CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)


   

 

MAGNITUDES PROPORCIONALES: Definición y ejemplos. Magnitudes directamente proporcionales. Definición y ejemplos. Magnitudes inversamente proporcionales. Definición y ejemplos. Magnitud proporcional a varias otras. Definición y ejemplos. Preferentemente relativos a capital, interés, tiempo, etc.


 

 


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OPERACIONES CON PROPORCIONES

Suele ser ventajoso cambiar la forma de una proporción. Hay reglas para transformar o combinar los términos de una proporción sin alterar la igualdad entre los miembros. Estas reglas constituyen simplificaciones de las reglas fundamentales para las ecuaciones; no son nuevas, sino que se trata de simples adaptaciones de leyes o de ecuaciones presentadas antes en este curso.

Regla 1. En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Esta es quizás la regla de las proporciones más utilizada. Representa una forma simple de reordenar una proporción de modo que no se presenten fracciones. En lenguaje algebraico la regla se ilustra como sigue:

Para probar esta regla observamos que el MCD de las dos razones a/b y c/b es bd. Multiplicando ambos miembros de la ecuación en su forma original por su MCD tenemos:

El siguiente ejemplo numérico ilustra la simplicidad de la regla 1:

Si uno de los términos de una proporción es una variable a la primera potencia, como en:

7 : 5 = x : 6

la proporción es realmente una ecuación lineal con una variable. Tal situación puede resolverse para la incógnita.

La igualación de los productos de los medios y de los extremos produce los siguientes:

Temas relacionados : RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN.

MEDIOS PROPORCIONALES

Cuando los dos medios de una proporción son la misma cantidad, esa cantidad se llama el MEDIO PROPORCIONAL entre los otros dos términos.

En la proporción

x es el medio proporcional entre a y c.

Regla 2. El medio proporcional entre dos cantidades es la raíz cuadrada de su producto. Esta regla se establece algebraicamente como sigue:

Para probar la regla 2 restablecemos la proporción y aplicamos la regla 1, de esta manera:

La regla 2 se ilustra con el siguiente ejemplo numérico:

Otras formas para las proporciones

Si cuatro números, por ejemplo a, b, c y d, forman una proporción como,

también forman una proporción de acuerdo con otros ordenamientos.

INVERSIÓN

Los cuatro números seleccionados están en proporción por INVERSIÓN en la forma

La relación de inversión se prueba como sigue, multiplicando primero ambos miembros de la proporción original por bd/ac:

Note que el producto de los medios y el producto de los extremos aún permanece igual, como en la proporción original.

La relación de la inversión será ilustrada por el siguiente ejemplo numérico:

ALTERNANCIA

Los cuatro números seleccionados (a, b, c y d) están en proporción por ALTERNANCIA, en la siguiente forma:

Para probar la relación de alternancia, primero multiplicamos ambos lados de la proporción original por b/c, así:

El siguiente ejemplo numérico ilustra la alternancia:

Definición de magnitudes directamente proporcionales.

En el comercio se conviene en que el precio de una mercadería varia con su volumen o con su longitud o con su peso según la naturaleza de la misma, y en forma tal que si en lugar de un cierto volumen, por ejemplo, de esa mercadería, se toma el doble, triplo, cuádruplo del mismo, los precios correspondientes son respectivamente doble, triplo, cuádruplo, del precio del primero. Análogamente tomando un volumen, mitad, tercera parte, etc., del primero, los precios correspondientes son la mitad, tercera parte, etc., respectivamente del precio del volumen primitivo.

Teniendo en cuenta estas relaciones hemos confeccionado el cuadro que sigue y que permite calcular los precios correspondientes a distintos volúmenes de nafta.

En el cuadro anterior puede observarse que a cada volumen de nafta corresponde un solo precio y recíprocamente, y que si se pasa de un volumen a otro multiplicando o dividiendo por un número, se pasa del precio del primero al del segundo, multiplicando o dividiendo, respectivamente, por ese número. Así por ejemplo, como

Por existir entre el volumen de una substancia y el precio de la misma, las relaciones indicadas, se dice que el volumen de una substancia y el precio de la misma son magnitudes directamente proporcionales o simplemente magnitudes proporcionales.

Sabemos, también, que si se consideran varios capitales, colocados en las mismas condiciones, le corresponden al cabo de un mismo intervalo de tiempo, ganancias o pérdidas proporcionales a esos capitales.

Así, por ejemplo:

Análogamente: a un capital colocado durante tiempos distintos en las mismas condiciones, le corresponden ganancias o pérdidas proporcionales a esos tiempos.

Asi por ejemplo:

Lo observado en los tres ejemplos anteriores nos conduce a la siguiente:

DEFINICIÓN. - Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando a cada cantidad de una de ella  le corresponde una sola de la otra y, además, que si a una cantidad de la primera  la multiplica o divide por un número, la cantidad correspondiente de la segunda queda multiplicada o dividida respectivamente, por ese número.

