CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA) ONLINE


   

 

Ecuaciones lineales con dos variables.

 

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Curso de Matemáticas


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Hasta ahora, en este curso, las explicaciones de las ecuaciones se han limitado a ecuaciones lineales con una variable. Las ecuaciones lineales con dos variables son comunes y su solución implica extenderse en algunos de los procedimientos que ya han sido explicados.

COORDENADAS RECTANGULARES

Una característica sobresaliente de las ecuaciones con dos variables es su adaptabilidad para el análisis gráfico. El sistema de coordenadas rectangulares que se introdujo en el Capítulo 3 del presente curso se emplea para analizar gráficamente las ecuaciones. Este sistema de líneas horizontales y verticales que se cruzan en ángulo recto formando una retícula se llama con frecuencia sistema de coordenadas cartesianas. Se le dio este nombre en honor al filósofo y matemático francés René Descartes, que lo inventó.

Ejes de coordenadas

El sistema de coordenadas rectangulares se desarrolla sobre un cuadriculado de referencia similar al de la figura 3-2 en el Capítulo 3 de este curso. Sobre papel cuadriculado para gráficos se trazan dos líneas que se intersectan en ángulo recto, como en la figura 12-1. La línea vertical se designa generalmente con la letra mayúscula Y y se llama eje Y. La línea horizontal se suele designar con la letra X mayúscula y se denomina X. El punto donde se cruzan los ejes X e Y recibe el nombre de ORÍGEN  y se designa con la letra O.

Por encima del origen, los números medidos a lo largo o paralelos al eje Y son positivos; por debajo del origen, son negativos. A la derecha del origen, los números medidos a lo largo o paralelos al eje X son positivos; a la izquierda son negativos.

Coordenadas

Cualquier número sobre el gráfico puede localizarse por medio de dos números, uno que indica la distancia del punto al eje Y y el otro que señala la distancia del punto al eje X.

FIGURA 12-1. Sistema de coordenadas rectangulares.

El punto P (figura 12-1) está 6 unidades a la derecha del eje Y, y 3 unidades por encima del eje X. Llamamos COORDENADAS a los números que indican la posición de un punto. El número que señala la distancia del punto medido horizontalmente desde el origen es la coordenada X (6 en este ejemplo) y el número que indica la distancia del punto medido verticalmente desde el origen (3 en este ejemplo) es la coordenada Y.

Al describir la posición de un punto por medio de coordenadas rectangulares es costumbre colocar las coordenadas entre paréntesis y separadas por una coma. Siempre se escribe primero la coordenada X. Las coordenadas del punto P (figura 12-1) se escriben (6,3). Las coordenadas para el punto Q son (4, -5); para el punto R son ( -5, -2); y para el punto S ( -8,5).

Por regla general cuando indicamos un punto en un gráfico escribimos una letra y las coordenadas del punto. Así pues, en la figura 12-1, para el punto S escribimos S (-8,5). Los otros números se escribirían P (6,3), Q (4, -5) y R (- 5, 2). La coordenada Y de un punto se suele llamar ORDENADA y la coordenada X se denomina ABSCISA.

CUADRANTES

Los ejes X e Y dividen el gráfico en cuatro partes que reciben el nombre de CUADRANTES. En la figura 12-1 el punto P se halla en el cuadrante 1, el punto S está en el cuadrante II, R se encuentra en el cuadrante III y Q está en el cuadrante IV. En el primero y cuarto cuadrantes la coordenada X es positiva, debido a que se halla a la derecha del origen. En el segundo y tercer cuadrantes es negativa porque está a la izquierda del origen. Asimismo, la coordenada Y es positiva en el primero y segundo cuadrantes, por encontrarse encima del origen; es negativa en el tercero y cuarto cuadrantes por estar debajo del origen. Entonces, conocemos por adelantado los signos de las coordenadas de un punto sabiendo el cuadrante en el que aparecen. Los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes se muestran en la figura 12-1.

La localización de los puntos con respecto a los ejes se llama TRAZAR. Según se muestra con el punto P (figura 12-1), trazar un punto es equivalente a completar un rectángulo que tiene los segmentos de los ejes como dos de sus lados, con las líneas de puntos trazadas perpendicularmente a los ejes que forman los otros dos lados. Esta es la razón del nombre "coordenadas rectangulares".

TRAZADO DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal con dos variables tendrá muchas soluciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación 2x - y = 5 podemos determinar un número ilimitado de valores de x para los cuales hay un valor correspondiente de y. Cuando x es 4, y es 3, puesto que (2 x 4) - 3 = 5. Cuando x es 3, y es 1, y cuando x es 6 y es 7. Cuando hacemos el gráfico de una ecuación estos pares de valores se consideran coordenadas de los puntos sobre el gráfico. El gráfico de, una ecuación no es más que una línea que une los puntos determinados por diversos pares de números que satisfacen la ecuación.

Para representar gráficamente una ecuación primero determinamos varios pares de valores que la satisfagan. Por ejemplo, para la ecuación 2x - y = 5 asignamos varios valores a x resolviendo para y. Una forma conveniente de determinar los valores es resolver primero la ecuación para cualquier variable, como sigue:

Una vez realizado esto, el valor de y es rápidamente evidente cuando se sustituye por valores de x. La información derivada puede registrarse en una tabla tal como la tabla 12-1. Trazamos entonces los ejes X e Y sobre el papel para graficos, seleccionamos alguna distancia unitaria conveniente para la medición a lo largo de los ejes y luego trazamos los pares de valores determinados para x e y como coordenadas de los puntos en el gráfico. Después localizamos en el gráfico los pares de valores mostrados eri la tabla 12-1, conforme se ilustra en la figura 12-2 (A).

