Resolución de problemas
por medio de la proporción
Uno de los tipos de problemas basados en proporciones
implica triángulos con lados proporcionales.
Supongamos que se sabe que los lados correspondientes
de dos triángulos son proporcionales. (Ver figura 13
1.) Las longitudes de los lados de un triángulo son
8, 9 y 11. La longitud del lado del segundo triángulo
correspondiente al lado 8, en el primer triángulo,
es 10. Deseamos determinar las longitudes de los otros lados
b y c.
FIGURA 13-1. Triángulos con lados opuestos
proporcionales.
Visto que los lados correspondientes son proporcionales,
los pares de lados correspondientes se usarán para
formar las proporciones, de esta manera:
A fin de resolver para b usamos
la proporción
y obtenemos el siguiente resultado:
La solución para c es
similar a aquella para b, empleando la proporción
con el resultado que sigue:
Los lados del segundo triángulo son 10,
11 1/4 y 13 3/4. El resultado puede
obtenerse también usando el factor o proporcionalidad.
Puesto que 8 y 10 son longitudes de los lados correspondientes,
podemos escribir
El factor de proporcionalidad es entonces 5/4.
Multiplicando cualquier lado del primer triángulo por
5/4 obtenemos el lado correspondiente del
segundo triángulo, así:
Los lados proporcionales de triángulos
semejantes podrán emplearse para determinar la altura
de un objeto midiendo su sombra. (Ver figura 13-2.)
Figura 13- 2. Medición de la altura
por la longitud de la sombra.
En la figura 13-2 el mástil AC proyecta
una sombra de 20 metros de largo, cuando la sombra de DF tiene
16 metros de largo. Suponiendo que ambos mástiles son
verticales y que están sobre el nivel de tierra, el
triángulo ABC es similar al triángulo DEF y
sus lados correspondientes son por tanto proporcionales. Entonces,
la altura de AC se determinará como sigue:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, establecer una proporción
y luego resolver para la cantidad desconocida:
1. Refiriéndose a la figura 13-1, si
el lado más corto del triángulo mayor tiene
16 unidades de largo en vez de 10, ¿qué longitud
tiene el lado C?
2. Si un mástil dé 10 metros de altura proyecta
una sombra de 10 metros de largo, ¿qué altura
tendrá un mástil que proyecte una sombra de
40 metros de largo?
ENUNCIADO DE PROBLEMAS
El conocimiento de las proporciones es un método rápido
para resolver el enunciado de problemas. El siguiente problema
constituye un ejemplo típico de los que se resuelven
por medio de proporciones.
Si un automóvil recorre 36 km con 2
litros de nafta, ¿cuántos kilómetros
recorrerá con 12 litros? Comparando kilómetros
con kilómetros y litros con litros, tenemos
36:x = 2:12
Volviendo a escribir esto en forma fraccionaria, la solución
es:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, establecer primero
una proporción y luego resolver para la cantidad incógnita:
1. La relación de velocidades de un
avión a otro es 2 a 5. Si el avión más
lento tiene una velocidad de 300 nudos, ¿cuál
es la velocidad del más rápido?
2. Si 6 marineros pueden llenar 2 bodegas en 1 día,
¿cuántas bodegas llenarán 150 marineros
en 1 día?
3. Sobre un mapa que tiene una escala de 1 cm a 50 km, ¿cuántos
cm representan 540 km?
Respuestas:
1. 750 nudos.
2. 50.
3. 10,8 cm.
Variación
Cuando dos cantidades son interdependientes, los cambios en
el valor de una tendrán un efecto predecible sobre
el valor de la otra. VARIACIÓN es el nombre que se
da al estudio de los efectos de los cambios entre cantidades
relacionadas. Los tres tipos de variaciones que se producen
a menudo en el estudio de fenómenos científicos
son DIRECTA, INVERSA y CONJUNTA.
