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Ecuaciones lineales con dos variables.


 

 


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SOLUCIÓN GRÁFICA

Si hay un par de números que pueden substituirse por x e y en dos ecuaciones diferentes, estos números forman las coordenadas de un punto que pertenece al gráfico de ambas ecuaciones. La única forma en que un punto puede pertenecer simultáneamente a dos líneas es el punto de intersección de éstas. En consecuencia, la solución gráfica de dos ecuaciones simultáneas comprende el trazado de sus gráficos y ubicar el punto en el cual las líneas se cortan.

Figura 12-5. Gráficos de x + y =33, y de x - y = 5

Por ejemplo, cuando trazamos las ecuaciones x + y = 33, x - y = 5, como en la figura 12-5, vemos que ellas se intersectan en un solo punto. Hay un par de valores que constituyen las coordenadas de ese punto (19,14) y ese par de valores satisface ambas ecuaciones, según se aprecia a continuación:

Este par de números satisface cada ecuación. Es el único par de números que satisface las dos ecuaciones simultáneamente. El método gráfico es un medio rápido y simple para obtener la solución aproximada de dos ecuaciones simultáneas. Se trazan los gráficos de las dos ecuaciones y se lee con la mayor precisión posible el punto de intersección de las dos líneas. En esta forma puede obtenerse un alto grado de precisión, que sin duda depende de la precisión con que se trazan las líneas y de la precisión con que puede leerse en el gráfico. A veces el método gráfico es muy adecuado para los propósitos del problema.

La figura 12-6 muestra los gráficos de x + y = 11, x - y = - 3. La intersección aparece en el punto (4,7). Sustituyendo x = 4, y = 7 en las ecuaciones, éstas muestran que ese es el verdadero punto de intersección puesto que ese par de números satisfacen ambas ecuaciones.

Figura 12-6. Gráficos de x + y = 11, y de x - y = -3.

Las ecuaciones 7x - 8y = 2, 4x + 3y = 5 son representadas en la figura 12-7. Las rectas se cortan donde y es aproximadamente igual a 1/2 y x es aproximadamente 5/6.

Fig. 12-7. Gráficos de 7x - 8y = 2, y de 4x + 3y = 5

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver gráficamente las siguientes ecuaciones simultáneas:

MÉTODO DE LA ADICIÓN
El método de la edición para resolver ecuaciones simultáneas se ilustra en el siguiente ejemplo:

El resultado en el ejemplo anterior se obtiene sumando el miembro izquierdo de la primera ecuación al miembro izquierdo de la segunda, y sumando el miembro derecho de la primera ecuación al miembro derecho de la segunda.

Habiendo determinado el valor de x, reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para determinar el valor de y, como sigue:

Observe que el secreto en el método de la adición es la eliminación "temporaria" de una de las variables. Si el coeficiente de y es el mismo en ambas ecuaciones, excepto por su signo, sumando las ecuaciones se elimina y, como en el ejemplo anterior. Por, otro lado, suponemos que el coeficiente de la variable que deseamos eliminar es exactamente el mismo en ambas ecuaciones.

En el siguiente ejemplo el coeficiente de x es el mismo en ambas ecuaciones, incluyendo su signo:

Sumando las ecuaciones no eliminamos ni x ni y. Sin embargo, si multiplicamos ambos miembros de la segunda ecuación por 1, entonces con la adición se elimina x, de esta manera:

El valor de x se determina sustituyendo 1 por y en cualquiera de las ecuaciones originales, así:

Como segundo ejemplo del método de adición, determinamos la solución de las ecuaciones simultáneas

Aquí x e y tienen coeficientes distintos. Los coeficientes de una de las variables deben ser igualados, excepto en sus signos.

Los coeficientes de x serán los mismos excepto en sus signos, si ambos miembros de la primera ecuación se multiplican por 4 y ambos miembros de la segunda ecuación se multiplican por 3. Entonces la adición eliminará x.

Siguiendo este procedimiento para obtener el valor de y, multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 3, del modo que sigue:

Reemplazando para y en la primera ecuación a fin de obtener el valor de x, tenemos:

Esta solución se controla algebraicamente sustituyendo 8 por x, y 6 para y en cada una de las ecuaciones originales, así:

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Use el método de adición para resolver los siguientes problemas:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

En algunos casos es más conveniente emplear el método de sustitución para resolver los problemas. En este método resolvemos una ecuación para una de las variables y reemplazamos el valor obtenido en la otra ecuación. Esto elimina una de las variables, dejando una ecuación con una incógnita. Por ejemplo, determinar la solución del siguiente sistema:

Es fácil resolver para y en la primera ecuación o para x en la segunda. Resolvamos para y en la primera ecuación. El resultado es

y = 11 - 4x

Visto que las igualdades Pueden sustituirse por igualdades, reemplazaremos este valor de y en cualquier lugar que aparezca y, en la segunda ecuación. Entonces;

x + 2(11 - 4x) = 8

Tenemos ahora una ecuación que es lineal en x; vale decir que la ecuación contiene sólo la variable x.

Sacando paréntesis y resolviendo para x, determinamos que

Para obtener el valor correspondiente de y sustituimos x = 2 en y = 11 - 4x.. El resultado es

Así pues, la solución para las dos ecuaciones originales es x = 2, y = 3.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución:

 

 

 

 


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