Muchos problemas que se plantean en la vida real consisten en hallar el número, o los números, que cumplen ciertas condiciones. Las Matemáticas nos ofrecen un arma muy útil para enfrentarnos con este tipo de situaciones: las ecuaciones. El pilar en que descansa esta poderosa herramienta práctica ya se ha encontrado anteriormente al estudiar los cálculos con expresiones literales, esto es, los cálculos donde algunas letras sustituyen a números desconocidos.
La mejor manera de comprender qué es una ecuación y qué tipo de problemas resuelve es presentar un ejemplo extraído de la vida cotidiana. Supongamos que una cuenta a plazo produce un 12% de interés anual. Una cuestión directa que podemos plantearnos es calcular cuál será el interés que obtenemos si depositamos en dicha cuenta 10000 pesos. Esta cuestión se responde fácilmente con los conocimientos adquiridos en los capítulos precedentes: basta recordar que 12% es un número fraccionario, que equivale al quebrado 12/100 y efectuar la multiplicación
para encontrar que el rendimiento del depósito será de 1200 pesos.
Pero hay otro tipo de cuestiones que podemos plantearnos sobre dicha cuenta, que exigen un razonamiento más sutil. Por ejemplo, supongamos que deseamos saber cuánto dinero debería ingresarse para obtener unos intereses anuales de 900 pesos. No se sabe qué cantidad habrá que ingresar. Como también sabemos calcular con letras, podemos recurrir a denominar x a la cantidad desconocida y actuar como en el caso anterior. Si se ingresan x pesos, el interés que producen será el 12% de x, es decir,
Así, para que ese interés sea igual a 900 pesos, debe cumplirse que el número 0.12x debe ser precisamente el número 900, es decir, ha de cumplirse la igualdad 0.12x = 900. Recordando las operaciones con números fraccionarios, encontramos que el único número x que puede cumplir la igualdad anterior es x = 900/0.12 o equivalentemente, el número x = 7500. Averiguamos así que la cantidad que hay que depositar en la cuenta al 12 %, para obtener unos intereses de 900 euros, es justamente 7500 pesos.
Si se repasa el caso que acabamos de exponer, se encontrarán tres características:
1. El problema plantea calcular un número, la cantidad de dinero a depositar, a fin de que se cumpla cierta condición, que el interés percibido sea igual a 900 pesos.
2. Para resolverlo se nombra con una letra, en este caso x, al número que se quiere calcular y se traduce a símbolos la condición que estaba expresada con palabras.
3. Esta traducción de la condición tiene cierto carácter de balance. En un platillo se pone el interés que se percibirá por depositar x euros, 0.12x; en el otro platillo, la cantidad que se quiere recibir, 900 euros. Para que ambos platillos estén en equilibrio, se debe cumplir 0.12x = 900. Luego se tendrá x = 7500 pesos.
La igualdad 0.12x = 900 se denomina ecuación y traduce completamente la condición que resume el problema: hallar un número tal que su 12% sea igual a 900. En una ecuación como 0.12x = 900 el número x que se quiere hallar se denomina número incógnita, cantidad incógnita o simplemente incógnita.
Por otra parte, si examinamos la solución del caso anterior, encontramos dos pasos bien distintos:
1. Primero se establece la ecuación que traduce al lenguaje matemático las condiciones del problema. En el ejemplo sería
Esta traducción de las condiciones literales a símbolos matemáticos se denomina planteamiento de la ecuación.
2. Una vez planteada la ecuación, se trata de hallar el valor que debe tener la incógnita para que se verifique la ecuación. Esta fase se denomina resolución de la ecuación.
Una de las principales razones
para el estudio intensivo de los polinomios, símbolos
de agrupamiento, factoreo y fracciones, es preparamos para
resolver ecuaciones. La ecuación es quizás la
herramienta más importante en el álgebra y cuanto
más habilidad para resolverlas adquiera el estudiante
mayor será su facilidad para solucionar problemas.
Antes de aprender a resolver ecuaciones es necesario familiarizarse
con las palabras usadas en la explicación de ellas.
