CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

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Operaciones con polinomios y monomios. Factoreo de polinomios. Operaciones con fracciones.

 


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Adición de polinomios

Sean los dos polinomios :

P = a - b + c,

Q = m + n - p.

La adición se indicará del modo siguiente :

P + Q = (a - b + c) + (m + n- p),

esto es P + Q = a - b + c + m +n - p.

Regla. — Para sumar varias cantidades algebraicas, se colocan unas a continuación de otras con los signos de sus términos respectivos. Si la suma contiene términos semejantes, se reducen.

Sean los polinomios

La adición indicada es: p(x) + q(x) = 3x2 + 5x3 +6 + 8x2 -3x3 +1

El resultado se obtiene mediante el siguiente proceso:

Escribimos los polinomios de tal forma que sus monomios semejantes queden en columna.

Sumamos los monomios semejantes que haya. Observamos que la suma de dos polinomios es otro polinomio. Así que:

p(x) + q(x) = h(x) = 11x2 + 2x3 +7

Hallemos la adición de los siguientes polinomios:

m(x) = 12x4 -16x3 + 5x +7   y    s(x) = 2x3 +5x2 -1

La adición indicada es:

m(x) +s(x) = 12x4 -16x3 + 5x +7 + 2x3 +5x2 -1= t(x)

escribimos los polinomios de tal manera que sus monomios semejantes queden en columna.

Sumamos los monomios semejantes.

Luego m(x) + s(x) =12x4-14x3 + 5x + 6 +5x2 = t(x)

Es conveniente ordenar el polinomio resultante:

12x4 -14x3 + 5x + 6 +5x2 = 12x4 -14x3 + 5x2 + 5x + 6 = t(x)

A menudo la adición de varios polinomios se indica sin efectuarla inmediatamente; para ello, cada polinomio se pone entre paréntesis, y se escriben estos paréntesis unos a continuación de otros, uniéndolos con el signo +

Para indicar la adición de a + b con c + d y con - a + d - c, escribiremos :

(a + b) + (c + d) + (-a + d - c)

Diferencia de polinomios

Definición. — Restar dos cantidades algebraicas es buscar otra tal que su valor numérico sea igual á la diferencia de los valores numéricos de las dos expresiones dadas;

ó de otro modo :

Sustracción algebraica es una operación que tiene por objeto, dadas dos expresiones algebraicas, encontrar otra que, sumada con la segunda, de la primera.

Consideremos los polinomios reales:

f(x) = 6x2 -3x +2      y

g(x)=5x2 +2x -1

Su diferencia indicada es: f(x)-g(x)=6x2 -3x +2 -(5x2 +2x -1)

Al suprimir el paréntesis del polinomio f(x) - g(x) resulta:

6x2 -3x +2 -(5x2 +2x -1) = 6x2 -3x +2 - 5x2 - 2x +1

Ahora sumamos los monomios semejantes:

El resultado es otro polinomio: h(x) = x2 -5x +3

Luego f(x) -g(x) = h(x) = x2 -5x +3

Observemos que los signos de los términos del polinomio g(x) cambiaron por sus opuestos aditivos.

Para restar una cantidad algebraica de ótra, se escribe primero el minuendo, y a continuación el sustraendo, cambiando los signos de sus términos. En seguida, se reducen los términos semejantes, si los hay, o sea, diremos que para hallar la diferencia de dos polinomios, se cambian los signos del polinomio sustraendo y luego se adicionan los polinomios.

Siempre pueden ponerse entre paréntesis varios términos de un polinomio; si el paréntesis ha de estar precedido del signo +, los términos que encierra conservan sus signos respectivos; si ha de estar precedido del signo -, los términos cambian de signo.

En álgebra el vocablo adición no es sinónimo de aumento, ni el vocablo sustracción lo es de diminución. Al añadir un polinomio a otro polinomio, habrá aumento si el valor numérico de aquél es positivo, esto es, mayor que cero; en caso contrario habrá diminución.

Asimismo, al restar un polinomio de ótro, habrá diminución si el valor del sustraendo es positivo; al contrario, habrá aumento si este valor es negativo.

