La solución de problemas
basados en razón, proporción y variación
no implica principios nuevos. Pero la familiaridad con estos
tópicos nos lleva con frecuencia a soluciones rápidas
y simples para problemas que de otra forma serían más
complicados.
RAZÓN
Los resultados de observaciones o medidas deben compararse
a menudo con algún valor normal para que tengan algún
significado. Por ejemplo, decir que un hombre puede leer 400
palabras por minuto tiene poco significado así como
se lo establece. Pero cuando esta relación se la compara
con las 250 palabras por minuto que lee un lector medio, se
puede ver que aquél lee considerablemente más
rápido que el lector común. ¿Cuánto
más rápido? Para determinarlo, esta relación
se divide por la relación del lector medio, como sigue:
Entonces, por cada 5 palabras leídas por el lector
medio este hombre lee 8. Otra forma de hacer esa comparación
es diciendo que él lee 1 3/5 veces más rápido
que el lector medio.
Cuando la relación entre dos números se indica
en esta forma, se compara como una RAZÓN.
Una razón es una comparación de dos cantidades
semejantes. Es el cociente obtenido dividiendo el primer número
de la comparación por el segundo.
Se llama "razón" a la comparación de dos cantidades.
Esta comparación puede hacerse mediante una
DIFERENCIA, en tal caso se llama "razón aritmética",
o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama "razón geométrica".
Razón Aritmética (R A)
Razón Geométrica (R G)
donde:
a: antecedente
b: consecuente
Las comparaciones pueden establecerse en más de una
forma. Por ejemplo, si un engranaje posee 40 dientes y el
otro tiene 10, una forma de establecer la comparación
sería 40 dientes a 10 dientes. Dicha comparación
podría indicarse como una razón, en cuatro formas
distintas, de este modo:
Cuando el énfasis es sobre la "razón"
todas estas expresiones se leerán "la razón
de 40 a 10". La forma 40:10 puede leerse
también "40 dividido por 10". La forma 40/10
podrá leerse asimismo "40 sobre 10".
Las comparaciones por medio de una razón están
limitadas a cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar
la relación entre 6 m y 30 cm ambas cantidades deben
escribirse en términos de la misma unidad. Entonces,
la forma apropiada para esta relación es 6
m: 0,3 m, no 6m: 30 cm. Cuando las partes de la razón
se expresan en términos de la misma unidad, las unidades
se tachan una a otra y la razón consiste simplemente
en dos números. En este ejemplo la forma final de la
razón es 6 : 0,30.
Puesto que una razón es también una fracción,
todas las reglas que gobiernan las fracciones se usarán
al trabajar con razones. Así, los términos pueden
reducirse o aumentarse, simplificarse, etcétera, de
acuerdo con las reglas para las fracciones. Para reducir la
razón 15 : 20 a los términos
de menor valor se escribe la razón como una fracción
y luego se procede como éstas. Entonces, 15
: 20 se transforma
Por tanto, la razón de 15:20
es la misma que la razón de 3:4.
Repare en la diferencia de concepto entre 3/4
como fracción y 3/4 como razón. Como fracción,
pensamos en 3/4 como la cantidad "tres cuartos".
Como razón, pensamos en 3/4 como una comparación
entre los dos números, 3 y 4. Por ejemplo, las longitudes
de los dos lados de un triángulo son 1 9/16 m y 2 m.
Para comparar estas longitudes por medio de una razón
dividimos un miembro por el otro y reducimos a los términos
de menor valor, de esta manera:
Los dos lados del triángulo se comparan
como 25:32.
Razón inversa.
Con frecuencia es útil comparar los
números de una razón en el orden inverso. Para
hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador.
Entonces, la inversa de 15:20 es 20:15.
Cuando los términos de una razón se intercambian
resulta una RAZÓN INVERSA.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 6, escriba la razón como una
fracción y reduzca a los términos de menor valor.
En los problemas 7 a 10, escriba la inversa de la razón
dada.
PROPORCIÓN
Íntimamente ligado al estudio de las razones está
el tema de la proporción. Una PROPORCIÓN no
es más que una ecuación en la cual los miembros
son razones. En otras palabras, cuando dos razones se igualan
una a otra se forma una proporción. La proporción
podrá escribirse en tres formas diferentes, como en
los ejemplos que se ofrecen a continuación:
Las dos últimas formas son las más
comunes. Todas estas formas se leen "15 es a 20 como
3 es a 4", En otras palabras, 15 tiene la misma relación
con 20 que 3 la tiene con 4.