Una ECUACIÓN es una afirmación de que dos
expresiones son de igual valor. Entonces,
4 + 5 = 9
y
A = la
(Área de un rectángulo =
longitud X ancho)
son ecuaciones. La parte a la izquierda del
signo igual se llama MIEMBRO IZQUIERDO, o primer miembro de
la ecuación. La parte a la derecha es el MIEMBRO DERECHO,
o segundo miembro de la ecuación.
Los miembros de una ecuación se comparan
a veces con los dos pesos correspondientes que equilibran
una balanza. (Ver figura 11 1.) Esta comparación suele
ser útil a los estudiantes que aprenden a resolver
ecuaciones.
Es evidente, en el caso de la balanza, que
todo cambio hecho en un platillo debe acompañarse con
una variación igual en el otro. De lo contrario la
balanza no queda equilibrada. Las operaciones con ecuaciones
se basan en el mismo principio. Los miembros deben mantenerse
equilibrados o se pierde la igualdad.
FIGURA
11-1. La ecuación comparada al equilibrio de la balanza.
Ejemplo ilustrativo: Una herencia de 120 000 pesos se reparte entre dos personas, de forma que uno de los herederos recibe 30 000 pesos más que el otro. Para saber cuánto recibe cada heredero, tenemos que hallar dos números que representen las cantidades de dinero percibidas por cada uno. Para plantear la ecuación, podemos designar por x a la cantidad que recibe el más favorecido. Por la condición del reparto, el otro heredero recibirá 30000 pesos menos; entonces, la cantidad que recibe este heredero puede representarse simbólicamente por x-30000. Puesto que toda la herencia se reparte entre ambos, la suma de las cantidades que reciben individualmente será igual a 120000. Esto se traduce en la ecuación:
x + (x - 30 000) = 120 000.
Podemos simplificar el cálculo literal del lado izquierdo de la igualdad y obtener otra traducción de la ecuación:
2x - 30 000 = 120 000.
Para resolver la ecuación anterior, podemos razonar en términos de estado de equilibrio que, como hemos visto, representa la ecuación: si sumamos a los dos lados de la igualdad una misma cantidad, el balance no cambia; entonces, nada impide sumar a los dos miembros 30 000 pesos:
2x - 30 000 +30 000 =120 000 +30 000.
Si efectuamos las operaciones indicadas en cada miembro resulta una ecuación más simple:
2x = 150 000
Ahora es muy sencillo resolver la ecuación, ya que el único número que multiplicado por 2 resulta igual a 150000 es:
x = 150 000/2 = 75 000.
Así pues, el reparto consiste en dar 75 000 pesos a uno y 75 000 - 30 000 = 45000 pesos al otro. Ambas cantidades suman 75 000 + 45 000 = 120 000 pesos que es el total de la herencia.
CONSTANTES Y VARIABLES
Las expresiones en álgebra consisten en constantes
y variables. Una CONSTANTE es una cantidad cuyo valor permanece
igual a través de un problema particular. Una VARIABLE
es una cantidad cuyo valor es libre de variar.
Hay dos tipos de constantes: fijas y arbitrarias. Números
tales como 7, -3, 1/2 y π constituyen
ejemplos de CONSTANTES FIJAS. Sus valores no cambian nunca.
En 5x + 7 = 0, los números 5
y 7 son constantes fijas.
A las constantes ARBITRARIAS se les puede asignar diferentes
valores para problemas diversos. Las constantes arbitrarias
se indican por medio de letras casi siempre las letras iniciales
del alfabeto, como a, b, c y d.
En
ax + b = 0,
las letras a y b representan
constantes arbitrarias. La forma ax + b = 0
representa muchas ecuaciones lineales. Si damos valores particulares
a a y b, digamos a
= 5 y b = 7, entonces estas constantes
pasan a ser fijas para este problema particular, y la ecuación
se transforma:
5x + 7 = 0
Una variable tendrá un valor o muchos valores en una
explicación. Las letras finales del alfabeto, tales
como x, y, w y z, se usan
generalmente para representar las variables. En 5x
+ 7, la letra x es la variable.
