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Ecuaciones lineales con dos variables.


 

 


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COEFICIENTES LITERALES

Las ecuaciones simultáneas con coeficientes y constantes literales se resuelven para el valor de las variables como se hizo con las otras ecuaciones explicadas en este capítulo, con la excepción de que la solución contendrá números literales.

Por ejemplo, determinar la solución del sistema:

Procedemos como con las otras ecuaciones simultáneas lineales. Usando el método de la adición, hacemos así: Para eliminar y, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 4. Las ecuaciones son entonces

Para eliminar x, multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 3. Las ecuaciones se transforman en

Podemos controlar de la misma manera que la utilizada para las otras ecuaciones, sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales.

INTERPRETACIÓN DE ECUACIONES

Hacemos notar que la forma general de una ecuación de primer grado con una variable es ax + b = 0. La forma general para las ecuaciones de primer grado con dos variables es

ax + by + c = 0

Resulta interesante y a menudo útil observar qué sucede cuando difieren las ecuaciones en ciertas formas, de la forma general. Con esta información sabemos por adelantado determinados hechos concernientes a la ecuación en cuestión.

Líneas paralelas a los ejes

Si en una ecuación lineal falta el término en y, como en

2x  - 15 = 0

la ecuación representa una línea paralela al eje Y, 7 1/2 unidades de él. Similarmente, una ecuación tal como

4y  - 9 = 0

que no tiene término en x, representa una línea paralela al eje X, desplazada 2 1/4 unidades de él (ver figura 12- 8).

Fig. 12-8. Interpretación de ecuaciones.

El hecho de que una de las dos variables no aparezca en una ecuación significa que no hay limitaciones en los valores que puede asumir el término que falta. Cuando una variable no aparece puede tomar cualquier valor de 0 a más o menos infinito. Este puede suceder solamente si la línea representada por la ecuación es paralela al eje de la variable que falta.

LÍNEAS QUE PASAN A TRAVÉS DEL ORIGEN

Una ecuación lineal tal como

4x + 3y = 0

que no tiene término constante, representa una línea que pasa a través del origen. Este hecho es evidente, ya que x = 0, y = 0 satisfacen cualquier ecuación que no posea un término constante (ver figura 12-8).

LÍNEAS PARALELAS ENTRE SÍ.

Una ecuación como

3x - 2y = 6

tiene presentes todos los términos posibles. Representa una línea que no es paralela a un eje y que no pasa a través del origen.

Las ecuaciones que son exactamente semejantes, excepto en los términos constantes, representan líneas paralelas. Según se muestra en la figura 12- 8, las líneas represéntadas por las ecuaciones

3x - 2y = -18   y    3x - 2y = 6

son paralelas.

Las líneas paralelas tienen las mismas pendientes. Cambiando el término constante se cambia la línea, alejándose del 0 acercándose al origen, mientras que las diversas posiciones permanecen paralelas entre sí. Note en la figura 12-8 que la línea 3x - 2y = 6 permanece más cercana al origen que 3x - 2y = - 18. Esto se evidencia de inmediato para cualquier par de líneas comparando sus términos constantes. Aquellas que tienen el término constante de mayor valor absoluto estarán más alejadas del origen. En este caso 3x - 2y = -18 se hallará más alejada del origen puesto que |-18| > |6| .

El hecho de que las líneas son paralelas queda indicado por el resultado cuando se trata de resolver simultáneamente dos ecuaciones tales como 3x - 2y =-18, y 3x - 2y = 6. La sustracción elimina inmediatamente x e y. Si desaparecen ambas variables no podemos determinar los valores para ellas de forma tal que ambas ecuaciones se satisfagan al mismo tiempo.

Esto significa que no hay solución. Al no haber solución implica que no existe un punto de intersección para las líneas rectas representadas por las ecuaciones. Las líneas que no se cortan en el plano finito son paralelas.

