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Matemáticas: Razón, proporción y variación.


 

 


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Resolución de problemas por medio de la proporción

Uno de los tipos de problemas basados en proporciones implica triángulos con lados proporcionales.

Supongamos que se sabe que los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales. (Ver figura 13 1.) Las longitudes de los lados de un triángulo son 8, 9 y 11. La longitud del lado del segundo triángulo correspondiente al lado 8, en el primer triángulo, es 10. Deseamos determinar las longitudes de los otros lados b y c.

FIGURA 13-1. Triángulos con lados opuestos proporcionales.

Visto que los lados correspondientes son proporcionales, los pares de lados correspondientes se usarán para formar las proporciones, de esta manera:

A fin de resolver para b usamos la proporción

y obtenemos el siguiente resultado:

La solución para c es similar a aquella para b, empleando la proporción

con el resultado que sigue:

Los lados del segundo triángulo son 10, 11 1/4 y 13 3/4. El resultado puede obtenerse también usando el factor o proporcionalidad. Puesto que 8 y 10 son longitudes de los lados correspondientes, podemos escribir

El factor de proporcionalidad es entonces 5/4.
Multiplicando cualquier lado del primer triángulo por 5/4 obtenemos el lado correspondiente del segundo triángulo, así:

Los lados proporcionales de triángulos semejantes podrán emplearse para determinar la altura de un objeto midiendo su sombra. (Ver figura 13-2.)

Figura 13- 2. Medición de la altura por la longitud de la sombra.

En la figura 13-2 el mástil AC proyecta una sombra de 20 metros de largo, cuando la sombra de DF tiene 16 metros de largo. Suponiendo que ambos mástiles son verticales y que están sobre el nivel de tierra, el triángulo ABC es similar al triángulo DEF y sus lados correspondientes son por tanto proporcionales. Entonces, la altura de AC se determinará como sigue:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, establecer una proporción y luego resolver para la cantidad desconocida:

1. Refiriéndose a la figura 13-1, si el lado más corto del triángulo mayor tiene 16 unidades de largo en vez de 10, ¿qué longitud tiene el lado C?
2. Si un mástil dé 10 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros de largo, ¿qué altura tendrá un mástil que proyecte una sombra de 40 metros de largo?

ENUNCIADO DE PROBLEMAS
El conocimiento de las proporciones es un método rápido para resolver el enunciado de problemas. El siguiente problema constituye un ejemplo típico de los que se resuelven por medio de proporciones.

Si un automóvil recorre 36 km con 2 litros de nafta, ¿cuántos kilómetros recorrerá con 12 litros? Comparando kilómetros con kilómetros y litros con litros, tenemos

36:x = 2:12

Volviendo a escribir esto en forma fraccionaria, la solución es:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, establecer primero una proporción y luego resolver para la cantidad incógnita:

1. La relación de velocidades de un avión a otro es 2 a 5. Si el avión más lento tiene una velocidad de 300 nudos, ¿cuál es la velocidad del más rápido?
2. Si 6 marineros pueden llenar 2 bodegas en 1 día, ¿cuántas bodegas llenarán 150 marineros en 1 día?
3. Sobre un mapa que tiene una escala de 1 cm a 50 km, ¿cuántos cm representan 540 km?

Respuestas:
1. 750 nudos.
2. 50.
3. 10,8 cm.

Variación
Cuando dos cantidades son interdependientes, los cambios en el valor de una tendrán un efecto predecible sobre el valor de la otra. VARIACIÓN es el nombre que se da al estudio de los efectos de los cambios entre cantidades relacionadas. Los tres tipos de variaciones que se producen a menudo en el estudio de fenómenos científicos son DIRECTA, INVERSA y CONJUNTA.

