NÚMEROS DENOMINADOS
Hemos aprendido que no hay dificultad en sumar o restar
números denominados, suponiendo que se ordenan las
unidades, decenas, centenas, etcétera, en sus respectivas
columnas. La multiplicación y división de los
números denominados se puede realizar también
con relativa facilidad, usando la experiencia lograda en la
adición y sustracción.
MULTIPLICACIÓN
Para la multiplicación de números denominados
por enteros no se necesitan nuevas ideas. Si en el problema
3 (5 m 2 cm 6 mm) recordamos que puede multiplicarse separadamente
cada parte para obtener el producto correcto ( como en el
ejemplo 6(8) = 6(3) + 6(5)), podemos determinar fácilmente
el producto, como sigue:
Simplificando, obtenemos
15 m 7 cm 8 mm
Cuando se multiplica un número denominado
por otro surge una cuestión concerniente a los productos
de las unidades de medida. El producto de una unidad por otra
del mismo tipo es el cuadrado de la unidad. Por ejemplo, 1
cm por 1 cm es 1 centímetro cuadrado, que se abrevia
1 cm2; 2 cm por 3 cm es 6 cm2, etcétera.
Si es necesario multiplicar números tales como 2 yardas
1 pie por 6 yardas 2 pies, las unidades pies deben convertirse
a fracciones de una yarda, como se indica:
Para completar la multiplicación se necesita
un conocimiento de las fracciones. Las fracciones se explican
mas adelante en este curso.
DIVISIÓN
La división de números denominados requiere
dividir primero las unidades más grandes y, si hay
un resto, la conversión a la unidad inferior siguiente,
y repetir la división hasta que todas las unidades
hayan sido divididas.
En el ejemplo 24 hr 1 m 15 seg : 5, realizamos los siguientes
pasos:
Paso 1:
Paso 2: Convertir 4 hr (resto) a 240 m y sumar
1 m.
Paso 3:
Paso 4: Convertir 1 m a 60 seg y sumar 15 seg.
Paso 5:
Por tanto, 24 hr 1 m 15 seg dividido por 5 es
4 1hr 48 m 15 seg.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, dividir como se indica.
En los problemas 5 a 8, multiplicar o dividir como se ha señalado:
ORDEN DE LAS OPERACIONES
Cuando se indica una serie de operaciones que comprenden
adición, sustracción, multiplicación
o división es importante el orden en que se realizan
sólo si está comprendida la división
o si las operaciones se hallan mezcladas. Una serie de adiciones,
sustracciones o multiplicaciones individuales pueden realizarse
en cualquier orden.
Por tanto, en
4 + 2 + 7 + 5 = 18
ó
100 - 20 - 10 - 3 = 67
ó
4 x 2 x 7 x 5 = 280
los números pueden combinarse en cualquier orden deseado.
Por ejemplo, pueden agruparse fácilmente para dar
6 + 12 = 18
y
97 - 30 = 67
y
40 x 7 = 280
Una serie de divisiones deberá efectuarse en el orden
indicado.
Por consiguiente,
100 ÷10 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
En una serie de operaciones mezcladas se efectúan
primero las multiplicaciones, a continuación las divisiones
y por último las adiciones y sustracciones.
Por ejemplo,
Observe que 25 ÷ 5 puede calcularse al mismo tiempo
que se calcula 4 X 10, puesto que debe realizarse otra multiplicación
en la primera parte del problema.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Calcular cada una de las siguientes expresiones:
1. 9 ÷ 3 + 2
2. 18 - 2 x 5 + 4
3. 90 ÷ 2 ÷ 9
4. 75 ÷ 5 x 3 ÷ 5
5. 7 + 1 - 8 x 4 ÷16
Respuestas
1. 5
4. 1
2. 12 5.
6
3. 5
MÚLTIPLOS, Y FACTORES
Todo número que es exactamente divisible por un número
dado es un MÚLTIPLO del número dado. Por ejemplo,
24 es un múltiplo de 2, 3, 4, 6, 8 y 12, puesto que
es divisible por cada uno de esos números. Decir que
24 es un múltiplo de 3, por ejemplo, equivale a expresar
que 3 multiplicado por algún número entero dará
24. Todo número es múltiplo de sí mismo
y también de 1.
Todo número que es un múltiplo de 2 es un NÚMERO
PAR. Los números pares comienzan en 2 y se suceden
de 2 en 2, como se indica:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Todo número que no es múltiplo de 2 es un NÚMERO
IMPAR. Los números impares comienzan en 1 y progresan
de 2 en 2, como se indica:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
Todo número que puede dividirse en un número
dado, sin resto, es un FACTOR del número dado. El número
dado es un múltiplo de cualquier número que
sea uno de sus factores. Por ejemplo, 2, 3, 4, 6, 8 y 12 son
factores de 24. Las cuatro igualdades siguientes muestran
diversas combinaciones de los factores de 24:
24 = 24 . 1
24 = 8 . 3
24 = 12 . 2
24 = 6 . 4
Si el número 24 se factorea todo lo posible,
toma la forma
24 = 2 . 2 . 2 . 3
EL CERO COMO FACTOR
Si un número cualquiera se multiplica por cero el
producto es cero. Por ejemplo, 5 por cero es igual a cero
y podrá escribirse 5 (0) = 0. La ley del factor cero
nos dice que si el producto de dos o más factores es
cero, por lo menos uno de los factores debe ser cero.