Una razón de la extrema importancia
de las proporciones es que si se dan tres términos
cualesquiera el cuarto podrá determinarse resolviendo
una simple ecuación. En ciencia, muchas relaciones
químicas y físicas se expresan como proporciones.
Consecuentemente, la familiaridad con las proporciones proveerá
un método para resolver muchos problemas aplicados.
Es evidente de la observación de la última forma,
, que una proporción es fácilmente una ecuación
fraccionarla. Por tanto, todas las reglas para las ecuaciones
fraccionarías se aplican aquí.
Términos de una proporción.
Se han dado ciertos nombres a los términos
de dos razones que constituyen una proporción. En una
proporción tal como 3:8 = 9:24, el
primero y último términos (los términos
externos) se llaman EXTREMOS. En otras palabras,
el numerador de la primera razón y el denominador de
la segunda se llaman los extremos. El segundo y tercer términos
(los términos internos) se denominan MEDIOS.
Los medios son el denominador de la primera razón y
el numerador de la segunda. En el ejemplo anterior, los extremos
son 3 y 24; los medios son 8 y 9.
Cuatro números como 5, 8, 15 y 24 forman
una proporción si la razón de los dos primeros
en el orden nombrado es igual a la razón de los otros
dos.
Cuando estos números se agrupan como
razones con el signo de igualdad entre ellos los miembros
se reducen a una identidad si existe una verdadera proporción.
Por ejemplo, consideremos la siguiente:
En esta proporción 15/24
debe reducirse a 5/8 para que la proporción
sea válida. Sacando el mismo factor de ambos miembros
de 15/24 tenemos
El número 3 es el factor común
que debe eliminarse tanto del numerador como del denominador
de una fracción para mostrar que la expresión
es una verdadera proporción.
Para decir esto en otra forma, es el factor
por el cual ambos términos de la razón 5:8
deben multiplicarse para demostrar que esta razón es
lo mismo que 15/24.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Para cada una de las siguientes proporciones
escriba los medios, los extremos y el factor de proporcionalidad.
Operaciones con proporciones.
Suele ser ventajoso cambiar la forma de una
proporción. Hay reglas para transformar o combinar
los términos de una proporción sin alterar la
igualdad entre los miembros. Estas reglas constituyen simplificaciones
de las reglas fundamentales para las ecuaciones; no son nuevas,
sino que se trata de simples adaptaciones de leyes o de ecuaciones
presentadas antes en este curso.
Regla 1. En toda proporción, el producto
de los medios es igual al producto de los extremos.
Esta es quizás la regla de las proporciones
más utilizada. Representa una forma simple de reordenar
una proporción de modo que no se presenten fracciones.
En lenguaje algebraico la regla se ilustra como sigue:
Para probar esta regla observamos que el MCD
de las dos razones a/b y c/b
es bd. Multiplicando ambos miembros de la
ecuación en su forma original por su MCD tenemos:
El siguiente ejemplo numérico ilustra
la simplicidad de la regla 1:
Si uno de los términos de una proporción
es una variable a la primera potencia, como en:
7 : 5 = x : 6
la proporción es realmente una ecuación
lineal con una variable. Tal situación puede resolverse
para la incógnita.
La igualación de los productos de los
medios y de los extremos produce los siguientes:
MEDIOS PROPORCIONALES
Cuando los dos medios de una proporción son la misma
cantidad, esa cantidad se llama el MEDIO PROPORCIONAL entre
los otros dos términos.
En la proporción
x es el medio proporcional
entre a y c.
Regla 2. El medio proporcional entre dos cantidades
es la raíz cuadrada de su producto. Esta regla se establece
algebraicamente como sigue:
Para probar la regla 2 restablecemos la proporción
y aplicamos la regla 1, de esta manera:
La regla 2 se ilustra con el siguiente ejemplo
numérico:
Otras formas para las proporciones
Si cuatro números, por ejemplo a, b,
c y d, forman una proporción como,
también forman una proporción
de acuerdo con otros ordenamientos.
INVERSIÓN
Los cuatro números seleccionados están en proporción
por INVERSIÓN en la forma
La relación de inversión se prueba
como sigue, multiplicando primero ambos miembros de la proporción
original por bd/ac:
Note que el producto de los medios y el producto
de los extremos aún permanece igual, como en la proporción
original.
La relación de la inversión será
ilustrada por el siguiente ejemplo numérico:
ALTERNANCIA
Los cuatro números seleccionados (a,
b, c y d) están en proporción por ALTERNANCIA,
en la siguiente forma:
Para probar la relación de alternancia,
primero multiplicamos ambos lados de la proporción
original por b/c, así:
El siguiente ejemplo numérico ilustra
la alternancia:
|
. 