Multiplicación de dos monomios

Multiplicar dos expresiones algebraicas es buscar otra cuyo valor numérico sea igual al producto de los valores numéricos de las expresiones dadas;

ó de otro modo :

Llámase producto de dos números algebraicos un número cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los números dados, cuyo signo es (+) ó (-) según que los dos números tengan ó no el mismo signo.

De donde resulta la regla de los signos :

Esta regla se enuncia del modo siguiente : El producto de dos términos de igual signo es positivo, y el producto de dos términos de signo contrario es negativo.

Sean los monomios

Recordaremos este principio de aritmética : No se altera el producto de varios factores, cuando se invierte el orden de ellos.

p(x) =3x2 y

q(x) =2x

El valor numérico de 3x2 para x = 2 es: 3.22= 12

El valor numérico de 2x para x = 2 es: 2. 2 = 4

El producto indicado de p(x) y q(x) es: 3x2 . 2x =h(x)

El producto de los valores numéricos de p(x) y q(x) para x =2, es:

12 X 4 = 48

Consideremos el monomio 6x3. Observemos que su coeficiente (6) es el producto de los coeficientes (3 y 2) de los monomios p(x) y q(x) y su exponente (3) es la suma de los exponentes (2 y 1) de los monomios p(x) y q(x). El valor numérico del monomio 6x3 para x = 2 es: 6. 23=48, que es igual al valor numérico del monomio h(x). Luego:

p(x) . q(x) = h(x) =3x2. 2x =6x3

Entonces, el producto de dos monomios (semejantes o no) es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios que se multiplican y cuya parte literal tiene por exponente la suma de los respectivos exponentes de las indeterminadas de los monomios que se multiplican.

o, de otra manera :

Para multiplicar un monomio por otro monomio, se multiplican los coeficientes, y a continuación se escriben las diferentes letras que contienen, poniéndoles un exponente igual á la suma de los que tienen en ellos. Si una letra se halla sólo en un factor, se le da por exponente el mismo que tiene en este factor.

Ejemplos:

a) 6x4. 3x2 = (6 . 3) x4 + 2 = 18x6

b) 2x2y . 3X4y2= (2 . 3) x2+4 y 1+2 = 6x6 y3

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Consideremos el monomio f(x) =5x4 y el polinomio g(x) =6x2 -3x +6

Su producto indicado es: f(x). g(x) = 5x4. (6x2 -3x +6 )

Diremos que para multiplicar un monomio real por un polinomio real, multiplicamos el monomio por cada término del polinomio (por propiedad distributiva de . respecto de + en ) y finalmente sumamos los términos semejantes, que resulten, así:

5x4. (6x2 -3x +6 ) = (5x4 . 6x2) -(5x4. 3x) + (5x4 . 6) = 30x6 -15x5 + 30x4

Observamos que el resultado es un polinomio, así que:

f(x) .g(x) = h(x) = 5x4. (6x2 -3x +6 ) = 30x6 -15x5 + 30x4

Multiplicación de dos polinomios

Diremos ahora que para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio, luego se suman los monomios semejantes que resulten. O también, para multiplicar un polinomio por ótro, se multiplica todo el multiplicando por cada término del multiplicador, observando la regla de los signos, y se suman los productos obtenidos.

Ejemplo:

m(x) = -12x3 + 5x4 +x y

s(x) = 2x2 + 3x -2,

entonces:

m(x).s(x) =(-12x3+5x4+x) . (2x2 +3x -2)

                = -12x3. 2x2 -12x3 .3x +12x3 .2 +5x4. 2x2 +5x4. 3x -5x4.2 +x. 2x2 +x.3x -x.2

                =-24x5 -36x4 +24x3 +10x6 +15x5 -10x4 + 2x3 + 3x2 -2x

                =10x6 -9x5 -46x4 +26x3 +3x2 -2x,

este es el resultado final, después de sumar los monomios semejantes y ordenar el polinomio.

Potencia de un monomio

Recordemos que elevar un número real x a un exponente n ∈ ℜ es multiplicar a x, n veces por sí mismo. Es decir, xn = x .x .x ... x, n veces. Ejemplo = 63 = 6.6.6 = 216.