FACTORES PRIMOS
Un número que tiene otros factores además
de 1 y de sí mismo es un NÚMERO COMPUESTO. Por
ejemplo, el número 15 es compuesto. Tiene los factores
5 y 3.
Un número que no posee otros factores excepto 1 y
sí mismo es un NÚMERO PRIMO. Puesto que a veces
resulta ventajoso separar un número compuesto en sus
factores primos, es útil poder reconocer rápidamente
unos pocos primos. La serie que sigue muestra todos los números
primos hasta 60:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59.
Observe que el 2 es el único número primo par.
Todos los otros números pares son divisibles por 2.
Advierta además que 51, por ejemplo, no aparece en
la serie, pues es un número compuesto igual a 3 x 17.
Si un factor de un número es primo se lo llama FACTOR
PRIMO, Para separar un número en factores primos se
comienza separando el factor más pequeño. Si
el número es par se sacan primero todos los 2, luego
se prueba el factor 3, etcétera. Así tenemos
el siguiente ejemplo:
Puesto que 1 es un factor que se sobreentiende
para todo número, en una presentación de este
tipo no gastamos espacio en recordarlo.
Una forma conveniente de extraer los factores
primos es por medio del proceso de división corta,
como se indica:
Si un número es impar sus factores serán
números impares. Para descomponer un número
impar en sus factores primos se extraen primero los 3, si
hay alguno. Luego se prueba el factor 5, etcétera.
Como en el ejemplo:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. ¿Cuáles de los siguientes son números
primos y cuáles son números compuestos?
25, 7, 18, 29, 51
2. ¿Qué números primos son los factores
de 36?
3. ¿Cuáles de los siguientes son múltiplos
de 3?
45, 53, 51, 39, 47
4. Determinar los factores primos de 27.
Respuestas:
1. Primos: 7, 29.
Compuestos: 25, 18, 51.
2. 36 = 2 . 2 .3 . 3
3. 45, 51, 39
4. 27 = 3 . 3 . 3
PRUEBAS DE LA DIVISIBILIDAD
Con frecuencia es útil poder decir por simple inspección
cuándo un número es exactamente divisible por
uno o más de los dígitos de 2 a 9. Una expresión
que se usa a menudo, si bien a veces no sea correcta, es "igualmente
divisible". Esta expresión no implica el concepto
de números pares o impares y probablemente debería
evitarse en favor de la expresión más descriptiva:
"exactamente divisible". Para el resto de esta explicación
la palabra "divisible" tiene el mismo significado
que "exactamente divisible".
En los párrafos siguientes se han agrupado diversas
pruebas de la divisibilidad:
1. Un número es divisible por 2 si su dígito
de la derecha es par.
2. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos
es divisible por 3. Por ejemplo, los dígitos del número
6.561, sumados, dan 18. Puesto que 18 es divisible por 3,
sabemos que 6.561 es divisible por 3.
3. Un número es divisible por 4 si el número
formado por los dos dígitos de la derecha es divisible
por 4. Por ejemplo, los dos dígitos de la derecha del
número 3.524 forman el número 24. Siendo que
24 es divisible por 4, sabemos que 3.524 es divisible por
4.
4. Un número es divisible por 5 si su dígito
de la derecha es 0 ó 5.
5. Un número es divisible por 6 si es par y la suma
de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, la
suma de los dígitos de 64.236 da 21, que es divisible
por 3. Ya que 64.236 es además un número par,
sabemos que es divisible por 6.
6. No se han encontrado métodos abreviados para determinar
cuándo un número es divisible por 7.
7. Un número es divisible por 8 si el número
formado por los tres dígitos de la derecha es divisible
por 8. Por ejemplo, los tres dígitos de la derecha
del número 54.272 forman el número 272, que
es divisible por 8. Por tanto, sabemos que 54.272 es divisible
por 8.
8. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos
es divisible por 9. Por ejemplo, la suma de los dígitos
de 546.372 da 27, que es divisible por 9. Por consiguiente,
sabemos que 546.372 es divisible por 9.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Pruebe la divisibilidad de cada uno de los siguientes números
para todos los dígitos excepto 7.
1. 242.431.231.320
3. 988.446.662.640
2. 844.624.221.840
4. 207.634.542.480
Respuestas:
Todos estos números son divisibles por 2, 3, 4, 5,
6, 8, 9
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