Variación inversa
Una cantidad VARÍA INVERSAMENTE a otra cantidad si
el producto de las dos cantidades es una constante. Por ejemplo,
si x e y son variables y
k es una constante, el hecho de que x
varíe inversamente a y se expresa
como
xy = k
o ,
x = k/y
Si x e y se
sustituyen por valores vemos que uno aumenta cuando el otro
disminuye y viceversa. Por otro lado, sus productos serán
iguales a la misma constante en todo momento.
Si una cantidad varía inversamente a otra cantidad
es INVERSAMENTE PROPORCIONAL a la segunda cantidad. En xy
= k, el coeficiente de k es 1. La
igualdad xy = k puede escribirse en la forma
Advierta que cuando una de las variables, x
o y, aparece en el numerador de una razón,
la otra variable aparece en el denominador de la segunda razón.
Esto implica que x e y son
inversamente proporcionales.
La variación inversa puede ilustrarse por medio de
la fórmula para el área de un rectángulo.
Si A es el área, L
la longitud y H el ancho, la expresión
del área de un rectángulo en términos
de la longitud y ancho es
A = LH
Supongamos que se comparan varios rectángulos,
todos de la misma área pero de longitudes y anchos
variables. Entonces LH = A tiene la misma
forma que xy = k, donde A
y k son las constantes. Así, L
es inversamente proporcional a H, y H
es inversamente proporcional a L,
Si el área constante es 12 cm2
esta relación se transforma
LH = 12
Si la longitud es 4 cm, el ancho se determina
como sigue:
Si la longitud aumenta a 6 cm, el ancho disminuye
como sigue:
Si el área constante es 12, el ancho
de un rectángulo disminuye de 3 a 2 cuando la longitud
aumenta de 4 a 6. Cuando varían dos cantidades inversamente
proporcionales, una disminuye al aumentar la otra.
Otro ejemplo de variación inversa se encuentra en el
estudio de la electricidad. La corriente que circula en un
circuito eléctrico a potencial constante varía
inversamente a la resistencia del circuito. Supongamos que
la corriente 1 es 10 amperes cuando la resistencia R es 11 ohms y que se desea determinar la corriente cuando la
resistencia es 5 ohms.
Puesto que I y R varían
inversamente, la ecuación para la relación es IR = k, donde k es el voltaje
constante. Por tanto, (10)(11) = k. Además,
cuando la resistencia es 5 ohms, (5) (1) = k.
Las cantidades iguales a una misma cantidad son iguales entre
sí, de modo que tenemos la siguiente ecuación:
La corriente es 22 amperes cuando la resistencia
es 5 ohms. Cuando la resistencia disminuye de 11 a 5 ohms,
la corriente aumenta de 10 a 22 amperes.
Un problema típico de variación que tiende a
confundir al, principiante es el que implica relaciones de
velocidad o relaciones de trabajo. Por ejemplo, si 7 hombres
pueden completar un trabajo en 20 días, ¿cuánto
requerirán 50 hombres para realizar el mismo trabajo?
La aproximación estrictamente mecánica a este
problema daría como resultado la siguiente solución
falsa, al relacionar hombres a hombres y días a días:
Pero, pensando un poco, llegamos a la conclusión
de que estamos tratando con una relación INVERSA en
vez de una directa.
En otras palabras, cuantos más hombres tenemos, menor
tiempo se necesita. Por tanto, la solución correcta
requiere que empleemos una proporción inversa; esto
es, debemos invertir una de las relaciones como sigue:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 y 2 exprese los datos como una proporción
usando k como constante de proporcionalidad.
1. La razón, r, a la cual un buque
se desplaza cierta distancia, varía inversamente al
tiempo t.
2. El volumen, V, de un gas, varía
inversamente a la presión, p.
3. Un barco que se mueve a una velocidad de 15 nudos necesita
10 horas para trasladarse a determinada distancia. Si la velocidad
se aumenta a 25 nudos ¿cuánto requerirá
para atravesar la misma distancia?
Respuestas:
Variación conjunta
Una cantidad VARÍA CONJUNTAMENTE con dos o más
cantidades si es igual a una constante por el producto de
éstas. Por ejemplo, si x, y, z son
variables y k es una constante, x
varía conjuntamente con y, z, si x
= kyz. Observe que esto es similar a la variación
directa, excepto que hay dos factores variables y la constante
contenida en un número mientras que en la variación
directa existe sólo una constante y la variable. La
igualdad x = kyz es equivalente a
Si una cantidad varía conjuntamente con
dos o más cantidades, la razón de la primera
cantidad al producto de las otras cantidades es una constante.
La fórmula para el área de un rectángulo
constituye un ejemplo de variación conjunta. Si se
hace variar A en vez de mantenerlo constante,
como en el ejemplo utilizado antes, en este capítulo,
entonces A varía conjuntamente con
L y H.
Cuando la fórmula se escribe para uso general no se
expresa comúnmente como A = kLH, si
bien es una forma matemáticamente correcta. Visto que
en este caso la constante de proporcionalidad es 1, no se
necesita expresarla.
Empleando la fórmula A = LH hacemos
las siguientes observaciones: si L = 5 y
H = 3, entonces A = 3 (5) = 15,
Si L = 5 y H = 4, en tal
caso A = 4 (5) 20, y así sucesivamente.
Las variaciones en el área de un rectángulo
dependen de las variaciones de la longitud o del ancho, o
de ambas. El área varia conjuntamente con la longitud
y el ancho.
Como un ejemplo general de variación conjunta consideremos
la expresión a ~ bc . Escrita
como una ecuación ésta se transforma en a
= kbc. Si el valor de a es conocido
para valores particulares de b y c
, podemos determinar el nuevo valor de a
correspondiente a variaciones en b y c.
Por ejemplo, supongamos que a es 12 cuando b
es 3 y c es 2. ¿Cuál es el
valor de a cuando b es 4
y c es 5? Volvemos a escribir la proporción:
Puesto que las cantidades iguales a otra cantidad
son iguales entre sí, podemos establecer la siguiente
proporción:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Usando k como constante de proporcionalidad
escriba las ecuaciones que expresen las siguientes afirmaciones:
1. z varía conjuntamente con x e y.
2. S varía conjuntamente con b por el cuadrado de r.
3. La longitud X de una onda de radio varía
conjuntamente con la raíz cuadrada de la inductancia,
L, y la capacidad, C.
Respuestas:
Variación combinada
Pueden combinarse los diferentes tipos de variaciones. Este
es un caso frecuente en problemas aplicados. La ecuación
:
constituye un ejemplo de variación combinada
y se lee: "E varía conjuntamente
con L y el cuadrado de W,
e inversamente al cuadrado de p". Asimismo
se lee: "V varía
conjuntamente con r y s
e inversamente a t".
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