EMPLEO DE DOS VARIABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Muchos problemas pueden resolverse rápida y fácilmente utilizando una ecuación con una variable. Otros problemas que serían dificultosos de solucionar en términos de una variable pueden resolverse fácilmente empleando dos ecuaciones y dos variables. La diferencia de los dos métodos se ilustra en el siguiente ejemplo, resuelto primero utilizando una variable y luego dos.

EJEMPLO: Determinar dos números tales que la mitad del primero sea igual a un tercio del segundo y el doble de su suma exceda tres veces al segundo en 4.

SOLUCIÓN UTILIZANDO UNA VARIABLE:

SOLUCIÓN UTILIZANDO DOS VARIABLES:

Si hacemos x e y como primero y segundo números, respectivamente, podemos escribir casi directamente dos ecuaciones con los datos del problema. Así pues,

Resolviendo para x en la primera ecuación y sustituyendo este valor en la segunda resulta

Vemos entonces que la solución utilizando dos variables es más directa y simple. En ciertos casos podría ser necesaria gran habilidad para manejar un problema de modo tal que pudiera resolverse utilizando una variable, mientras que la solución empleando dos variables sería muy simple. El empleo de dos variables implica, sin duda, el hecho de que el estudiante debe ser capaz de formar dos ecuaciones con los datos del problema.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Resolver los siguientes problemas utilizando dos variables:

1. Un remolcador se desplaza a 12 millas por hora a favor de la corriente y a 9 millas por hora en contra de la corriente. ¿Qué velocidad tiene la corriente?

2. La suma de las edades de dos niños es 18 años. Si se resta 4 veces la edad del niño más joven de 3 veces la edad del niño más grande, la diferencia es 12. ¿Qué edad tienen ambos niños?

Respuestas:
1, 1 1/2 millas por hora.
2. 6 años y 12 años.

DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES

A menudo las desigualdades con dos variables son de la forma:

x + y > 2

De inmediato se hacen evidentes muchas soluciones para tal inecuación. Por ejemplo, x podría tener el valor 2 e y podría tener el valor 3, ya que 2 + 3 es mayor que 2.

La existencia de un gran número de soluciones sugiere que el gráfico de la inecuación debería contener muchos puntos. El gráfico de una inecuación con dos incógnitas es, en efecto, un área entera en vez de una línea recta.

Representación en el sistema de coordenadas

Sería en extremo laborioso trazar al azar puntos suficientes para definir un área total en el sistema de coordenadas. Por eso, nuestro método consiste en trazar líneas limítrofes y sombrear el área a un lado de estas líneas, donde existen los puntos de la solución.

La ecuación de la línea limítrofe se forma convirtiendo la inecuación en una ecuación.

Por ejemplo, la ecuación de la línea limítrofe para el gráfico de

x + y > 2

es la ecuación

x + y = 2

La figura 12-9 es un gráfico de x + y > 2. Advierta que la línea límite x + y = 2 no es una línea llena. Se hace esto para indicar que los puntos de la línea límite no son miembros del grupo de soluciones. Todo punto que está por encima y a la derecha de la línea límite es un miembro del grupo de soluciones. Todo punto de la solución podrá verificarse sustituyendo sus coordenadas X e Y por x e y en la inecuación original.

Fig. 12-9 - Gráfico de x + y > 2

Inecuaciones simultáneas

Las áreas que representan las soluciones de dos inecuaciones diferentes pueden superponerse. Si se produce tal superposición el área superpuesta incluye todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen a ambas inecuaciones simultáneamente. Un ejemplo de esto se ilustra en la figura 12-10, en la cual se han trazado las dos inecuaciones siguientes:

x + y > 2
x  - y > 2   

Fig. 12-10. Gráfico de x + y >2, y de x - y > 2

El área doblemente sombreada de la figura 12-10 contiene todos los puntos que son grupos de soluciones para el sistema.

 

 

 


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