Si x = 1,
5x + 7 = 5 + 7 = 12
Si x = 2, entonces
5x + 7 = 5(2) + 7 = 10 + 7 = 17
y así para todos los valores de x
que deseamos seleccionar.
Si la expresión 5x + 7 se hace igual
a un número particular, digamos 23,
entonces la igualdad resultante
5x + 7 = 23
será cierta para un valor de x. El
valor es 6, puesto que
5( 6) + 7 = 23
En una expresión algebraica, los términos que
contienen una variable se llaman TÉRMINOS VARIABLES.
Los términos que no contienen variables son TÉRMINOS
CONSTANTES. La expresión 5x + 7 contiene
un término variable y un término constante.
El término variable es 5x, mientras
que 7 es el término constante. En ax + b,
ax es el término variable y b
es el término constante.
Un término variable se designa a menudo nombrando
las variables que contiene. En 5x + 7, 5x
es el término en x. En ax
+ by, ax es el término en
x, mientras by es el término
en y.
GRADO DE UNA ECUACIÓN.
En las ecuaciones se presentan dos problemas bien distintos. Uno es el planteamiento de las ecuaciones, es decir, la traducción de las condiciones del problema al lenguaje de las matemáticas y otro es el problema de la resolución de las ecuaciones una vez planteadas.
Para el primer problema no hay reglas fijas: es cuestión de práctica. Para el segundo, pueden darse algunos métodos generales según el tipo de ecuación.
Estas reglas exigen una labor previa de clasificación de las ecuaciones.
Las ecuaciones se clasifican atendiendo a los criterios siguientes:
1. Según el número de incógnitas que aparecen: una, dos, tres, etc.
2. Según el mayor exponente al que están elevadas las incógnitas. Este número se denomina grado de la ecuación. Las ecuaciones de grado uno se suelen denominar lineales. Para los grados restantes se suele hablar de ecuaciones de segundo grado, tercer grado, etc. y son todas ellas ecuaciones no lineales.
3. Según el número de ecuaciones. En ocasiones, un problema conduce a plantear varias ecuaciones que deben ser satisfechas, a la vez, por las soluciones. A estos conjuntos de ecuaciones que deben verificar, simultáneamente, las incógnitas se denominan sistemas de ecuaciones; así por ejemplo, hay sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, de dos ecuaciones con tres incógnitas, de tres ecuaciones con tres incógnitas, etc.
El grado de una ecuación que no tiene más
de una variable en cada término es el exponente de
la potencia más alta a la cual está elevada
esa variable en la ecuación. La ecuación
3x - 17 = 0
es una ecuación de PRIMER GRADO, ya que x
está elevada sólo a la primera potencia.
He aquí un ejemplo de una ecuación de SEGUNDO
GRADO:
5x2 - 2x + 1 = 0
La ecuación ,
4x3 - 7x2 =
0,
es de TERCER GRADO.
La ecuación
3x - 2y = 5
es de primer grado a dos variables, x e
y. Cuando aparece más de una variable
en un término como en xy = 5 es preciso
sumar los exponentes de las variables dentro de un mismo término
para obtener el grado de la ecuación. Puesto que 1
+ 1 = 2, la ecuación xy = 5
es de segundo grado.
Otros ejemplos:
La ecuación x2 - 4x +2 = 0 tiene una incógnita y es de segundo grado, puesto que el mayor exponente de x es 2.
La ecuación x - 2y - 3 = 0 tiene dos incógnitas y grado igual a uno, ya que el mayor exponente al que están elevadas las incógnitas es 1; por lo tanto, es una ecuación lineal.
La ecuación x3 - 2x = y + 1 tiene dos incógnitas y es de tercer grado, porque la incógnita x está elevada a exponente 3; por tanto, es una ecuación no lineal.
Las ecuaciones:
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Las ecuaciones:
forman un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.
