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Matemáticas: Razón, proporción y variación

 

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Variación inversa

Una cantidad VARÍA INVERSAMENTE a otra cantidad si el producto de las dos cantidades es una constante. Por ejemplo, si x e y son variables y k es una constante, el hecho de que x varíe inversamente a y se expresa como

xy = k

o   ,                                                                                 x = k/y

Si x e y se sustituyen por valores vemos que uno aumenta cuando el otro disminuye y viceversa. Por otro lado, sus productos serán iguales a la misma constante en todo momento.
Si una cantidad varía inversamente a otra cantidad es INVERSAMENTE PROPORCIONAL a la segunda cantidad. En xy = k, el coeficiente de k es 1. La igualdad xy = k puede escribirse en la forma

Advierta que cuando una de las variables, x o y, aparece en el numerador de una razón, la otra variable aparece en el denominador de la segunda razón. Esto implica que x e y son inversamente proporcionales.
La variación inversa puede ilustrarse por medio de la fórmula para el área de un rectángulo. Si A es el área, L la longitud y H el ancho, la expresión del área de un rectángulo en términos de la longitud y ancho es

A = LH

Supongamos que se comparan varios rectángulos, todos de la misma área pero de longitudes y anchos variables. Entonces LH = A tiene la misma forma que xy = k, donde A y k son las constantes. Así, L es inversamente proporcional a H, y H es inversamente proporcional a L,

Si el área constante es 12 cm2 esta relación se transforma

LH = 12

Si la longitud es 4 cm, el ancho se determina como sigue:

 

Si la longitud aumenta a 6 cm, el ancho disminuye como sigue:

Si el área constante es 12, el ancho de un rectángulo disminuye de 3 a 2 cuando la longitud aumenta de 4 a 6. Cuando varían dos cantidades inversamente proporcionales, una disminuye al aumentar la otra.

Otro ejemplo de variación inversa se encuentra en el estudio de la electricidad. La corriente que circula en un circuito eléctrico a potencial constante varía inversamente a la resistencia del circuito. Supongamos que la corriente 1 es 10 amperes cuando la resistencia R es 11 ohms y que se desea determinar la corriente cuando la resistencia es 5 ohms.
Puesto que I y R varían inversamente, la ecuación para la relación es IR = k, donde k es el voltaje constante. Por tanto, (10)(11) = k. Además, cuando la resistencia es 5 ohms, (5) (1) = k. Las cantidades iguales a una misma cantidad son iguales entre sí, de modo que tenemos la siguiente ecuación:

La corriente es 22 amperes cuando la resistencia es 5 ohms. Cuando la resistencia disminuye de 11 a 5 ohms, la corriente aumenta de 10 a 22 amperes.
Un problema típico de variación que tiende a confundir al, principiante es el que implica relaciones de velocidad o relaciones de trabajo. Por ejemplo, si 7 hombres pueden completar un trabajo en 20 días, ¿cuánto requerirán 50 hombres para realizar el mismo trabajo? La aproximación estrictamente mecánica a este problema daría como resultado la siguiente solución falsa, al relacionar hombres a hombres y días a días:

Pero, pensando un poco, llegamos a la conclusión de que estamos tratando con una relación INVERSA en vez de una directa.
En otras palabras, cuantos más hombres tenemos, menor tiempo se necesita. Por tanto, la solución correcta requiere que empleemos una proporción inversa; esto es, debemos invertir una de las relaciones como sigue:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 y 2 exprese los datos como una proporción usando k como constante de proporcionalidad.
1. La razón, r, a la cual un buque se desplaza cierta distancia, varía inversamente al tiempo t.
2. El volumen, V, de un gas, varía inversamente a la presión, p.
3. Un barco que se mueve a una velocidad de 15 nudos necesita 10 horas para trasladarse a determinada distancia. Si la velocidad se aumenta a 25 nudos ¿cuánto requerirá para atravesar la misma distancia?
Respuestas:

Variación conjunta
Una cantidad VARÍA CONJUNTAMENTE con dos o más cantidades si es igual a una constante por el producto de éstas. Por ejemplo, si x, y, z son variables y k es una constante, x varía conjuntamente con y, z, si x = kyz. Observe que esto es similar a la variación directa, excepto que hay dos factores variables y la constante contenida en un número mientras que en la variación directa existe sólo una constante y la variable. La igualdad x = kyz es equivalente a

Si una cantidad varía conjuntamente con dos o más cantidades, la razón de la primera cantidad al producto de las otras cantidades es una constante.
La fórmula para el área de un rectángulo constituye un ejemplo de variación conjunta. Si se hace variar A en vez de mantenerlo constante, como en el ejemplo utilizado antes, en este capítulo, entonces A varía conjuntamente con L y H.
Cuando la fórmula se escribe para uso general no se expresa comúnmente como A = kLH, si bien es una forma matemáticamente correcta. Visto que en este caso la constante de proporcionalidad es 1, no se necesita expresarla.
Empleando la fórmula A = LH hacemos las siguientes observaciones: si L = 5 y H = 3, entonces A = 3 (5) = 15, Si L = 5 y H = 4, en tal caso A = 4 (5) 20, y así sucesivamente. Las variaciones en el área de un rectángulo dependen de las variaciones de la longitud o del ancho, o de ambas. El área varia conjuntamente con la longitud y el ancho.
Como un ejemplo general de variación conjunta consideremos la expresión a  ~ bc . Escrita como una ecuación ésta se transforma en a = kbc. Si el valor de a es conocido para valores particulares de b y c , podemos determinar el nuevo valor de a correspondiente a variaciones en b y c. Por ejemplo, supongamos que a es 12 cuando b es 3 y c es 2. ¿Cuál es el valor de a cuando b es 4 y c es 5? Volvemos a escribir la proporción:

Puesto que las cantidades iguales a otra cantidad son iguales entre sí, podemos establecer la siguiente proporción:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Usando k como constante de proporcionalidad escriba las ecuaciones que expresen las siguientes afirmaciones:
1. z varía conjuntamente con x e y.
2. S varía conjuntamente con b por el cuadrado de r.
3. La longitud X de una onda de radio varía conjuntamente con la raíz cuadrada de la inductancia, L, y la capacidad, C.
Respuestas:

Variación combinada
Pueden combinarse los diferentes tipos de variaciones. Este es un caso frecuente en problemas aplicados. La ecuación :

constituye un ejemplo de variación combinada y se lee: "E varía conjuntamente con L y el cuadrado de W, e inversamente al cuadrado de p". Asimismo

se lee: "V varía conjuntamente con r y s e inversamente a t".

Ver temas relacionados : Razón, proporción y variación

 

 

 


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