CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)


   

 

Enteros positivos. Métodos de combinación de los enteros.


 

 


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NÚMEROS DENOMINADOS

Hemos aprendido que no hay dificultad en sumar o restar números denominados, suponiendo que se ordenan las unidades, decenas, centenas, etcétera, en sus respectivas columnas. La multiplicación y división de los números denominados se puede realizar también con relativa facilidad, usando la experiencia lograda en la adición y sustracción.

MULTIPLICACIÓN

Para la multiplicación de números denominados por enteros no se necesitan nuevas ideas. Si en el problema 3 (5 m 2 cm 6 mm) recordamos que puede multiplicarse separadamente cada parte para obtener el producto correcto ( como en el ejemplo 6(8) = 6(3) + 6(5)), podemos determinar fácilmente el producto, como sigue:

Simplificando, obtenemos

15 m 7 cm 8 mm

Cuando se multiplica un número denominado por otro surge una cuestión concerniente a los productos de las unidades de medida. El producto de una unidad por otra del mismo tipo es el cuadrado de la unidad. Por ejemplo, 1 cm por 1 cm es 1 centímetro cuadrado, que se abrevia 1 cm2; 2 cm por 3 cm es 6 cm2, etcétera. Si es necesario multiplicar números tales como 2 yardas 1 pie por 6 yardas 2 pies, las unidades pies deben convertirse a fracciones de una yarda, como se indica:

Para completar la multiplicación se necesita un conocimiento de las fracciones. Las fracciones se explican mas adelante en este curso.

DIVISIÓN

La división de números denominados requiere dividir primero las unidades más grandes y, si hay un resto, la conversión a la unidad inferior siguiente, y repetir la división hasta que todas las unidades hayan sido divididas.

En el ejemplo 24 hr 1 m 15 seg : 5, realizamos los siguientes pasos:

Paso 1:

Paso 2: Convertir 4 hr (resto) a 240 m y sumar 1 m.

Paso 3:

Paso 4: Convertir 1 m a 60 seg y sumar 15 seg.

Paso 5:

Por tanto, 24 hr 1 m 15 seg dividido por 5 es 4 1hr 48 m 15 seg.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 4, dividir como se indica. En los problemas 5 a 8, multiplicar o dividir como se ha señalado:

ORDEN DE LAS OPERACIONES

Cuando se indica una serie de operaciones que comprenden adición, sustracción, multiplicación o división es importante el orden en que se realizan sólo si está comprendida la división o si las operaciones se hallan mezcladas. Una serie de adiciones, sustracciones o multiplicaciones individuales pueden realizarse en cualquier orden.

Por tanto, en

4 + 2 + 7 + 5 = 18
ó
100 - 20 - 10 - 3 = 67
ó
4 x 2 x 7 x 5 = 280

los números pueden combinarse en cualquier orden deseado. Por ejemplo, pueden agruparse fácilmente para dar

6 + 12 = 18
y
97 - 30 = 67
y
40 x 7 = 280

Una serie de divisiones deberá efectuarse en el orden indicado.

Por consiguiente,

100 ÷10 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5

En una serie de operaciones mezcladas se efectúan primero las multiplicaciones, a continuación las divisiones y por último las adiciones y sustracciones.

Por ejemplo,

Observe que 25 ÷ 5 puede calcularse al mismo tiempo que se calcula 4 X 10, puesto que debe realizarse otra multiplicación en la primera parte del problema.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Calcular cada una de las siguientes expresiones:
1. 9 ÷ 3 + 2
2. 18 - 2 x 5 + 4
3. 90 ÷ 2 ÷ 9
4. 75 ÷ 5 x 3 ÷ 5
5. 7 + 1 - 8 x 4 ÷16

Respuestas

1.  5          4.  1
2.  12        5.  6
3.  5

Realiza las operaciones siguientes:

a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12
b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)]
c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17]
d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5]

a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 18 – 40 : 8 – 3 = 18 – 5 – 3 = 10
b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 4 + 4 – 50 : 25 = 8 – 2 = 6
c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 48 : [15 + 8 – 17] = 48 : 6 = 8
d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = 12 – 15 : [12 + 4 · (–5) + 5] =
= 12 – 15 : [12 – 20 + 5] = 12 – 15 : (–3) = 12 + 5 = 17

MÚLTIPLOS, Y FACTORES

Todo número que es exactamente divisible por un número dado es un MÚLTIPLO del número dado. Por ejemplo, 24 es un múltiplo de 2, 3, 4, 6, 8 y 12, puesto que es divisible por cada uno de esos números. Decir que 24 es un múltiplo de 3, por ejemplo, equivale a expresar que 3 multiplicado por algún número entero dará 24. Todo número es múltiplo de sí mismo y también de 1.