Variación directa
Un ejemplo de variación directa se encuentra en la siguiente afirmación: El perímetro (suma de las longitudes de los leidos) de un cuadrado aumenta si lo hace la longitud de los lados. En el lenguaje diario esta afirmación sería: Cuanto más largo sea el lado, mayor será el cuadrado. En símbolos matemáticos, usando p para el perímetro y l para la longitud del lado, la relación se establece como sigue:

p = 4 1

Visto que el número 4 es constante, toda variación que se produzca será el resultado de cambios en p y l. Todo aumento o disminución en el tamaño de 1 dará un aumento o disminución correspondiente en el tamaño de p. Entonces, p varía en la misma forma (aumenta o disminuye) que 1. Esto explica la terminología que se suele emplear: p varía directamente con 1.

En general, si una cantidad puede expresarse en términos de una segunda cantidad multiplicada por una constante, se dice que VARÍA DIRECTAMENTE COMO la segunda cantidad. Por ejermplo, si x e y son variables y k es una constante, x varía directamente como y, si x = ky. Entonces, cuando y aumenta x aumenta, y cuando y disminuye x disminuye.

Hay un efecto directo sobre x producido por cualquier cambio en y.

El hecho de que x varíe como y se indica a veces por . Pero, por lo general se escribe en la forma x = ky.
La relación x = ky es equivalente a x/y = k. Si una cantidad varía directamente como una segunda cantidad, la relación de la primera cantidad a la segunda es una constante. Entonces, cualquiera que sea el valor de x, cuando es dividido por y el resultado será siempre el mismo valor k.
Una cantidad que varía directamente como otra cantidad se dice también que es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL a la segunda cantidad. En x = ky, el coeficiente de x es 1. La relación x = ky puede escribirse en forma de proporción, como

Repare en que las variables x e y aparecen tanto en los numeradores como en los denominadores de las razones iguales. Esto implica que x e y son directamente proporcionales. La constante k es la CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Escribir una ecuación que muestre la relación establecida en cada uno de los siguientes problemas:
1. El costo C de una docena de destornilladores varía directamente con el precio p de un destornillador.
2. X es directamente proporcional a Y (usar k como constante de proporcionalidad).
3. La circunferencia C de un círculo varía directamente como su diámetro, d (use π como constante de proporcionalidad).
En los siguientes problemas, basados en la fórmula p = 4l, determinar la palabra o símbolo apropiado para llenar el espacio en blanco.
4. Cuando l es el doble, p será .....
5. Cuando l es la mitad, p será .....
6 ……….. es directamente proporcional a 1.

Respuestas:

1. C = l2p
2. X = kY
3. C = πd
4. Doble.
5. Mitad.
6. p

Ejercitación :

Las relaciones de proporcionalidad

1 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales, los que son inversamente proporcionales y los que no guardan relación de proporcionalidad:

a) La edad de una persona y su peso.
b) La cantidad de lluvia caída en un año y el crecimiento de una planta.
c) La cantidad de litros de agua que arroja una fuente y el tiempo transcurrido.
d) El número de hojas que contiene un paquete de folios y su peso.
e) La velocidad de un coche y el tiempo que dura un viaje.
f ) La altura de una persona y el número de calzado que usa.
g) El precio del kilo de naranjas y el número de kilos que me dan por 10 dólares.

Magnitudes directamente proporcionales → c), d)
Magnitudes inversamente proporcionales → e), g)
No guardan relación de proporcionalidad → a), b), f )

2 Completa las siguientes tablas e indica, en cada caso, si los pares de valores son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o no guardan ninguna relación de proporcionalidad:

3 Busca:
a) Tres pares de números cuya razón sea igual a 1/2
b) Tres parejas de números que estén en la relación de tres a uno.
c) Tres parejas de números que estén en razón de dos a cinco.

Soluciones abiertas. Por ejemplo:

4 Escribe cuatro proporciones con las siguientes razones:

5 Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla:

¿Qué relación de proporcionalidad liga ambas magnitudes?

Proporcionalidad directa.

 

 

 

 


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