EMPLEO DE LAS ECUACIONES
PARA RESOLVER PROBLEMAS
Ecuaciones con una única incógnita
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Resolver una ecuación es hallar números tales que al reemplazar por ellos las incógnitas se cumple la igualdad de los dos miembros. Estos números se denominan soluciones de la ecuación. De lo anterior se deduce que para comprobar si un número es solución de una ecuación debe reemplazarse la incógnita por el número y, si la expresión numérica que resulte es cierta, entonces el número será solución de la ecuación.
Para resolver un problema primero trasladamos los datos
numéricos del problema a una ecuación. A fin
de ver cómo se cumple esto consideremos los siguientes
ejemplos y sus soluciones.
EJEMPLO 1: Entre Smith y Jones poseen $ 120. Jones tiene
5 veces tanto como Smith. ¿Cuánto posee Smith?
SOLUCIÓN:
Paso 1. Visualizar claramente el problema. Hay dos partes
en cada problema: lo que es dado (los datos) y lo que deseamos
conocer (la pregunta). En este problema sabemos que Jones
tiene 5 veces tanto como Smith y ambos poseen $ 120. Deseamos
sáber cuánto tiene Smith.
Paso 2. Expresamos la incógnita como una letra. Generalmente
expresamos la incógnita o número que deseamos
conocer como una letra (convencionalmente usamos la x).
Aquí, lo que no sabemos es acerca del dinero de Smith:
x representa la cantidad de pesos que tiene
Smith.
Paso 3. Expresamos los otros datos en función de
la incógnita. Si x es el número
de pesos que posee Smith y Jones tiene 5 veces más,
entonces 5x es el número de pesos
que posee Jones.
Paso 4. Expresamos los hechos como una ecuación.
El problema expresará o implicara una relación
entre las expresiones de los pasos 2 y 3. Los pesos de Smith
más los pesos de Jones son iguales a $ 120. Trasladamos
esta afirmación a símbolos algebraicos y tenemos:
x + 5x = 120
Resolviendo la ecuación para x,
6x = 120
x = 20
Entonces Smith tiene $ 20.
Paso 5. Prueba: Ver si la solución satisface la afirmación
original del problema. Smith y Jones tienen $ 120.
$20
+ $100 =
$120
(dinero de Smith)
(dinero de Jones)
Ejemplo 2: Brown puede efectuar un trabajo en
5 horas. Si Olsen puede hacerlo en 4 horas, ¿cuánto
tardarán trabajando juntos?
SOLUCIÓN:
Paso 1. Datos: Brown puede hacer el trabajo
en 5 horas. Olsen puede hacerlo en 4 horas.
Incógnita: Cuánto tardarán
en hacerlo juntos.
Paso 2. x representa el tiempo
que emplean para efectuar el trabajo juntos.
Paso 3. Entonces l/x es la
cantidad que realizan en 1 hora. Además, en una hora
Brown hace 1/5 del trabajo y Olsen hace 1/4.
Paso 4. La cantidad realizada en una hora es
igual a la parte del trabajo hecho por Brown en una hora,
más la que hace Olsen en una hora.
Resolviendo la ecuación,
El número 3 es solución de la ecuación 2x - 5 = 1, ya que si se sustituye x por 3 se cumple la igualdad de los dos miembros 2 . 3 - 5 = 1. Por el contrario, el número 2 no es solución de la ecuación, puesto que si se sustituye x por 2 no son iguales los dos miembros 2 . 2 - 5 = -1 ≠1.
El número 2 es solución de la ecuación x2 - 4 = 0, puesto que se cumple 22 - 4 = 0. El número -2 es otra solución de la ecuación, dado que se verifica (-2)2 - 4 = 0. Sin embargo, 3 no es solución, puesto que 32 - 4 = 9 - 4 = 5 ≠0.
Cada uno de los números 1, 0 y -2 es una solución de la ecuación
x3 + x2 = 2x, puesto que se cumple:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Emplee una ecuación lineal a una variable
para resolver cada uno de los siguientes problemas:
1. Determine tres números tales que
el segundo sea el doble del primero y el tercero sea tres
veces tan grande como el primero. La suma de ellos es 180.
