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RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN.


 

 


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RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN.

La solución de problemas basados en razón, proporción y variación no implica principios nuevos. Pero la familiaridad con estos tópicos nos lleva con frecuencia a soluciones rápidas y simples para problemas que de otra forma serían más complicados.

RAZÓN

Los resultados de observaciones o medidas deben compararse a menudo con algún valor normal para que tengan algún significado. Por ejemplo, decir que un hombre puede leer 400 palabras por minuto tiene poco significado así como se lo establece. Pero cuando esta relación se la compara con las 250 palabras por minuto que lee un lector medio, se puede ver que aquél lee considerablemente más rápido que el lector común. ¿Cuánto más rápido? Para determinarlo, esta relación se divide por la relación del lector medio, como sigue:

Entonces, por cada 5 palabras leídas por el lector medio este hombre lee 8. Otra forma de hacer esa comparación es diciendo que él lee 1 3/5 veces más rápido que el lector medio.

Cuando la relación entre dos números se indica en esta forma, se compara como una RAZÓN. Una razón es una comparación de dos cantidades semejantes. Es el cociente obtenido dividiendo el primer número de la comparación por el segundo.

Se llama "razón" a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede hacerse mediante una DIFERENCIA, en tal caso se llama "razón aritmética", o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama "razón geométrica".

Razón Aritmética (R A)

a - b = d

Razón Geométrica (R G)

donde:
a: antecedente
b: consecuente

Ejemplo :

PROPIEDADES Y LEYES

Con la R A es una diferencia y la R G es una división, éstas cumple con las mismas propiedades de la resta y division, respectivamente.

Propiedades de las razones

a) El valor de una razón no se altera si se multiplican por un mismo número sus dos términos.

b) El valor de una razón no se altera si se divide entre un mismo número el antecedente y consecuente.

Las comparaciones pueden establecerse en más de una forma. Por ejemplo, si un engranaje posee 40 dientes y el otro tiene 10, una forma de establecer la comparación sería 40 dientes a 10 dientes. Dicha comparación podría indicarse como una razón, en cuatro formas distintas, de este modo:

Cuando el énfasis es sobre la "razón" todas estas expresiones se leerán "la razón de 40 a 10". La forma 40:10 puede leerse también "40 dividido por 10". La forma 40/10 podrá leerse asimismo "40 sobre 10".

Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar la relación entre 6 m y 30 cm ambas cantidades deben escribirse en términos de la misma unidad. Entonces, la forma apropiada para esta relación es 6 m: 0,3 m, no 6m: 30 cm. Cuando las partes de la razón se expresan en términos de la misma unidad, las unidades se tachan una a otra y la razón consiste simplemente en dos números. En este ejemplo la forma final de la razón es 6 : 0,30.

Puesto que una razón es también una fracción, todas las reglas que gobiernan las fracciones se usarán al trabajar con razones. Así, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificarse, etcétera, de acuerdo con las reglas para las fracciones. Para reducir la razón 15 : 20 a los términos de menor valor se escribe la razón como una fracción y luego se procede como éstas. Entonces, 15 : 20 se transforma

Por tanto, la razón de 15:20 es la misma que la razón de 3:4.

Repare en la diferencia de concepto entre 3/4 como fracción y 3/4 como razón. Como fracción, pensamos en 3/4 como la cantidad "tres cuartos". Como razón, pensamos en 3/4 como una comparación entre los dos números, 3 y 4. Por ejemplo, las longitudes de los dos lados de un triángulo son 1 9/16 m y 2 m. Para comparar estas longitudes por medio de una razón dividimos un miembro por el otro y reducimos a los términos de menor valor, de esta manera:

Los dos lados del triángulo se comparan como 25:32.

Temas relacionados. Ejercitación. Teoremas:

 

Razón inversa.

Con frecuencia es útil comparar los números de una razón en el orden inverso. Para hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador. Entonces, la inversa de 15:20 es 20:15. Cuando los términos de una razón se intercambian resulta una RAZÓN INVERSA.

Temas relacionados : Variación inversa

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 6, escriba la razón como una fracción y reduzca a los términos de menor valor. En los problemas 7 a 10, escriba la inversa de la razón dada.

PROPORCIÓN

Se llama "proporción" a la igualdad de dos razones, siendo la característica principal que estas razones son iguales. Las proporciones pueden ser Aritméticas y Geométricas.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Sean las R A:
a - b = k
c - d = k
∴  P A: a - b = c - d
o, también: a . b : c . d
Se lee: "a es a b, como c es a d"

Ejemplo:

En ambos casos se lee: dieciséis es a cuatro, como treinta y dos es a ocho.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Sean las RG

En la proporción:

"a" y "d" reciben el nombre de extremos, "c" y "b" medios.

