CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)


   

 

Ecuaciones lineales con una variable.


 

 


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Soluciones que requieren más de una operacion.

La mayoría de las ecuaciones comprenden más etapas en su solución que las ecuaciones simples que hemos descrito antes, pero las operaciones básicas permanecen iguales. Si se tienen bien en cuenta los axiomas básicos estas ecuaciones más complicadas no serán demasiado difíciles. Las ecuaciones requerirán una o todas las operaciones básicas antes de obtener una solución.

SUSTRACC1ÓN Y DIVISIÓN

Determinar el valor de x en la siguiente ecuación

2x + 4 = 16

1. Se aísla el término que contiene x a la izquierda sustrayendo 4 del miembro izquierdo. Esta operación debe equilibrarse restando 4 del miembro derecho, de esta forma:

2x + 4 - 4 = 16 - 4

2. Realizando las operaciones indicadas, resulta

2x = 12

3. Se saca el multiplicador 2 de x dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, así:

ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Determinar el valor de y en la siguiente ecuación:

1. Aislar el término que contiene y a la izquierda agregando 4 a ambos lados, como sigue:

2. Visto que el 2 no divide al 3 exactamente, multiplicamos el miembro izquierdo por 2 para eliminar la fracción. Esta operación debe equilibrarse multiplicando el miembro derecho por 2, como sigue:

3. Dividimos ambos miembros por 3, para aislar y en el miembro izquierdo, de esta manera:

ECUACIONES CON LA VARIABLE EN MÁS DE UN TÉRMINO

Determinar el valor de x en la siguiente ecuación

1. Volvemos a escribir la ecuación sin términos que contengan la variable sobre el miembro derecho. Esto requiere sumar x al miembro derecho para eliminar x, y el equilibrio exige que sumemos además x al miembro izquierdo, así:

2. Puesto que 4 no es exactamente divisible por 3, se hace preciso multiplicar el primer término por 4 para eliminar la fracción.

Sin embargo, observe que esta multiplicación no puede realizarse sobre el primer término solamente; todo multiplicador que se introduce con propósitos de simplificación debe aplicarse a la totalidad de la ecuación. Entonces, cada término en la ecuación se multiplica por 4, como sigue:

3x + 8x = 48

3. Se suman los términos que contienen x y luego se dividen ambos lados por 11 para aislar x en el miembro izquierdo, de este modo:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

ECUACIONES CON COEFICIENTES LITERALES

Según se estableció antes, las primeras letras del alfabeto generalmente representan cantidades conocidas (constantes) y las últimas letras representan cantidades desconocidas (variables). Entonces, por lo general resolvemos para x, y ó z.

Una ecuación tal como

ax - 8 = bx - 5

tiene letras como coeficientes. Las ecuaciones con coeficientes literales se resuelven en la misma forma que las ecuaciones con coeficientes numericos, excepto que cuando una operación no puede realizarse, simplemente se la indica.

Al resolver para x en la ecuación

ax - 8 = bx - 5

restamos bx de ambos miembros y sumamos 8 a los dos. El resultado es

ax - bx = 8 - 5

Visto que no puede realizarse la sustracción en el lado izquierdo, se la indica. La cantidad a - b es el coeficiente de x cuando se agrupan los términos. La ecuación toma la forma

(a - b) x = 3

Ahora se dividen ambos lados de la ecuación por a - b. Otra vez el resultado puede ser indicado solamente. La solución de la ecuación es

 

Al resolver para y en la ecuación

ay + b = 4

restamos b de ambos miembros, como sigue:

ay = 4 - b

Dividiendo los dos miembros por a, la solución es

 

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver para x en cada uno de los siguientes:

ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPAMIENTO

Si aparecen signos de agrupamiento en una ecuación se debe extraerlos en la forma señalada  anteriormente en este curso. Por ejemplo, resolver la ecuación

5 = 24 - [x - 12(x - 2) - 6(x - 2)]

Advierta que la misma expresión x - 2 aparece en ambos paréntesis. Combinando los términos que contienen (x - 2) la ecuación se transforma

5 = 24 - [x - 18(x - 2)]

A continuación se sacan los paréntesis y luego los corchetes, obteniendo

5 = 24 - [x - 18x + 36]
= 24 - [36 - 17x]  
= 24 - 36 + 17x   
= - 12 + 17x            

Restando l7x de ambos miembros y luego restando 5 de los dos tenemos

- 17x = - 12 - 5
- 17x = - 17        

Dividiendo ambos miembros por - 17. La solución es

x = 1

ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES

Para resolver x en una ecuación tal como

primero eliminamos las fracciones de la ecuación. Para hacer esto determinamos el mínimo común denominador de las fracciones. Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD..

El mínimo común denominador de 3, 12, 4 y 2 es 12. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 12. La ecuación resultante es

8x + x - 12 = 3 + 6x

Restamos 6x de ambos miembros, sumamos 12 a los dos y agrupamos los términos semejantes en esta forma:

9x - 6x = 12 + 3
3x = 15  

La solución es

x = 5

Para probar que x = 5 es la solución correcta reemplazamos 5 por x en la ecuación original y demostramos que ambos lados de la ecuación se reducen a un mismo valor. El resultado de la sustitución es

Al establecer una identidad los dos lados de la igualdad se tratan separadamente y las operaciones se realizan como se indica. A veces, como aquí, aparecen fracciones a ambos lados de la igualdad y es conveniente determinar el mínimo común denominador para más de un grupo de fracciones. El mismo denominador podría usarse a ambos lados de la igualdad, pero esto haría que alguno de los términos de las fracciones fuera más grande que lo necesario.

Procediendo para establecer la identidad para x = 5 en la ecuación anterior, obtenemos

Cada miembro de la igualdad tiene el valor 11/4 cuando x = 5. El hecho de que la ecuación se transforme en una identidad cuando x se reemplaza por 5 prueba que x = 5 es la solución.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN LINEAL

En matemáticas, la expresión FORMA GENERAL implica una forma a la cual deben reducirse todas las expresiones o ecuaciones de cierto tipo. Los únicos términos posibles en una ecuación lineal a una variable son el término de primer grado y el término constante. Por tanto, la formA general de una ecuación lineal a una variable es:

ax + b = 0

Seleccionando varios valores para a y b esta forma puede representar cualquier ecuación lineal a una variable después que tal ecuación ha sido simplificada. Por ejemplo, si a = 7 y b = 5, ax + b = 0 representa la ecuación numérica:

7x + 5 = 0

Si a = 2m - n,y b= p - q, entonces ax + b = 0, representa la ecuación literal:

(2m - n)x + p - q = 0

Esta ecuación se resuelve como sigue:

 

 

 

 

 

 

 


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