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DESIGUALDADES - INECUACIONES


 

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DESIGUALDADES - INECUACIONES

A veces en Matemáticas hay expresiones en las que aparece una cantidad desconocida que normalmente se designa con la letra x. Como por ejemplo en las expresiones:

1) ax + b=c.
2) ax + b >c ó ax + b≥c.
3) ax + b < c ó ax+b≤c.

Donde a, b y c son números reales.

A las expresiones de la forma 1) se les suele llamar ecuaciones lineales en una variable y a las expresiones de la forma 2) y 3) se les suele llamar inecuaciones lineales en una variable.

Las matemáticas modernas dan considerable importancia al concepto de desigualdad. Una comparación significativa entre dos cantidades puede revelar si ellas están relacionadas en alguna forma, aun cuando las relaciones puedan no ser una igualdad.

La expresión "sentencia numérica" se suele utilizar para describir una relación general que podrá ser una igualdad o una desigualdad. Si la sentencia numérica establece una igualdad es una ECUACIÓN; si establece una desigualdad es una INECUACIÓN.

El resolver una ecuación o una inecuación consiste en encontrar los números reales que verifican la igualdad o las desigualdades que se consideran.

Propiedades del orden de los números reales

Diremos que un número real a es positivo, si a es distinto de cero y la parte no decimal del número real más uno es un número natural. Si un número real distinto de cero no es positivo diremos que es negativo.

Así por ejemplo, 2,37 es positivo ya que 2 + 1 = 3 es natural, 0,28 es positivo puesto 0 + 1 = 1 es natural, -1, 537 es negativo puesto que -1 + 1 = 0 no es natural.

La idea de orden o rango relativo de acuerdo con el tamaño está basada en dos conceptos intuitivos: "mayor que" 1 y "menor que". Los matemáticos usan el símbolo > para representar "mayor que" y el símbolo < para representar "menor que".

Sean a y b dos números reales; diremos que a > b si a = b + q, donde q es un número real positivo.

Diremos que a ≥b si a>b ó a=b.

Por ejemplo, la inecuación que establece que 7 es mayor que 5 se escribe simbólicamente como sigue:

7 > 5

La inecuación que establece que x es menor que 10 se escribe de este modo:

x < 10

Una "solución" de una inecuación que comprende una variable es todo número que pueda sustituirse por la variable sin cambiar la relación entre el miembro izquierdo y el miembro derecho. Por ejemplo, la inecuación x < 10 tiene muchas soluciones. Todo número negativo y todo número positivo entre 0 y 9 puede substituirse por x con buen éxito. Estas soluciones comprenden un grupo de números llamado GRUPO DE SOLUCIONES.

El SENTIDO de una desigualdad se refiere a la dirección en la cual apunta el símbolo de la desigualdad. Por ejemplo, las dos desigualdades siguientes tienen sentidos opuestos:

7 > 5
10 < 12    

Propiedades de las desigualdades

Una desigualdad lo mismo que una igualdad puede ser cierta o falsa. Por ejemplo, la desigualdad x < 3 es cierta para x = 1, pero falsa para x = 5. Las desigualdades verifican las siguientes propiedades.

Las inecuaciones pueden manejarse conforme a reglas operacionales específicas en una forma similar a la usada con las ecuaciones.

Ejemplo
Demostrar que si a - b < c - d, entonces a + d < b + c.
Solución
Como a -b < c – d, si sumamos a ambos miembros el número b, la desigualdad no cambia, así
a -b+b < c-d+b,
por lo tanto a < c - d + b, si ahora sumamos a ambos miembros el número d la desigualdad sigue sin cambiar
a+d < b+c.

Ejemplo
Demostrar que si a - 3 < b - 7, entonces -2.a > 8-2. b.
Solución
Sumando 3 a ambos miembros de la desigualdad resulta que a -  3 + 3 < b - 7+ 3, por lo tanto, a < b - 4. Si se multiplica ahora la desigualdad anterior por -2, entonces la desigualdad cambia de sentido y se tiene que -2.a > 8 - 2.b

ADICIÓN

La regla para la adición es como sigue: Si a ambos miembros de una inecuación se agrega una misma cantidad, el resultado es una inecuación que tiene el mismo sentido que la original. Los siguientes ejemplos ilustran esto:

1.                     5 < 8
                  5 + 2 < 8 + 2
                        7 < 10

La suma de 2 a ambos miembros no cambia el sentido de la inecuación.

2.                      5 < 8
               5 + ( 3) < 8 + ( 3)
                         2 < 5

La suma de 3 a ambos miembros no cambia el sentido de la inecuación.

La adición de una misma cantidad a ambos miembros es un método útil para resolver inecuaciones. En el siguiente ejemplo se suma 2 a ambos miembros para aislar el término x a la izquierda:

  x - 2 > 6
   x - 2 + 2 > 6 + 2
        x > 8

MULTIPLICACIÓN

La regla para la multiplicación es así: Si ambos miembros de una inecuación se multiplican por la misma cantidad positiva, el sentido de la inecuación resultante es el mismo que el de la inecuación original. Lo cual se ilustra de este modo:

1.               -  3 < - 2
              2( - 3) < 2( - 2)
                   - 6 < - 4

La multiplicación de ambos miembros por 2 no altera el sentido de la inecuación.

La multiplicación de ambos miembros por 1/2 no altera el sentido de la inecuación.

Observe que el ejemplo 2 ilustra la división de ambos miembros por 2. Puesto que toda división se puede volver a escribir como una multiplicación por una fracción, la regla de la multiplicación es aplicable tanto a la multiplicación como a la división.

La multiplicación se emplea para simplificar la solución de inecuaciones como la siguiente:

Multiplicamos ambos miembros por 3:

INVERSIÓN DEL SENTIDO

Si ambos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por el mismo número negativo, se invierte el sentido de la inecuación resultante. Esto se ilustra así:

La inversión del sentido es útil en la solución de una inecuación en la cual la variable está precedida por un signo negativo, como sigue:

2 - x < 4

Sumamos 2 a ambos miembros para aislar el término x:

2 - x - 2 < 4 - 2
- x < 2

Multiplicamos ambos miembros por -1;

x > 2

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Resolver cada una de las siguientes inecuaciones:

 

Gráfico de desigualdades

Una inecuación tal como x > 2 puede representarse gráficamente sobre una recta numérica, según se muestra en la figura 11-2.

La línea gruesa en la figura 11-2 contiene todos los valores de x que constituyen el grupo de soluciones. Repare en que esta línea continúa en forma indefinida en la dirección positiva, como se indica por la flecha. Observe también que el punto que representa x = 2 está designado por un círculo. Esto significa que el grupo de soluciones no contiene el número 2.

Se llama intervalo abierto (a, b) al conjunto de los números reales x que verifican las desigualdades a < x < b.

Se denomina intervalo semiabierto [a, b) al conjunto de los números reales x, a ≤ x < b, y (a, b] al conjunto de los números reales a < x ≤ b.

Se denomina intervalo cerrado [a, b] al conjunto de los números reales x, tales que 0 ≤ x ≤ b .

La figura 11-3 es un gráfico de la inecuación x2> 4. Visto que el cuadrado de todo número mayor que 2 es mayor que 4, el grupo de soluciones contiene todos los valores de x mayores que 2. Además, el grupo de soluciones contiene todos los valores de x menores que 2. Esto se debe a que el cuadrado de todo número negativo menor que 2 es un número positivo mayor que 4.

 


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