 

FIGURA 12- 2. Gráfico de 2x - y = 5

Por último, trazamos una línea que una estos puntos, como en la figura 12-2 (B). Se ve que es una línea recta; de ahí el nombre de "ecuación lineal". Una vez trazado el gráfico es costumbre escribir la ecuación que la representa a lo largo de la línea, según se aprecia en la figura 12-2 (B).

Puede demostrarse que el gráfico de una ecuación es la representación geométrica de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen las condiciones de la ecuación. La línea representa un número infinito de pares de coordenadas para esta ecuación. Por ejemplo, seleccionando al azar el punto en el cual x es 2 1/2 e y es 0, y sustituyendo estos valores en la ecuación, encontramos que la satisfacen. Entonces,

Si se pueden determinar dos puntos que pertenecen a una línea recta se conoce la posición de la línea. El lenguaje matemático para esto es "dos puntos DETERMINAN una línea recta". Sabemos que el gráfico de una ecuación lineal con dos variables es una línea recta. Puesto que dos puntos son suficientes para determinar una línea recta, una ecuación lineal puede resolverse gráficamente trazando dos puntos y dibujando una .línea recta a través de esos puntos. Con frecuencia pueden determinarse por inspección pares de números enteros que satisfacen la ecuación. Tales puntos se trazan con facilidad.

Después que se ha trazado la línea a través de dos puntos es conveniente marcar un tercer punto como prueba. Si este tercer punto, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación, cae sobre la línea, el gráfico ha sido trazado con exactitud.

Intercepción de X e Y

Toda recta que no es paralela a uno de los ejes tiene una intercepción con X y una intercepción con Y. Estos son los puntos en los cuales la línea cruza los ejes X e Y. En la intercepción de la X la línea toca el eje X, y entonces el valor de Y en ese punto es 0. En la intercepción de Y la línea toca el eje Y; el valor de X en ese punto es 0.

Para determinar la intercepción de X hacemos simplemente y = 0 y determinamos el valor correspondiente de x. La intercepción con Y se determina haciendo x = 0 y determinando el valor correspondiente de y. Por ejemplo, la línea

5x + 3y = 15

cruza el eje Y en (0,5). Esto se verificará haciendo x = 0 en la ecuación. La intercepción con X es (3,0) puesto que x es 3 cuando y es 0. La figura 12-3 muestra la línea

5x + 3y = 15

trazada por medio de la intercepción con X e Y.

FIGURA 12-3. Gráfico de 5x + 3y = 15

Ecuaciones con una variable

Una ecuación que contiene sólo una variable se traza con facilidad ya que la línea que representa es paralela a un eje. Por ejemplo, en

2y = 9

el valor de y es

La línea 2y = 9 es paralela al eje X a la distancia de 4 1/2 unidades sobre él. (Ver figura 12-4.) Note que cada pequeña división en el papel para gráfico de la figura 12-4 representa media unidad.

FIGURA 12- 4. Gráficos de 2y = 9, y de 4x + 15 = 0

La línea 4x + 15 = 0 es paralela al eje Y. El valor de X es -15/4. Visto que este valor es negativo, la línea se traza a la izquierda del eje Y a la distancia de 3 3/4 unidades (ver figura 12-4).

De la explicación anterior deducimos dos conclusiones importantes:

  1. Un par de puntos que satisfacen una ecuación son coordenadas de un punto sobre el gráfico de la ecuación.
  2. Las coordenadas de cualquier punto en el gráfico de la ecuación satisfacen a ésta.

Resolución de ecuaciones con dos variables

La solución de una ecuación lineal de dos variables consiste en un par de números que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, x = 2, y = 1, constituyen una solución de

3x - 5y = 1

Cuando 2 se sustituye por x y 1 se reemplaza por y tenemos

3 (2) - 5 (1) = 1

Los números x = - 3, e y = - 2 también forman una solución. Esto es cierto porque sustituyendo -3 por x, y -2 por y se reduce la ecuación a una identidad:

3( -3) - 5( - 2) = 1
-9 + 10 = 1
1 = 1

Cada par de números (x,y) tales como (2,1) o (-3,-2) localiza un punto sobre la línea 3x -5y =1. Pueden determinarse muchas otras soluciones. Dos números cualesquiera que constituyan una solución de la ecuación son coordenadas de un punto sobre la línea que representa la ecuación.

Supongamos que tratamos de resolver un problema como: Determinar dos números tales que su suma sea 33 y su diferencia 5. Podremos indicar el problema algebraicamente haciendo que x represente uno de los números e y el otro. Entonces el problema se indicará por medio de dos ecuaciones:

      x + y =33
x - y  =5

Consideradas separadamente, cada una de estas ecuaciones representa una línea recta sobre el gráfico. Hay muchos pares de valores para x e y que satisfacen la primera ecuación y muchos otros pares que satisfacen la segunda ecuación.

Nuestro problema es determinar un par de valores que satisfagan a AMBAS ecuaciones. Ese par de valores se dice que satisfacen ambas ecuaciones al mismo tiempo, o simultáneamente. Por tanto, dos ecuaciones para las cuales buscamos una solución común se llaman ECUACIONES SIMULTÁNEAS . Las dos ecuaciones tomadas juntas constituyen un SISTEMA de ecuaciones.

 

 

 


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