COEFICIENTES LITERALES
Las ecuaciones simultáneas con coeficientes y constantes
literales se resuelven para el valor de las variables como
se hizo con las otras ecuaciones explicadas en este capítulo,
con la excepción de que la solución contendrá
números literales.
Por ejemplo, determinar la solución del sistema:
Procedemos como con las otras ecuaciones simultáneas
lineales. Usando el método de la adición, hacemos
así: Para eliminar y, multiplicamos
la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación
por 4. Las ecuaciones son entonces
Para eliminar x, multiplicamos
la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación
por 3. Las ecuaciones se transforman en
Podemos controlar de la misma manera que la
utilizada para las otras ecuaciones, sustituyendo estos valores
en las ecuaciones originales.
INTERPRETACIÓN DE ECUACIONES
Hacemos notar que la forma general de una ecuación
de primer grado con una variable es ax + b = 0.
La forma general para las ecuaciones de primer grado con dos
variables es
ax + by + c = 0
Resulta interesante y a menudo útil
observar qué sucede cuando difieren las ecuaciones
en ciertas formas, de la forma general. Con esta información
sabemos por adelantado determinados hechos concernientes a
la ecuación en cuestión.
Líneas paralelas a los ejes
Si en una ecuación lineal falta el término
en y, como en
2x - 15 = 0
la ecuación representa una línea
paralela al eje Y, 7 1/2
unidades de él. Similarmente, una ecuación tal
como
4y - 9 = 0
que no tiene término en x,
representa una línea paralela al eje X,
desplazada 2 1/4 unidades de él (ver
figura 12- 8).
Fig. 12-8. Interpretación de ecuaciones.
El hecho de que una de las dos variables no
aparezca en una ecuación significa que no hay limitaciones
en los valores que puede asumir el término que falta.
Cuando una variable no aparece puede tomar cualquier valor
de 0 a más o menos infinito. Este puede suceder solamente
si la línea representada por la ecuación es
paralela al eje de la variable que falta.
LÍNEAS QUE PASAN A TRAVÉS
DEL ORIGEN
Una ecuación lineal tal como
4x + 3y = 0
que no tiene término constante, representa una línea
que pasa a través del origen. Este hecho es evidente,
ya que x = 0, y = 0 satisfacen
cualquier ecuación que no posea un término constante
(ver figura 12-8).
LÍNEAS PARALELAS ENTRE SÍ.
Una ecuación como
3x - 2y = 6
tiene presentes todos los términos posibles. Representa
una línea que no es paralela a un eje y que no pasa
a través del origen.
Las ecuaciones que son exactamente semejantes, excepto en
los términos constantes, representan líneas
paralelas. Según se muestra en la figura 12- 8, las
líneas represéntadas por las ecuaciones
3x - 2y = -18 y
3x - 2y = 6
son paralelas.
Las líneas paralelas tienen las mismas pendientes.
Cambiando el término constante se cambia la línea,
alejándose del 0 acercándose
al origen, mientras que las diversas posiciones permanecen
paralelas entre sí. Note en la figura 12-8 que la línea
3x - 2y = 6 permanece más cercana
al origen que 3x - 2y = - 18. Esto se evidencia
de inmediato para cualquier par de líneas comparando
sus términos constantes. Aquellas que tienen el término
constante de mayor valor absoluto estarán más
alejadas del origen. En este caso 3x - 2y =
-18 se hallará más alejada del origen
puesto que |-18| > |6| .
El hecho de que las líneas son paralelas queda indicado
por el resultado cuando se trata de resolver simultáneamente
dos ecuaciones tales como 3x - 2y =-18, y
3x - 2y = 6. La sustracción elimina
inmediatamente x e y. Si
desaparecen ambas variables no podemos determinar los valores
para ellas de forma tal que ambas ecuaciones se satisfagan
al mismo tiempo.
Esto significa que no hay solución. Al no haber solución
implica que no existe un punto de intersección para
las líneas rectas representadas por las ecuaciones.
Las líneas que no se cortan en el plano finito son
paralelas.
