Hasta ahora, en este curso, las
explicaciones de las ecuaciones se han limitado a ecuaciones
lineales con una variable. Las ecuaciones lineales con dos
variables son comunes y su solución implica extenderse
en algunos de los procedimientos que ya han sido explicados.
COORDENADAS RECTANGULARES
Una característica sobresaliente de las ecuaciones
con dos variables es su adaptabilidad para el análisis
gráfico. El sistema de coordenadas rectangulares que
se introdujo en el Capítulo
3 del presente curso se emplea para analizar gráficamente
las ecuaciones. Este sistema de líneas horizontales
y verticales que se cruzan en ángulo recto formando
una retícula se llama con frecuencia sistema de coordenadas
cartesianas. Se le dio este nombre en honor al filósofo
y matemático francés René Descartes,
que lo inventó.
Ejes de coordenadas
El sistema de coordenadas rectangulares se desarrolla sobre
un cuadriculado de referencia similar al de la figura 3-2
en el Capítulo 3 de
este curso. Sobre papel cuadriculado para gráficos
se trazan dos líneas que se intersectan en ángulo
recto, como en la figura 12-1. La línea vertical se
designa generalmente con la letra mayúscula Y
y se llama eje Y. La línea horizontal se suele designar
con la letra X mayúscula y se denomina
X. El punto donde se cruzan los ejes X e Y recibe el nombre
de ORÍGEN y se designa con la letra O.
Por encima del origen, los números medidos a lo largo
o paralelos al eje Y son positivos; por debajo del origen,
son negativos. A la derecha del origen, los números
medidos a lo largo o paralelos al eje X son positivos; a la
izquierda son negativos.
Coordenadas
Cualquier número sobre el gráfico puede localizarse
por medio de dos números, uno que indica la distancia
del punto al eje Y y el otro que señala la distancia
del punto al eje X.
FIGURA 12-1. Sistema de coordenadas rectangulares.
El punto P (figura 12-1) está 6 unidades a la derecha
del eje Y, y 3 unidades por encima del eje X. Llamamos COORDENADAS
a los números que indican la posición de un
punto. El número que señala la distancia del
punto medido horizontalmente desde el origen es la coordenada
X (6 en este ejemplo) y el número que indica la distancia
del punto medido verticalmente desde el origen (3 en este
ejemplo) es la coordenada Y.
Al describir la posición de un punto por medio de
coordenadas rectangulares es costumbre colocar las coordenadas
entre paréntesis y separadas por una coma. Siempre
se escribe primero la coordenada X. Las coordenadas del punto
P (figura 12-1) se escriben (6,3). Las coordenadas para el
punto Q son (4, -5); para el punto R son ( -5, -2); y para
el punto S ( -8,5).
Por regla general cuando indicamos un punto en un gráfico
escribimos una letra y las coordenadas del punto. Así
pues, en la figura 12-1, para el punto S escribimos S (-8,5).
Los otros números se escribirían P (6,3), Q
(4, -5) y R (- 5, 2). La coordenada Y de un punto se suele
llamar ORDENADA y la coordenada X se denomina ABSCISA.
CUADRANTES
Los ejes X e Y dividen el gráfico en cuatro partes
que reciben el nombre de CUADRANTES. En la figura 12-1 el
punto P se halla en el cuadrante 1, el punto S está
en el cuadrante II, R se encuentra en el cuadrante III y Q
está en el cuadrante IV. En el primero y cuarto cuadrantes
la coordenada X es positiva, debido a que se halla a la derecha
del origen. En el segundo y tercer cuadrantes es negativa
porque está a la izquierda del origen. Asimismo, la
coordenada Y es positiva en el primero y segundo cuadrantes,
por encontrarse encima del origen; es negativa en el tercero
y cuarto cuadrantes por estar debajo del origen. Entonces,
conocemos por adelantado los signos de las coordenadas de
un punto sabiendo el cuadrante en el que aparecen. Los signos
de las coordenadas en los cuatro cuadrantes se muestran en
la figura 12-1.
La localización de los puntos con respecto a los
ejes se llama TRAZAR. Según se muestra con el punto
P (figura 12-1), trazar un punto es equivalente a completar
un rectángulo que tiene los segmentos de los ejes como
dos de sus lados, con las líneas de puntos trazadas
perpendicularmente a los ejes que forman los otros dos lados.
Esta es la razón del nombre "coordenadas rectangulares".
TRAZADO DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal con dos variables tendrá
muchas soluciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación
2x - y = 5 podemos determinar un número
ilimitado de valores de x para los cuales
hay un valor correspondiente de y. Cuando
x es 4, y es 3, puesto que
(2 x 4) - 3 = 5. Cuando x
es 3, y es 1, y cuando x
es 6 y es 7. Cuando hacemos el gráfico
de una ecuación estos pares de valores se consideran
coordenadas de los puntos sobre el gráfico. El gráfico
de, una ecuación no es más que una línea
que une los puntos determinados por diversos pares de números
que satisfacen la ecuación.
Para representar gráficamente una ecuación
primero determinamos varios pares de valores que la satisfagan.
Por ejemplo, para la ecuación 2x - y = 5
asignamos varios valores a x resolviendo
para y. Una forma conveniente de determinar
los valores es resolver primero la ecuación para cualquier
variable, como sigue:
Una vez realizado esto, el valor de y
es rápidamente evidente cuando se sustituye por valores
de x. La información derivada puede
registrarse en una tabla tal como la tabla 12-1. Trazamos
entonces los ejes X e Y sobre el papel para graficos, seleccionamos
alguna distancia unitaria conveniente para la medición
a lo largo de los ejes y luego trazamos los pares de valores
determinados para x e y
como coordenadas de los puntos en el gráfico. Después
localizamos en el gráfico los pares de valores mostrados
eri la tabla 12-1, conforme se ilustra en la figura 12-2 (A).