Las ecuaciones:
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ecuaciones lineales
Los gráficos se emplean en muchas formas diferentes
para dar imágenes visuales de las relaciones de ciertos
hechos. Por ejemplo, se usan para mostrar tendencias en los
negocios, salidas de producción, condiciones individuales,
etcétera. Encontramos gráficos rectos, gráficos
lineales, gráficos circulares y muchos otros tipos,
cada uno de los cuales se utiliza para una necesidad particular.
En álgebra también se usan los gráficos
para dar imágenes visuales que contienen una gran cantidad
de información acerca de las ecuaciones.
A veces la condición de la ecuación se satisface
para muchos valores numéricos. cuando se los sustituye
por las variables de la ecuación. En un tipo particular
de gráfico (que será explicado en el mas adelante)
se localizan varios de estos valores, y cuando son suficientes
se traza una línea a través de estos puntos.
Para cada ecuación particular resulta cierto tipo de
curva. Para ecuaciones de primer grado a una o dos variables
la forma resultante de la "curva" es una línea
recta. De ahí el nombre de ECUACIÓN LINEAL.
Las ecuaciones de mayor grado dan origen a otras formas. El
nombre "ecuación lineal" se aplica ahora
a ecuaciones de primer grado, independientemente del número
de variables que ellas contengan. En páginas siguientes se muestra cómo una ecuación puede visualizarse
sobre un gráfico. También se explicará
luego el propósito y valor de resolver gráficamente
una ecuación.
IDENTIDADES
Si una igualdad comprende una o más variables podrá
ser una IDENTIDAD (ecuación idéntica) o una
ECUACIÓN CONDICIONAL. Una identidad es una igualdad
que establece un hecho, tal como en los siguientes ejemplos:
1. 9 + 5 = 14
2. 2n + 5n = 7n
3. 6(x - 3) = 6x - 18
Observe que la ecuación 3 simplemente muestra la forma
factorial de 6x - 18 y se mantendrá
cierta cuando se sustituya x por cualquier
valor, Por ejemplo, si x = 5, se transforma
6(5 - 3) = 6(5) - 18
6(2) = 30 - 18
12 = 12
Si x toma el valor negativo
-10, esta identidad se transforma.
6(-10 -3) = 6(-10) - 18
6(-13) = -60 -18
78 = 78
Una identidad se establece cuando, ambos lados
de la igualdad se han reducido al mismo número o a
idéntica expresión. Cuando 5 se sustituye por
x el valor a cada lado de 6(x - 3)
= 6x - 18 es 12. Cuando 10
reemplaza a x, el valor a cada lado es 78.
El hecho de que esta igualdad es una identidad puede mostrarse
también factoreando el lado derecho, de modo que la
igualdad se transforme:
6(x - 3) = 6(x - 3)
Las expresiones a los dos lados de la igualdad son idénticas.
ECUACIONES CONDICIONALES
Una afirmación tal como 2x - 1 = 0
es una igualdad sólo cuando x tiene
un valor particular. Esta afirmación se llama una ECUACIÓN
CONDICIONAL , ya que es cierta únicamente
bajo la condición de x = 1/2. Asimismo,
la ecuación y - 7 = 8 es cierta sólo
si y = 15.
El valor de la variable para el cual una ecuación
a una variable es cierta , es una RAÍZ
o SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.
Cuando en álgebra hablamos de resolución de
ecuaciones nos referimos a ecuaciones condicionales. La solución
de una ecuación condicional puede verificarse sustituyendo
la variable por su valor determinado en la solución.
La solución es correcta si la igualdad se reduce
a una identidad. Por ejemplo, si 1/2 se reemplaza
por x en 2x - 1 = 0, el
resultado es
La identidad se establece para x = 1/2,
puesto que el valor dado a cada lado de la igualdad se reduce
a cero.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Resolver una ecuación lineal a una variable
significa determinar el valor de la variable que hace cierta
la ecuación. Por ejemplo, 11 es la
SOLUCIÓN de x - 7 = 4, ya que 11
- 7 = 4. Se dice que el número 11
SATISFACE la ecuación. Básicamente, la operación
usada para resolver ecuaciones consiste en manipular ambos
miembros por suma, resta, multiplicación o división,
hasta que el valor de una de las variables se hace evidente.