Ejemplo:

En la proporción 16: 4 :: 32 : 8 los números 16 y 8 son extremos, los números 4 y 32 medios.

Íntimamente ligado al estudio de las razones está el tema de la proporción. Una PROPORCIÓN no es más que una ecuación en la cual los miembros son razones. En otras palabras, cuando dos razones se igualan una a otra se forma una proporción. La proporción podrá escribirse en tres formas diferentes, como en los ejemplos que se ofrecen a continuación:

Las dos últimas formas son las más comunes. Todas estas formas se leen "15 es a 20 como 3 es a 4", En otras palabras, 15 tiene la misma relación con 20 que 3 la tiene con 4.

Una razón de la extrema importancia de las proporciones es que si se dan tres términos cualesquiera el cuarto podrá determinarse resolviendo una simple ecuación. En ciencia, muchas relaciones químicas y físicas se expresan como proporciones. Consecuentemente, la familiaridad con las proporciones proveerá un método para resolver muchos problemas aplicados. Es evidente de la observación de la última forma, , que una proporción es fácilmente una ecuación fraccionarla. Por tanto, todas las reglas para las ecuaciones fraccionarías se aplican aquí.

CLASES DE PROPORCIONES SEGÚN SUS TÉRMINOS

1) Proporción discreta.

Una proporción Aritmética o Geométrica es discreta si sus términos son diferentes:

Sean:

En este caso, cualquiera de los términos se llama "Tercera Proporcional".

2) Proporción continua.

Una proporción Aritmética o Geométrica es continua sis sus términos medios, o sus términos extremos son iguales así:

Sean:

En este caso cualquiera de los términos diferentes se llama "Tercera Proporcional" y al término que se repite se le llama:

"media diferencial" si es P A
"media proporcional" si es P G

Términos de una proporción.

Se han dado ciertos nombres a los términos de dos razones que constituyen una proporción. En una proporción tal como 3:8 = 9:24, el primero y último términos (los términos externos) se llaman EXTREMOS. En otras palabras, el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda se llaman los extremos. El segundo y tercer términos (los términos internos) se denominan MEDIOS. Los medios son el denominador de la primera razón y el numerador de la segunda. En el ejemplo anterior, los extremos son 3 y 24; los medios son 8 y 9.

Cuatro números como 5, 8, 15 y 24 forman una proporción si la razón de los dos primeros en el orden nombrado es igual a la razón de los otros dos.

Cuando estos números se agrupan como razones con el signo de igualdad entre ellos los miembros se reducen a una identidad si existe una verdadera proporción. Por ejemplo, consideremos la siguiente:

En esta proporción 15/24 debe reducirse a 5/8 para que la proporción sea válida. Sacando el mismo factor de ambos miembros de 15/24 tenemos

El número 3 es el factor común que debe eliminarse tanto del numerador como del denominador de una fracción para mostrar que la expresión es una verdadera proporción.

Para decir esto en otra forma, es el factor por el cual ambos términos de la razón 5:8 deben multiplicarse para demostrar que esta razón es lo mismo que 15/24.

Temas relacionados : Razones y Proporciones Numéricas. Definición.  Definición y ejemplos. Nombres de sus elementos. Proporción continua. Teorema fundamental de las proporciones numéricas ordinarias y continuas. Recíprocos. Cálculo de un extremo o de un medio en una proporción ordinaria o continua. Ejercicios. Las siete proporciones deducidas de una dada. En toda proporción la suma de antecedente y consecuente de la primera razón es a su antecedente o consecuente etc. Propiedad análoga para la diferencia entre antecedente y consecuente. En cada proporción, la suma del antecedente y consecuente de la primera razón es a su diferencia, etc. Serie de razones iguales. Propiedades fundamentales. Ejercicios. >> 1 2 3

Proporción directa ó regla de tres directa

Una proporción es directa si al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también aumenta o disminuye respectivamente.

Definición :

Ejemplo :

Un automóvil recorre 600 km en 4 hrs. ¿Cuántos km. recorrerá en 7 hrs si la velocidad es constante?

Solución :

Proporción inversa ó regla de tres inversa

Una proporción es inversa si al aumentar una de las cantidades, la otra disminuye y viceversa.

Definición

Si "m" es a "n" y "c" es a "d", entonces m · n = c . d

Ejemplo :

18 hombres realizan una obra en 8 dias. ¿En cuántos días lo harán 20 hombres?

Solución :

Temas relacionados : Operaciones con proporciones. MAGNITUDES PROPORCIONALES: Definición y ejemplos. Magnitudes directamente proporcionales. Definición y ejemplos. Magnitudes inversamente proporcionales. Definición y ejemplos. Magnitud proporcional a varias otras. Definición y ejemplos. Preferentemente relativos a capital, interés, tiempo, etc.

 

 


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