FIGURA 12- 2. Gráfico de 2x
- y = 5
Por último, trazamos una línea
que una estos puntos, como en la figura 12-2 (B). Se ve que
es una línea recta; de ahí el nombre de "ecuación
lineal". Una vez trazado el gráfico es
costumbre escribir la ecuación que la representa a
lo largo de la línea, según se aprecia en la
figura 12-2 (B).
Puede demostrarse que el gráfico de
una ecuación es la representación geométrica
de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen las condiciones
de la ecuación. La línea representa un número
infinito de pares de coordenadas para esta ecuación.
Por ejemplo, seleccionando al azar el punto en el cual x
es 2 1/2 e y es 0,
y sustituyendo estos valores en la ecuación, encontramos
que la satisfacen. Entonces,
Si se pueden determinar dos puntos que pertenecen a una línea
recta se conoce la posición de la línea. El
lenguaje matemático para esto es "dos puntos DETERMINAN
una línea recta". Sabemos que el gráfico
de una ecuación lineal con dos variables es una línea
recta. Puesto que dos puntos son suficientes para determinar
una línea recta, una ecuación lineal puede resolverse
gráficamente trazando dos puntos y dibujando una .línea
recta a través de esos puntos. Con frecuencia pueden
determinarse por inspección pares de números
enteros que satisfacen la ecuación. Tales puntos se
trazan con facilidad.
Después que se ha trazado la línea a través
de dos puntos es conveniente marcar un tercer punto como prueba.
Si este tercer punto, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación,
cae sobre la línea, el gráfico ha sido trazado
con exactitud.
Intercepción de X e Y
Toda recta que no es paralela a uno de los ejes tiene una
intercepción con X y una intercepción con Y.
Estos son los puntos en los cuales la línea cruza los
ejes X e Y. En la intercepción de la X la línea
toca el eje X, y entonces el valor de Y en ese punto es 0.
En la intercepción de Y la línea toca el eje
Y; el valor de X en ese punto es 0.
Para determinar la intercepción de X hacemos simplemente
y = 0 y determinamos el valor correspondiente
de x. La intercepción con Y se determina
haciendo x = 0 y determinando el valor correspondiente
de y. Por ejemplo, la línea
5x + 3y = 15
cruza el eje Y en (0,5). Esto se verificará haciendo
x = 0 en la ecuación. La intercepción
con X es (3,0) puesto que x es 3 cuando y
es 0. La figura 12-3 muestra la línea
5x + 3y = 15
trazada por medio de la intercepción con X e Y.
FIGURA 12-3. Gráfico de 5x
+ 3y = 15
Ecuaciones con una variable
Una ecuación que contiene sólo una variable
se traza con facilidad ya que la línea que representa
es paralela a un eje. Por ejemplo, en
2y = 9
el valor de y es
La línea 2y = 9 es paralela al eje
X a la distancia de 4 1/2 unidades sobre él. (Ver figura
12-4.) Note que cada pequeña división en el
papel para gráfico de la figura 12-4 representa media
unidad.
FIGURA 12- 4. Gráficos de 2y
= 9, y de 4x + 15 = 0
La línea 4x + 15 = 0
es paralela al eje Y. El valor de X es -15/4.
Visto que este valor es negativo, la línea se traza
a la izquierda del eje Y a la distancia de 3 3/4 unidades
(ver figura 12-4).
De la explicación anterior deducimos
dos conclusiones importantes:
- Un par de puntos que satisfacen una ecuación son
coordenadas de un punto sobre el gráfico de la ecuación.
- Las coordenadas de cualquier punto en el gráfico
de la ecuación satisfacen a ésta.
Resolución de ecuaciones con
dos variables
La solución de una ecuación lineal
de dos variables consiste en un par de números que
satisfacen la ecuación. Por ejemplo, x = 2,
y = 1, constituyen una solución de
3x - 5y = 1
Cuando 2 se sustituye por x y 1 se reemplaza
por y tenemos
3 (2) - 5 (1) = 1
Los números x = - 3,
e y = - 2 también forman una solución.
Esto es cierto porque sustituyendo -3 por
x, y -2 por y
se reduce la ecuación a una identidad:
3( -3) - 5( - 2) = 1
-9 + 10 = 1
1 = 1
Cada par de números (x,y) tales como (2,1) o (-3,-2)
localiza un punto sobre la línea 3x -5y =1.
Pueden determinarse muchas otras soluciones. Dos números
cualesquiera que constituyan una solución de la ecuación
son coordenadas de un punto sobre la línea que representa
la ecuación.
Supongamos que tratamos de resolver un problema como: Determinar
dos números tales que su suma sea 33 y su diferencia
5. Podremos indicar el problema algebraicamente haciendo que
x represente uno de los números e
y el otro. Entonces el problema se indicará
por medio de dos ecuaciones:
x
+ y =33
x - y =5
Consideradas separadamente, cada una de estas ecuaciones
representa una línea recta sobre el gráfico.
Hay muchos pares de valores para x e y que satisfacen la primera
ecuación y muchos otros pares que satisfacen la segunda
ecuación.
Nuestro problema es determinar un par de valores que satisfagan
a AMBAS ecuaciones. Ese par de valores se dice que satisfacen
ambas ecuaciones al mismo tiempo, o simultáneamente.
Por tanto, dos ecuaciones para las cuales buscamos una solución
común se llaman ECUACIONES SIMULTÁNEAS . Las
dos ecuaciones tomadas juntas constituyen un SISTEMA de ecuaciones.
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