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Ecuaciones lineales con una variable.


 

 


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EMPLEO DE LAS ECUACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS

Ecuaciones con una única incógnita

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Resolver una ecuación es hallar números tales que al reemplazar por ellos las incógnitas se cumple la igualdad de los dos miembros. Estos números se denominan soluciones de la ecuación. De lo anterior se deduce que para comprobar si un número es solución de una ecuación debe reemplazarse la incógnita por el número y, si la expresión numérica que resulte es cierta, entonces el número será solución de la ecuación.

Para resolver un problema primero trasladamos los datos numéricos del problema a una ecuación. A fin de ver cómo se cumple esto consideremos los siguientes ejemplos y sus soluciones.

EJEMPLO 1: Entre Smith y Jones poseen $ 120. Jones tiene 5 veces tanto como Smith. ¿Cuánto posee Smith?

SOLUCIÓN:

Paso 1. Visualizar claramente el problema. Hay dos partes en cada problema: lo que es dado (los datos) y lo que deseamos conocer (la pregunta). En este problema sabemos que Jones tiene 5 veces tanto como Smith y ambos poseen $ 120. Deseamos sáber cuánto tiene Smith.

Paso 2. Expresamos la incógnita como una letra. Generalmente expresamos la incógnita o número que deseamos conocer como una letra (convencionalmente usamos la x). Aquí, lo que no sabemos es acerca del dinero de Smith: x representa la cantidad de pesos que tiene Smith.

Paso 3. Expresamos los otros datos en función de la incógnita. Si x es el número de pesos que posee Smith y Jones tiene 5 veces más, entonces 5x es el número de pesos que posee Jones.

Paso 4. Expresamos los hechos como una ecuación. El problema expresará o implicara una relación entre las expresiones de los pasos 2 y 3. Los pesos de Smith más los pesos de Jones son iguales a $ 120. Trasladamos esta afirmación a símbolos algebraicos y tenemos:

x + 5x = 120

Resolviendo la ecuación para x,

    6x = 120
x = 20

Entonces Smith tiene $ 20.

Paso 5. Prueba: Ver si la solución satisface la afirmación original del problema. Smith y Jones tienen $ 120.

$20       +       $100 =     $120
(dinero de Smith)          (dinero de Jones)                  

Ejemplo 2: Brown puede efectuar un trabajo en 5 horas. Si Olsen puede hacerlo en 4 horas, ¿cuánto tardarán trabajando juntos?

SOLUCIÓN:

Paso 1. Datos: Brown puede hacer el trabajo en 5 horas. Olsen puede hacerlo en 4 horas.

Incógnita: Cuánto tardarán en hacerlo juntos.

Paso 2. x representa el tiempo que emplean para efectuar el trabajo juntos.

Paso 3. Entonces l/x es la cantidad que realizan en 1 hora. Además, en una hora Brown hace 1/5 del trabajo y Olsen hace 1/4.

Paso 4. La cantidad realizada en una hora es igual a la parte del trabajo hecho por Brown en una hora, más la que hace Olsen en una hora.

Resolviendo la ecuación,

El número 3 es solución de la ecuación 2x - 5 = 1, ya que si se sustituye x por 3 se cumple la igualdad de los dos miembros 2 . 3 - 5 = 1. Por el contrario, el número 2 no es solución de la ecuación, puesto que si se sustituye x por 2 no son iguales los dos miembros 2 . 2 - 5 = -1 ≠1.

El número 2 es solución de la ecuación x2 - 4 = 0, puesto que se cumple 22 - 4 = 0. El número -2 es otra solución de la ecuación, dado que se verifica (-2)2 - 4 = 0. Sin embargo, 3 no es solución, puesto que 32 - 4 = 9 - 4 = 5 ≠0.

Cada uno de los números 1, 0 y -2 es una solución de la ecuación x3 + x2 = 2x, puesto que se cumple:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Emplee una ecuación lineal a una variable para resolver cada uno de los siguientes problemas:

1. Determine tres números tales que el segundo sea el doble del primero y el tercero sea tres veces tan grande como el primero. La suma de ellos es 180.

2. Un marino pagó $ 75 en billetes de $ 1 y en billetes de 5. La cantidad de billetes de $ 1 era tres veces más que la de billetes de $ 5. ¿Cuántos de cada tipo pagó? (Ayuda: si x es la cantidad de billetes de $ 5, entonces 5x es la cantidad de pesos que ellos representan.)

3. El aviador A puede completar un vuelo de prueba en 4 horas. El aviador B necesita solamente 3 horas para hacer el mismo trabajo. Si trabajan juntos, ¿en cuánto tiempo llevarán a cabo la tarea?

Respuestas:

1. El primer número es 30. El segundo número es 60. El tercer número es 90.

2. La cantidad de billetes de cinco pesos es 12. La cantidad de billetes de un peso es 15.

3. 1 5/7 hr.

Ecuaciones con más de una incógnita

Cuando la ecuación tiene más de una incógnita, las soluciones no consisten en un número sino en varios: tantos como incógnitas haya. En estos casos, es preciso escribir de manera ordenada los números que componen la solución para saber a qué incógnita corresponden.

Ejemplo 1: La ecuación 3x-2y = 5-2x tiene dos incógnitas x, y. Sus soluciones serán pares ordenados de números. Por ejemplo, (1, 0). El primer número del par es el valor que corresponde a x, y el segundo, el valor que corresponde a y. Para comprobar que (1, 0) es una solución, se reemplaza en la ecuación x por 1 e y por 0, y se comprueba que ambos miembros son iguales: 3·1- 2 .0 = 3 = 5 - 2·1. La expresión par ordenado indica que no es igual (1, 0) que (0,1). En efecto: el par (1, 0) es solución mientras que (0,1) no es solución, pues, al sustituir x por 0 e y por 1, la ecuación no se verifica: 3.0 - 2·1 = -2 ≠ 5 = 5 - 2·0. A menudo, para evitar confusiones en el orden de los números que componen la solución, se escribe de manera explícita x =1, y = 0, pero debe entenderse que esta expresión de dos valores, uno para cada variable, define una única solución de la ecuación.

Ejemplo 2: El par de números x = 1, y = -2 es una solución de la ecuación 2x+y2 =6, puesto que se tiene: 2·1+(-2)2 =6. De igual manera puede comprobarse que el par x = 3, y = 0, también es solución. Mientras que el par x = 2, y = 1, no es solución.

Ejemplo 3: La terna de números x = 1, y = -2, z = -1 es una solución de la ecuación -3x - 2y + z = 0. En efecto: -3·1- 2 . (-2) +(-1) = 0.

Sistemas de ecuaciones

Por lo que a sistemas de ecuaciones se refiere, se denomina solución de un sistema a un conjunto ordenado de números -tantos como incógnitas tenga el sistema- que es solución de todas las ecuaciones del sistema.

EJEMPLO: El par de números x = 2, y = -3, es una solución del sistema:

porque si se reemplaza x por 2 e y por -3 en el sistema, se verifican las dos ecuaciones de éste.

EJEMPLO: La terna de números x = -2, y = 1, z = -1, es una solución del sistema:

porque si se reemplaza x por -2, y por 1 y z por -1 en el sistema, se verifican todas las ecuaciones de éste.

 

 

 

 

 


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