y los denominadores
entre sí. Esto se ilustra a continuación:
Cuando es posible, el trabajo puede reducirse de modo considerable
factoreando, simplificando y luego realizando la multiplicación
como en estos ejemplos:
Si bien los factores pueden multiplicarse para formar dos
trinomios como se indica, por lo general es suficiente con
dejar la respuesta en la forma factoreada.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, multiplicar como se señala:
División de fracciones
Las reglas de la aritmética se aplican a la división
de fracciones algebraicas; igual que en aritmética,
simplemente se invierte el divisor y se multiplica, así:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, dividir y reducir a los mínimos
términos:
Suma y resta de fracciones
Las reglas de la aritmética para sumar y restar fracciones
son aplicables a las fracciones algebraicas. Las fracciones
que se combinan para la adición o sustracción
deben tener el mismo denominador. Los numeradores se combinan
entonces de acuerdo con las operaciones indicadas y el resultado
se coloca sobre el denominador. Por ejemplo, en la expresión
el segundo denominador será el mismo
que el primero si se cambia su signo. El valor de la fracción
permanecerá igual si el signo del numerador se cambia
también. Entonces, tenemos esta simplificación:
Cuando los denominadores no son los mismos deben
reducirse a común denominador todas las fracciones
a sumar o sustraer y luego se procede.
Consideremos, por ejemplo,
Primero determinamos el mínimo común
denominador (MCD). Recuerde que éste
es el mínimo número exactamente divisible por
cada uno de los denominadores. Para determinar este número,
como en aritmética, primero separamos cada uno de los
denominadores en factores primos. El MCD contendrá
todos los diversos factores primos, tantas veces como aparecen
en cada uno de los denominadores.
Factoreando, resulta
y el MCD es (x + 2) (x - 2) (x - 6).
Volviendo a escribir las fracciones con este denominador y
sumando los denominadores, tenemos la siguiente expresión:
Como otro ejemplo, consideremos
Factoreando el denominador de la segunda fracción,
determinamos que el MCD es (x + 3) (x + l).
Volviendo a escribir las fracciones originales con el MCD
como denominador, combinamos ahora las fracciones de esta
forma:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones señaladas en cada uno de los
siguientes problemas;
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