EMPLEO DE DOS VARIABLES EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Muchos problemas pueden resolverse rápida y fácilmente
utilizando una ecuación con una variable. Otros problemas
que serían dificultosos de solucionar en términos
de una variable pueden resolverse fácilmente empleando
dos ecuaciones y dos variables. La diferencia de los dos métodos
se ilustra en el siguiente ejemplo, resuelto primero utilizando
una variable y luego dos.
EJEMPLO: Determinar dos números tales
que la mitad del primero sea igual a un tercio del segundo
y el doble de su suma exceda tres veces al segundo en 4.
SOLUCIÓN UTILIZANDO UNA VARIABLE:
SOLUCIÓN UTILIZANDO DOS VARIABLES:
Si hacemos x e y como
primero y segundo números, respectivamente, podemos
escribir casi directamente dos ecuaciones con los datos del
problema. Así pues,
Resolviendo para x en la primera ecuación y sustituyendo
este valor en la segunda resulta
Vemos entonces que la solución utilizando dos variables
es más directa y simple. En ciertos casos podría
ser necesaria gran habilidad para manejar un problema de modo
tal que pudiera resolverse utilizando una variable, mientras
que la solución empleando dos variables sería
muy simple. El empleo de dos variables implica, sin duda,
el hecho de que el estudiante debe ser capaz de formar dos
ecuaciones con los datos del problema.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver los siguientes problemas utilizando dos variables:
1. Un remolcador se desplaza a 12 millas por hora a favor
de la corriente y a 9 millas por hora en contra de la corriente.
¿Qué velocidad tiene la corriente?
2. La suma de las edades de dos niños es 18 años.
Si se resta 4 veces la edad del niño más joven
de 3 veces la edad del niño más grande, la diferencia
es 12. ¿Qué edad tienen ambos niños?
Respuestas:
1, 1 1/2 millas por hora.
2. 6 años y 12 años.
DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES
A menudo las desigualdades con dos variables son de la forma:
x + y > 2
De inmediato se hacen evidentes muchas soluciones para tal
inecuación. Por ejemplo, x podría
tener el valor 2 e y podría tener
el valor 3, ya que 2 + 3 es mayor que 2.
La existencia de un gran número de soluciones sugiere
que el gráfico de la inecuación debería
contener muchos puntos. El gráfico de una inecuación
con dos incógnitas es, en efecto, un área entera
en vez de una línea recta.
Representación en el sistema de coordenadas
Sería en extremo laborioso trazar al azar puntos
suficientes para definir un área total en el sistema
de coordenadas. Por eso, nuestro método consiste en
trazar líneas limítrofes y sombrear el área
a un lado de estas líneas, donde existen los puntos
de la solución.
La ecuación de la línea limítrofe se
forma convirtiendo la inecuación en una ecuación.
Por ejemplo, la ecuación de la línea limítrofe
para el gráfico de
x + y > 2
es la ecuación
x + y = 2
La figura 12-9 es un gráfico de x + y >
2. Advierta que la línea límite x
+ y = 2 no es una línea llena. Se hace esto
para indicar que los puntos de la línea límite
no son miembros del grupo de soluciones. Todo punto que está
por encima y a la derecha de la línea límite
es un miembro del grupo de soluciones. Todo punto de la solución
podrá verificarse sustituyendo sus coordenadas X
e Y por x e y
en la inecuación original.
Fig. 12-9 - Gráfico de x +
y > 2
Inecuaciones simultáneas
Las áreas que representan las soluciones de dos inecuaciones
diferentes pueden superponerse. Si se produce tal superposición
el área superpuesta incluye todos los puntos cuyas
coordenadas satisfacen a ambas inecuaciones simultáneamente.
Un ejemplo de esto se ilustra en la figura 12-10, en la cual
se han trazado las dos inecuaciones siguientes:
x + y > 2
x - y > 2
Fig. 12-10. Gráfico de x +
y >2, y de x - y > 2
El área doblemente sombreada de la figura 12-10 contiene
todos los puntos que son grupos de soluciones para el sistema.
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