SOLUCIÓN GRÁFICA
Si hay un par de números que pueden substituirse
por x e y en dos ecuaciones
diferentes, estos números forman las coordenadas de
un punto que pertenece al gráfico de ambas ecuaciones.
La única forma en que un punto puede pertenecer simultáneamente
a dos líneas es el punto de intersección de
éstas. En consecuencia, la solución gráfica
de dos ecuaciones simultáneas comprende el trazado
de sus gráficos y ubicar el punto en el cual las líneas
se cortan.
Figura 12-5. Gráficos de x
+ y =33, y de x - y = 5
Por ejemplo, cuando trazamos las ecuaciones x +
y = 33, x - y = 5, como en la figura
12-5, vemos que ellas se intersectan en un solo punto. Hay
un par de valores que constituyen las coordenadas de ese punto
(19,14) y ese par de valores satisface ambas ecuaciones, según
se aprecia a continuación:
Este par de números satisface cada ecuación.
Es el único par de números que satisface las
dos ecuaciones simultáneamente. El método gráfico
es un medio rápido y simple para obtener la solución
aproximada de dos ecuaciones simultáneas. Se trazan
los gráficos de las dos ecuaciones y se lee con la
mayor precisión posible el punto de intersección
de las dos líneas. En esta forma puede obtenerse un
alto grado de precisión, que sin duda depende de la
precisión con que se trazan las líneas y de
la precisión con que puede leerse en el gráfico.
A veces el método gráfico es muy adecuado para
los propósitos del problema.
La figura 12-6 muestra los gráficos de x
+ y = 11, x - y = - 3. La intersección
aparece en el punto (4,7). Sustituyendo x = 4,
y = 7 en las ecuaciones, éstas muestran
que ese es el verdadero punto de intersección puesto
que ese par de números satisfacen ambas ecuaciones.
Figura 12-6. Gráficos de x
+ y = 11, y de x - y = -3.
Las ecuaciones 7x - 8y = 2,
4x + 3y = 5 son representadas en la figura
12-7. Las rectas se cortan donde y es aproximadamente
igual a 1/2 y x es aproximadamente 5/6.
Fig. 12-7. Gráficos de 7x -
8y = 2, y de 4x + 3y = 5
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver gráficamente las siguientes ecuaciones simultáneas:
MÉTODO DE LA ADICIÓN
El método de la edición para resolver ecuaciones
simultáneas se ilustra en el siguiente ejemplo:
El resultado en el ejemplo anterior se obtiene
sumando el miembro izquierdo de la primera ecuación
al miembro izquierdo de la segunda, y sumando el miembro derecho
de la primera ecuación al miembro derecho de la segunda.
Habiendo determinado el valor de x, reemplazamos
este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para
determinar el valor de y, como sigue:
Observe que el secreto en el método de
la adición es la eliminación "temporaria"
de una de las variables. Si el coeficiente de y
es el mismo en ambas ecuaciones, excepto por su signo, sumando
las ecuaciones se elimina y, como en el ejemplo anterior.
Por, otro lado, suponemos que el coeficiente de la variable
que deseamos eliminar es exactamente el mismo en ambas ecuaciones.
En el siguiente ejemplo el coeficiente de x
es el mismo en ambas ecuaciones, incluyendo su signo:
Sumando las ecuaciones no eliminamos ni x
ni y. Sin embargo, si multiplicamos ambos
miembros de la segunda ecuación por 1, entonces con
la adición se elimina x, de esta manera:
El valor de x se determina
sustituyendo 1 por y en cualquiera de las ecuaciones originales,
así:
Como segundo ejemplo del método de adición,
determinamos la solución de las ecuaciones simultáneas
Aquí x e y tienen
coeficientes distintos. Los coeficientes de una de las variables
deben ser igualados, excepto en sus signos.
Los coeficientes de x serán los
mismos excepto en sus signos, si ambos miembros de la primera
ecuación se multiplican por 4 y ambos miembros de la
segunda ecuación se multiplican por 3. Entonces la
adición eliminará x.
Siguiendo este procedimiento para obtener el valor de y,
multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda
ecuación por 3, del modo que sigue:
Reemplazando para y en la primera
ecuación a fin de obtener el valor de x,
tenemos:
Esta solución se controla algebraicamente
sustituyendo 8 por x, y 6 para y
en cada una de las ecuaciones originales, así:
PRACTICA DE PROBLEMAS:
Use el método de adición para resolver los siguientes
problemas:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
En algunos casos es más conveniente
emplear el método de sustitución para resolver
los problemas. En este método resolvemos una ecuación
para una de las variables y reemplazamos el valor obtenido
en la otra ecuación. Esto elimina una de las variables,
dejando una ecuación con una incógnita. Por
ejemplo, determinar la solución del siguiente sistema:
Es fácil resolver para y
en la primera ecuación o para x en
la segunda. Resolvamos para y en la primera
ecuación. El resultado es
y = 11 - 4x
Visto que las igualdades Pueden sustituirse
por igualdades, reemplazaremos este valor de y
en cualquier lugar que aparezca y, en la
segunda ecuación. Entonces;
x + 2(11 - 4x) = 8
Tenemos ahora una ecuación que es lineal
en x; vale decir que la ecuación contiene
sólo la variable x.
Sacando paréntesis y resolviendo para
x, determinamos que
Para obtener el valor correspondiente de y
sustituimos x = 2 en y = 11 - 4x..
El resultado es
Así pues, la solución para las
dos ecuaciones originales es x = 2, y
= 3.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución:
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