2. Un marino pagó $ 75 en billetes de
$ 1 y en billetes de 5. La cantidad de billetes de $ 1 era
tres veces más que la de billetes de $ 5. ¿Cuántos
de cada tipo pagó? (Ayuda: si x es
la cantidad de billetes de $ 5, entonces 5x
es la cantidad de pesos que ellos representan.)
3. El aviador A puede completar un vuelo de
prueba en 4 horas. El aviador B necesita solamente 3 horas
para hacer el mismo trabajo. Si trabajan juntos, ¿en
cuánto tiempo llevarán a cabo la tarea?
Respuestas:
1. El primer número es 30. El segundo
número es 60. El tercer número es 90.
2. La cantidad de billetes de cinco pesos es
12. La cantidad de billetes de un peso es 15.
3. 1 5/7 hr.
Ecuaciones con más de una incógnita
Cuando la ecuación tiene más de una incógnita, las soluciones no consisten en un número sino en varios: tantos como incógnitas haya. En estos casos, es
preciso escribir de manera ordenada los números que componen la solución para saber a qué incógnita corresponden.
Ejemplo 1: La ecuación 3x-2y = 5-2x tiene dos incógnitas x, y. Sus soluciones
serán pares ordenados de números. Por ejemplo, (1, 0). El primer número del par es el
valor que corresponde a x, y el segundo, el valor que corresponde a y. Para comprobar
que (1, 0) es una solución, se reemplaza en la ecuación x por 1 e y por 0, y se comprueba que ambos miembros son iguales: 3·1- 2 .0 = 3 = 5 - 2·1. La expresión par ordenado indica que no es igual (1, 0) que (0,1). En efecto: el par (1, 0) es solución mientras que (0,1) no es solución, pues, al sustituir x por 0 e y por 1, la ecuación no se verifica: 3.0 - 2·1 = -2 ≠ 5 = 5 - 2·0. A menudo, para evitar confusiones en el orden de los
números que componen la solución, se escribe de manera explícita x =1, y = 0, pero debe entenderse que esta expresión de dos valores, uno para cada variable, define una única solución de la ecuación.
Ejemplo 2: El par de números x = 1, y = -2 es una solución de la ecuación
2x+y2 =6, puesto que se tiene: 2·1+(-2)2 =6. De igual manera puede comprobarse que el par x = 3, y = 0, también es solución. Mientras que el par x = 2, y = 1, no es
solución.
Ejemplo 3: La terna de números x = 1, y = -2, z = -1 es una solución de la
ecuación -3x - 2y + z = 0. En efecto: -3·1- 2 . (-2) +(-1) = 0.
Sistemas de ecuaciones
Por lo que a sistemas de ecuaciones se refiere, se denomina solución de un
sistema a un conjunto ordenado de números -tantos como incógnitas tenga
el sistema- que es solución de todas las ecuaciones del sistema.
EJEMPLO: El par de números x = 2, y = -3, es una solución del sistema:
porque si se reemplaza x por 2 e y por -3 en el sistema, se verifican las dos ecuaciones
de éste.
EJEMPLO: La terna de números x = -2, y = 1, z = -1, es una solución del
sistema:
porque si se reemplaza x por -2, y por 1 y z por -1 en el sistema, se verifican todas las ecuaciones de éste.
DESIGUALDADES
Las matemáticas modernas dan considerable
importancia al concepto de desigualdad. Una comparación
significativa entre dos cantidades puede revelar si ellas
están relacionadas en alguna forma, aun cuando las
relaciones puedan no ser una igualdad.
La expresión "sentencia numérica"
se suele utilizar para describir una relación general
que podrá ser una igualdad o una desigualdad. Si la
sentencia numérica establece una igualdad es una ECUACIÓN;
si establece una desigualdad es una INECUACIÓN.