Todo número que es un múltiplo de 2 es un NÚMERO PAR. Los números pares comienzan en 2 y se suceden de 2 en 2, como se indica:

2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Todo número que no es múltiplo de 2 es un NÚMERO IMPAR. Los números impares comienzan en 1 y progresan de 2 en 2, como se indica:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Todo número que puede dividirse en un número dado, sin resto, es un FACTOR del número dado. El número dado es un múltiplo de cualquier número que sea uno de sus factores. Por ejemplo, 2, 3, 4, 6, 8 y 12 son factores de 24. Las cuatro igualdades siguientes muestran diversas combinaciones de los factores de 24:

24 = 24 . 1              24 = 8 . 3
24 = 12 . 2              24 = 6 . 4

Si el número 24 se factorea todo lo posible, toma la forma

24 = 2 . 2 . 2 . 3

EL CERO COMO FACTOR

Si un número cualquiera se multiplica por cero el producto es cero. Por ejemplo, 5 por cero es igual a cero y podrá escribirse 5 (0) = 0. La ley del factor cero nos dice que si el producto de dos o más factores es cero, por lo menos uno de los factores debe ser cero.

FACTORES PRIMOS

Un número que tiene otros factores además de 1 y de sí mismo es un NÚMERO COMPUESTO. Por ejemplo, el número 15 es compuesto. Tiene los factores 5 y 3.

Un concepto esencial en la teoría de números es el del número primo. Anteriormente hemos visto que cada número p >1 es divisible por 1 y por p. Si éstos son los únicos divisores positivos de p, diremos entonces que p es un número primo. A un número entero a > 1, que no es primo le denominaremos compuesto. De la definición de número primo, resulta evidente que un entero p > 1 es primo si y sólo si es imposible expresar p como a.b, donde a y b son enteros, y ambos 1< a <p y 1< b < p.

Un número que no posee otros factores excepto 1 y sí mismo es un NÚMERO PRIMO. Puesto que a veces resulta ventajoso separar un número compuesto en sus factores primos, es útil poder reconocer rápidamente unos pocos primos. La serie que sigue muestra todos los números primos hasta 60:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.

Observe que el 2 es el único número primo par. Todos los otros números pares son divisibles por 2. Advierta además que 51, por ejemplo, no aparece en la serie, pues es un número compuesto igual a 3 x 17.

En el conjunto de los diez primeros números naturales 2, 3, 5 y 7 son primos, mientras que 4, 6, 8, 9 y 10 son números compuestos.  Observemos que el número 2 es el único número primo par.

Si un factor de un número es primo se lo llama FACTOR PRIMO, Para separar un número en factores primos se comienza separando el factor más pequeño. Si el número es par se sacan primero todos los 2, luego se prueba el factor 3, etcétera. Así tenemos el siguiente ejemplo:

Puesto que 1 es un factor que se sobreentiende para todo número, en una presentación de este tipo no gastamos espacio en recordarlo.

Una forma conveniente de extraer los factores primos es por medio del proceso de división corta, como se indica:

Si un número es impar sus factores serán números impares. Para descomponer un número impar en sus factores primos se extraen primero los 3, si hay alguno. Luego se prueba el factor 5, etcétera. Como en el ejemplo:

 

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Descompón en factores primos:

1. ¿Cuáles de los siguientes son números primos y cuáles son números compuestos?
25, 7, 18, 29, 51

2. ¿Qué números primos son los factores de 36?

3. ¿Cuáles de los siguientes son múltiplos de 3?

45, 53, 51, 39, 47

4. Determinar los factores primos de 27.

Respuestas:

1. Primos: 7, 29.
Compuestos: 25, 18, 51.
2. 36 = 2 . 2 .3 . 3
3. 45, 51, 39
4. 27 = 3 . 3 . 3

Ejemplo:

Factorizar 276 como producto de primos.
Solución
Como 276 es divisible por 2, se tiene que 276 = 2. 138.
Análogamente 138= 2.69. Como 69 es divisible por 3, se tiene 69= 3.23, puesto que 23 es primo, finalmente se puede escribir
     276 = 2.2.3.23
• Un resultado esencial en la teoría de números enteros es el que asegura que todo número entero n > 1 puede factorizarse como producto de primos y, en cierto sentido, esta factorización es única. Este resultado fue establecido por Euclides en el libro IX de sus Elementos.
Es fácil obtener factorizaciones de 48, 124 y 363
48 =2. 24=2. 2.12 =2. 2. 2. 2. 3 =24 3
124 =2. 62=2. 2. 31 =2 2 .31.
363 = 3. 121 = 3. 11 2

 (donde por an designamos el producto de a por a, n veces; a n se le denomina exponente de a).

La última factorización de cada uno de los ejemplos anteriores es la llamada factorización canónica, que es la dada como producto de primos elevados al máximo exponente.
La factorización canónica de los números enteros permite calcular de forma sencilla el máximo común divisor de dos números.