Variación directa
Un ejemplo de variación directa se encuentra en la
siguiente afirmación: El perímetro (suma de
las longitudes de los leidos) de un cuadrado aumenta si lo
hace la longitud de los lados. En el lenguaje diario esta
afirmación sería: Cuanto más largo sea
el lado, mayor será el cuadrado. En símbolos
matemáticos, usando p para el perímetro
y l para la longitud del lado, la relación
se establece como sigue:
p = 4 1
Visto que el número 4 es constante, toda variación
que se produzca será el resultado de cambios en p
y l. Todo aumento o disminución en
el tamaño de 1 dará un aumento
o disminución correspondiente en el tamaño de
p. Entonces, p varía
en la misma forma (aumenta o disminuye) que 1.
Esto explica la terminología que se suele emplear:
p varía directamente con 1.
En general, si una cantidad puede expresarse en términos
de una segunda cantidad multiplicada por una constante, se
dice que VARÍA DIRECTAMENTE COMO la segunda cantidad.
Por ejermplo, si x e y son
variables y k es una constante, x
varía directamente como y, si x
= ky. Entonces, cuando y aumenta
x aumenta, y cuando y disminuye
x disminuye.
Hay un efecto directo sobre x producido
por cualquier cambio en y.
El hecho de que x varíe como y
se indica a veces por  .
Pero, por lo general se escribe en la forma x = ky.
La relación x = ky es equivalente
a x/y = k. Si una cantidad varía directamente
como una segunda cantidad, la relación de la primera
cantidad a la segunda es una constante. Entonces, cualquiera
que sea el valor de x, cuando es dividido
por y el resultado será siempre el
mismo valor k.
Una cantidad que varía directamente como otra cantidad
se dice también que es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL a
la segunda cantidad. En x = ky, el coeficiente
de x es 1. La relación
x = ky puede escribirse en forma de proporción,
como
Repare en que las variables x e y aparecen tanto en los numeradores
como en los denominadores de las razones iguales. Esto implica
que x e y son directamente proporcionales. La constante k
es la CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.
PRACTICA DE PROBLEMAS:
Escribir una ecuación que muestre la relación
establecida en cada uno de los siguientes problemas:
1. El costo C de una docena de destornilladores
varía directamente con el precio p
de un destornillador.
2. X es directamente proporcional a Y
(usar k como constante de proporcionalidad).
3. La circunferencia C de un círculo
varía directamente como su diámetro, d
(use π como constante de proporcionalidad).
En los siguientes problemas, basados en la fórmula
p = 4l, determinar la palabra o símbolo
apropiado para llenar el espacio en blanco.
4. Cuando l es el doble, p
será .....
5. Cuando l es la mitad, p
será .....
6 ……….. es directamente proporcional a 1.
Respuestas:
1. C = l2p
2. X = kY
3. C = πd
4. Doble.
5. Mitad.
6. p
VARIACIÓN COMO LA POTENCIA DE
UNA CANTIDAD
Otra forma de variación directa aparece cuando una
cantidad varía como una potencia de otra. Por ejemplo,
consideremos la fórmula:
A = πr2
La tabla 13-1 indica los valores de r y
los correspondientes valores de A.
Note cómo se produce un cambio en A
como resultado de un cambio en r. Cuando
r varía de 1 a 2, A
cambia de π a 4 por π
o 22 por π. Asimismo, cuando
r varía de 3 a 4, A
no cambia como r sino como el CUADRADO de
r. En general, una cantidad varía
como la potencia de otra si es igual a una constante por esa
cantidad elevada a potencia. Entonces, en una ecuación
tal como x = kyn, x
varía directamente como la enésima potencia
de y. Cuando y aumenta,
x también aumenta pero más
rápidamente que y; cuando y
disminuye, x también lo hace pero
más rápidamente.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. En la fórmula V = e3,
¿cómo varía V?
2. En la fórmula A = s2,
si se duplica s, ¿cómo aumenta
A?
3. En la fórmula s = gt2/2,
g es una constante. Si t
se hace la mitad, ¿cuál es el cambio en s?
Respuestas:
1. Directamente como el cubo de e.
2. Multiplicada por 4.
3. Multiplicada por 1/4.
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