Esta manipulación se cumple en una forma directa por
el empleo de los axiomas delineados en el capítulo
anterior de este curso, Dichos axiomas pueden agruparse en
la siguiente regla: Si ambos miembros de una ecuación
se aumentan, disminuyen, multiplican o dividen por el mismo
número, o por números iguales, los resultados
serán iguales. (Se excluye la división por cero.)
Conforme se lo mencionó antes, una ecuación
puede compararse a una balanza, Para mantener el equilibrio,
lo que se hace en un miembro debe hacerse también en
el otro. Una ecuación debe mantenerse siempre en equilibrio
o se pierde la igualdad. Usamos la regla anterior para eliminar
o ajustar términos y coeficientes hasta descubrir el
valor de la variable, En los párrafos siguientes se
dan algunos ejemplos de ecuaciones resueltas por medio de
las cuatro operaciones mencionadas en la regla.
Adición
Determinar el valor de x en
la ecuación
x - 3 = 12
Como en toda ecuación, debemos aislar la variable
sobre la derecha o sobre el lado izquierdo. En este problema
dejamos la variable a la izquierda y realizamos los siguientes
pasos:
1. Sumamos 3 a ambos miembros de la ecuación, como
sigue:
x - 3 + 3 = 12 + 3
En efecto, "deshacernos" la sustracción
indicada por la expresión x - 3, con
el propósito de aislar x en el miembro
izquierdo.
2. Combinando términos tenemos x = 15
Sustracción
Determinar el valor de x en la ecuación
x + 14 = 24
1. Sustraemos 14 de cada miembro. En efecto,
esto deshace la adición indicada en la expresión
x + 14.
x + 14 - 14 = 24 - 14
2. Combinando términos resulta
x = 10
Multiplicación
Determinar el valor de y en
la ecuación
y/5 = 10
1. La única forma de sacar el 5 de
modo de aislar y, es deshacer la división
indicada. Entonces usamos la inversa de la división,
vale decir, la multiplicación. Multiplicando ambos
miembros por 5, tenemos lo siguiente:
5(y/5) = 5(10)
2. Realizando las multiplicaciones indicadas nos da
y = 50
División
Determinar el valor de x en la ecuación
3x = 15
1. El multiplicador 3 podrá sacarse
de x dividiendo el miembro izquierdo por
3. Esto deberá equilibrarse dividiendo el miembro derecho
también por 3, como sigue:
2. Realizando las divisiones indicadas, tenemos
x = 5
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver las siguientes ecuaciones:
Hallar, transponiendo términos, el número
que representa cada una de las igualdades siguientes:
Efectuar
las restas siguientes:
Utilizar
el pasaje de términos de un miembro al otro para calcular
los números que representan las letras que figuran
en las expresiones:
Resolver
los siguientes problemas:
Una
persona comienza el año con un déficit de $100
y lo termina con uno de $60 ¿ Cuánto ganó
durante el año ?.
Una
persona sube desde el sótano, que tiene 4 metros de
profundidad, hasta su dormitorio, situado 5 metros sobre el
nivel de la calle. ¿ Qué altura ascendió
?.
Una
mezcla frigorífica que tiene una temperatura de 12°C
bajo cero, se ha calentado hasta la temperatura de ebullición,
que es de 110°C. ¿ Qué aumento de temperatura
sufrió ?.
¿Cuál
es el número que sumado a 87 da -200 ?
La
suma de dos números es de -126 y uno de ellos es +54.
¿Cuál es el otro ?.
Una
persona tiene en el banco $1237 y libró los siguientes
cheques: $250; $485; $680; $47 y $100 ¿ Cuál
es el resultado de su cuenta después de esas operaciones
?.
Escribir
tres números enteros tales que el primero sea 82, la
diferencia entre éste y el segundo sea -40, y la diferencia
entre el segundo y el tercero sea 19.
|
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