PRUEBAS DE LA DIVISIBILIDAD

Con frecuencia es útil poder decir por simple inspección cuándo un número es exactamente divisible por uno o más de los dígitos de 2 a 9. Una expresión que se usa a menudo, si bien a veces no sea correcta, es "igualmente divisible". Esta expresión no implica el concepto de números pares o impares y probablemente debería evitarse en favor de la expresión más descriptiva: "exactamente divisible". Para el resto de esta explicación la palabra "divisible" tiene el mismo significado que "exactamente divisible".

En los párrafos siguientes se han agrupado diversas pruebas de la divisibilidad:
1. Un número es divisible por 2 si su dígito de la derecha es par.
2. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, los dígitos del número 6.561, sumados, dan 18. Puesto que 18 es divisible por 3, sabemos que 6.561 es divisible por 3.
3. Un número es divisible por 4 si el número formado por los dos dígitos de la derecha es divisible por 4. Por ejemplo, los dos dígitos de la derecha del número 3.524 forman el número 24. Siendo que 24 es divisible por 4, sabemos que 3.524 es divisible por 4.
4. Un número es divisible por 5 si su dígito de la derecha es 0 ó 5.
5. Un número es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, la suma de los dígitos de 64.236 da 21, que es divisible por 3. Ya que 64.236 es además un número par, sabemos que es divisible por 6.
6. No se han encontrado métodos abreviados para determinar cuándo un número es divisible por 7.
7. Un número es divisible por 8 si el número formado por los tres dígitos de la derecha es divisible por 8. Por ejemplo, los tres dígitos de la derecha del número 54.272 forman el número 272, que es divisible por 8. Por tanto, sabemos que 54.272 es divisible por 8.
8. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Por ejemplo, la suma de los dígitos de 546.372 da 27, que es divisible por 9. Por consiguiente, sabemos que 546.372 es divisible por 9.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Múltiplos y divisores :

Verdadero o falso:
a) 195 es múltiplo de 13.
b) 13 es divisor de 195.
c) 745 es múltiplo de 15.
d) 18 es divisor de 258.
e) 123 es divisor de 861.
a) Verdadero. 195 = 13 · 15
b) Verdadero. 195 : 13 = 15
c) Falso.
d) Falso.
e) Verdadero. 861 : 123 = 7.
 

Escribe los cinco primeros múltiplos de 15 por encima de 1000:
1 005, 1 020, 1 035, 1 050, 1 065

Si a ≠ 0 y b = a.q para algún q, diremos que a divide a b. Otras expresiones equivalentes son a es un divisor de b, a es un factor de b, b es múltiplo de a. Si a divide a b, escribiremos a / b. Así - 3 divide a 12 puesto que 12 = (- 3). (- 4), y 6 no divide a 21 puesto que no existe ningún entero q tal que 6.q = 21.

Si un número a es múltiplo de 2 diremos que es par. Si un número no es par diremos que es impar.

Diremos que b > a si existe un número natural n tal que b = a + n. Diremos que b≥a si b>a ó b= a. Así 8>5 ya que 8= 5 + 3.

Pruebe la divisibilidad de cada uno de los siguientes números para todos los dígitos excepto 7.
1. 242.431.231.320        3. 988.446.662.640
2. 844.624.221.840        4. 207.634.542.480
Respuestas:
Todos estos números son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9

Ejemplo :

Estudiar si a = 38220 es divisible por 2, 3 , 5 ó 7.
Solución
En este número ao=0, a1 =2, a2 =2, a3 = 8 y a4 = 3.
Como a0 = 0 es divisible por 2, entonces a es divisible por 2. Como
0 + 2 + 2 + 8 + 3 = 15 es divisible por 3, entonces a es divisible por 3.

Como a0 = 0, entonces a es divisible por 5. Por último como
a0+3 a1+2a2- a3-3a4=0 +3. 2 +2. 2 -8 - 3. 3 = -7,
entonces a es divisible por 7.

Verdadero o falso:
a) La suma de dos múltiplos de 8 es múltiplo de 8.
b) La diferencia de dos múltiplos de 6 es un múltiplo de 6.
c) Si un número es múltiplo de 4 y de 3, también es múltiplo de 12.
d) Si un número es múltiplo de 2 y de 4, también es múltiplo de 8.
e) Si un número es múltiplo de 12, también es múltiplo de todos los divisores de 12.
a) Verdadero.
a · 8 + b · 8 = (a + b) · 8
b) Verdadero.
a · 6 – b · 6 = (a – b) · 6
c) Verdadero.
a · 4 · 3 = a · 12
d) Falso. Por ejemplo, 20 = 10 · 2 = 5 · 4 y, sin embargo, no es múltiplo de 8.
e) Verdadero.
a · 12 = a · 2 · 6 = a · 3 · 4…

Escribe todos los números primos comprendidos entre 80 y 100.: 83, 89, 91, 97

 

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