Si consideramos el monomio real f(x) = 3x2, su cuadrado será:

[f(x)]2 = (3x2)2 = (3x2) . (3x2) = 9x4.

De manera que para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente a la potencia indicada y cada exponente de la parte literal se multiplica por el exponente de la potencia.

Ejemplos:

g(x) = 5x3, entonces

[g(x)]2 = (5X3)2 = 52 x 3.2 = 25x6

f(x,y) = - 2xy2 entonces

[f(x, y)]4   = (-2xy2)4 

                 = - 24x4 y2.4

                 = 16x4y8

Operaciones con fracciones algebraicas

La adición, sustracción, multiplicación y división que incluyen fracciones algebraicas se suelen simplificar por medio del factoreo, y serian muy complicadas sin el empleo de éste.

Temas relacionados :

Multiplicación de fracciones algebraicas

La multiplicación de fracciones que contienen polinomios es similar a la multiplicación de fracciones que contienen sólo números aritméticos. Si toma en cuenta este hecho el estudiante tendrá pocas dificultades para manejar la multiplicación en álgebra. Por ejemplo, recordamos que para multiplicar una fracción por un número entero, multiplicamos simplemente el numerador por el número entero. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo:

A veces el trabajo se simplifica factoreando y tachando antes de realizar la multiplicación. El ejemplo que sigue ilustra esto:

Cuando el multiplicador es una fracción pueden aun aplicarse las reglas de la aritmética: es decir, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Esto se ilustra a continuación:

Cuando es posible, el trabajo puede reducirse de modo considerable factoreando, simplificando y luego realizando la multiplicación como en estos ejemplos:

Si bien los factores pueden multiplicarse para formar dos trinomios como se indica, por lo general es suficiente con dejar la respuesta en la forma factoreada.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, multiplicar como se señala:

División de fracciones

Las reglas de la aritmética se aplican a la división de fracciones algebraicas; igual que en aritmética, simplemente se invierte el divisor y se multiplica, así:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, dividir y reducir a los mínimos términos:

Suma y resta de fracciones

Las reglas de la aritmética para sumar y restar fracciones son aplicables a las fracciones algebraicas. Las fracciones que se combinan para la adición o sustracción deben tener el mismo denominador. Los numeradores se combinan entonces de acuerdo con las operaciones indicadas y el resultado se coloca sobre el denominador. Por ejemplo, en la expresión

el segundo denominador será el mismo que el primero si se cambia su signo. El valor de la fracción permanecerá igual si el signo del numerador se cambia también. Entonces, tenemos esta simplificación:

Cuando los denominadores no son los mismos deben reducirse a común denominador todas las fracciones a sumar o sustraer y luego se procede.

Consideremos, por ejemplo,

Primero determinamos el mínimo común denominador (MCD). Recuerde que éste es el mínimo número exactamente divisible por cada uno de los denominadores. Para determinar este número, como en aritmética, primero separamos cada uno de los denominadores en factores primos. El MCD contendrá todos los diversos factores primos, tantas veces como aparecen en cada uno de los denominadores.

Factoreando, resulta

y el MCD es (x + 2) (x - 2) (x - 6). Volviendo a escribir las fracciones con este denominador y sumando los denominadores, tenemos la siguiente expresión:

                      

Como otro ejemplo, consideremos

Factoreando el denominador de la segunda fracción, determinamos que el MCD es (x + 3) (x + l). Volviendo a escribir las fracciones originales con el MCD como denominador, combinamos ahora las fracciones de esta forma:

Otro ejemplo, sumar las fracciones algebraicas :

Solución:

Indicamos la operación así:

Como los denominadores no son iguales los factorizamos y transformamos las fracciones dadas en otras fracciones equivalentes con denominador común.

b) El común denominador será el producto de los polinomios primos comunes y no comunes con su mayor exponente, o sea que este producto es el mínimo común múltiplo de los denominadores (M.C.M):(x + 3)2(x - 2)

 

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones señaladas en cada uno de los siguientes problemas;

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