Propiedades del orden de los números reales
La idea de orden o rango relativo de acuerdo con el tamaño
está basada en dos conceptos intuitivos: "mayor
que" 1 y "menor que". Los matemáticos
usan el símbolo > para representar
"mayor que" y el símbolo <
para representar "menor que". Por ejemplo, la inecuación
que establece que 7 es mayor que 5 se escribe simbólicamente
como sigue:
7 > 5
La inecuación que establece que x
es menor que 10 se escribe de este modo:
x < 10
Una "solución" de una inecuación
que comprende una variable es todo número que pueda
sustituirse por la variable sin cambiar la relación
entre el miembro izquierdo y el miembro derecho. Por ejemplo,
la inecuación x < 10 tiene muchas
soluciones. Todo número negativo y todo número
positivo entre 0 y 9 puede substituirse por x
con buen éxito. Estas soluciones comprenden un grupo
de números llamado GRUPO DE SOLUCIONES.
El SENTIDO de una desigualdad se refiere a la dirección
en la cual apunta el símbolo de la desigualdad. Por
ejemplo, las dos desigualdades siguientes tienen sentidos
opuestos:
7 > 5
10 < 12
Propiedades de las desigualdades
Las inecuaciones pueden manejarse conforme a reglas operacionales
específicas en una forma similar a la usada con las
ecuaciones.
ADICIÓN
La regla para la adición es como sigue: Si a ambos
miembros de una inecuación se agrega una misma cantidad,
el resultado es una inecuación que tiene el mismo sentido
que la original. Los siguientes ejemplos ilustran esto:
1.
5 <
8
5 + 2 < 8 + 2
7 < 10
La suma de 2 a ambos miembros no cambia el sentido de la
inecuación.
2.
5 < 8
5 + ( 3) < 8 + ( 3)
2 < 5
La suma de 3 a ambos miembros no cambia el sentido de la
inecuación.
La adición de una misma cantidad a ambos miembros
es un método útil para resolver inecuaciones.
En el siguiente ejemplo se suma 2 a ambos miembros para aislar
el término x a la izquierda:
x - 2 > 6
x - 2 + 2 > 6 + 2
x > 8
MULTIPLICACIÓN
La regla para la multiplicación es así: Si
ambos miembros de una inecuación se multiplican por
la misma cantidad positiva, el sentido de la inecuación
resultante es el mismo que el de la inecuación original.
Lo cual se ilustra de este modo:
1.
- 3 < - 2
2( - 3) < 2( - 2)
- 6 < - 4
La multiplicación de ambos miembros por 2 no altera
el sentido de la inecuación.
La multiplicación de ambos miembros por 1/2
no altera el sentido de la inecuación.
Observe que el ejemplo 2 ilustra la división de ambos
miembros por 2. Puesto que toda división se puede volver
a escribir como una multiplicación por una fracción,
la regla de la multiplicación es aplicable tanto a
la multiplicación como a la división.
La multiplicación se emplea para simplificar la solución
de inecuaciones como la siguiente:
Multiplicamos ambos miembros por 3:
INVERSIÓN DEL SENTIDO
Si ambos miembros de una inecuación
se multiplican o dividen por el mismo número negativo,
se invierte el sentido de la inecuación resultante.
Esto se ilustra así:
La inversión del sentido es útil
en la solución de una inecuación en la cual
la variable está precedida por un signo negativo, como
sigue:
2 - x < 4
Sumamos 2 a ambos miembros para aislar el término
x:
2 - x - 2 < 4 - 2
- x < 2
Multiplicamos ambos miembros por -1;
x > 2
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver cada una de las siguientes inecuaciones:
Gráfico de desigualdades
Una inecuación tal como x > 2
puede representarse gráficamente sobre una recta numérica,
según se muestra en la figura 11-2.
La línea gruesa en la figura 11-2 contiene todos
los valores de x que constituyen el grupo de soluciones. Repare
en que esta línea continúa en forma indefinida
en la dirección positiva, como se indica por la flecha.
Observe también que el punto que representa x
= 2 está designado por un círculo.
Esto significa que el grupo de soluciones no contiene el número
2.
La figura 11-3 es un gráfico de la inecuación
x2> 4. Visto que el cuadrado
de todo número mayor que 2 es mayor que 4, el grupo
de soluciones contiene todos los valores de x
mayores que 2. Además, el grupo de soluciones contiene
todos los valores de x menores que 2.Esto
se debe a que el cuadrado de todo número negativo menor
que 2 es un número positivo mayor que 4.
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