Otros ejemplos de magnitudes proporcionales son los siguientes;

El peso y el volumen de cuerpos homogéneos; el salario de un obrero y el tiempo durante el cual trabaja; el trabajo producido por varios obreros y el número de éstos suponiendo que trabajen igualmente y durante el mismo tiempo; el camino recorrido por un vehículo y el tiempo empleado en recorrerlo si se mueve con igual velocidad y sin detenerse; la longitud de una circunferencia y la de su radio; el perímetro de un polígono regular y su lado; pues todas ellas satisfacen a la definición anterior.

Propiedad de las magnitudes directamente proporcionales.

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de dos cantidades de la primera es igual a la razón de las cantidades correspondientes de la otra.

Así del cuadro de las cantidades de nafta y el precio de las mismas se pueden establecer proporciones como éstas:

En efecto: La primera proporción se verifica, pues como se pasa de10 litros a 5 litros dividiendo por 2, la primera razón es igual a 2, y como los volúmenes y los precios son magnitudes directamente proporcionales se pasa de $6  a $3  dividiendo por 2, por lo tanto la segunda razón es también igual a 2.

De manera análoga se justifica que las otras dos proporciones también se verifican.

Ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales.

En la práctica se conviene en que el tiempo empleado en realizar una obra varia con el número de obreros empleados en la misma y en forma tal que si en lugar de un cierto número de obreros se toma, para realizar la misma obra, el doble, triplo, cuádruplo, etc. de ese número, los tiempos correspondientes son, respectivamente, la mitad, tercera, cuarta parte, etc. del primer tiempo. Análogamente tomando la mitad, "tercera, cuarta parte, etc. del número de obreros, los tiempos correspondientes para realizar una misma obra, son, respectivamente, el duplo, triplo, cuádruplo, etc. del tiempo primitivo.

Teniendo en cuenta estas relaciones hemos confeccionado el cuadro que sigue, que permite calcular los tiempos necesarios para construir 100 m2 de mampostería de 45 cm de espesor, para diversos números de obreros.

                              Mampostería de ladrillo de 45 cm de espesor

En el cuadro anterior puede observarse que: a cada número de obreros, le corresponde un cierto número de días necesarios para hacer la obra y recíprocamente, y que si se pasa del número de obreros de un equipo al de otro multiplicando o dividiendo por un número, se pasa del número de días que tarda el primero al que tarda el segundo, dividiendo o multiplicando, respectivamente, por ese mismo número.

Así, por ejemplo, como

Por existir entre el número de obreros empleados en efectuar un trabajo y el tiempo necesario para realizarlo, las relaciones indicadas, se dice que el tiempo empleado en realizar una obra y el número de obreros utilizados en la misma son magnitudes inversamente proporcionales.

Sabemos, también, que si varios capitales colocados en las mismas condiciones, durante tiempos distintos, han producido la misma ganancia, dichos capitales son inversamente proporcionales a los tiempos mencionados.

Así, por ejemplo,

Lo observado en los dos ejemplos anteriores nos conduce a la siguiente.

DEFINICIÓN. - Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a cada cantidad de una de ellas le corresponde una sola de la otra, y si a una cantidad de la primera se la multiplica o divide por un número, la cantidad correspondiente de la segunda queda dividida o multiplicada, respectivamente por ese número.

Otros ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales son los siguientes: El tiempo empleado por un vehículo al recorrer una distancia y la velocidad con que la recorre, suponiendo que se mantenga igual y que no se detenga el vehículo; la presión transmitida al terreno por un cuerpo y la superficie de la base de apoyo; para un volumen dado, la altura de un prisma y la superficie de su base; la resistencia de un conductor eléctrico y la sección del mismo; para una superficie dada, la base de un rectángulo y la altura del mismo; para una suma de dinero dada, la cantidad de una mercadería y el precio de la misma, etc., pues todas ellas satisfacen a la definición anterior.

Propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales.

Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón de dos cantidades de la primera es igual a la razón inversa de las cantidades correspondientes de la otra.

Así: del cuadro de los tiempos empleados en la construcción de mampostería del número 92, se pueden establecer proporciones como éstas:

En efecto: la primera proporción se verifica, pues como se pasa de 3 ob. a 15 ob. multiplicando por 5, la primera razón es igual a 1/5, y como el número de obreros y los tiempos empleados en efectuar la misma obra son magnitudes inversamente proporcionales, se pasa de 20 días a 4 días, dividiendo por 5, la razón entre 20 días y 4 días es 5 , y por lo tanto su inversa es 1/5.

Análogamente se justifica que las otras dos proporciones también se cumplen.

Magnitud proporcional a varias otras.

DEFINICION. Se dice que una magnitud es proporcional a varias otras, si es directa o inversamente proporcional a cada una de ellas, cuando las cantidades de las demás permanecen constantes.

De acuerdo con los ejemplos dados para las magnitudes proporcionales, resulta que las ganancias de varios capitales colocados en las mismas condiciones durante tiempos distintos son directamente proporcionales a los capitales y a los tiempos.

Esto puede comprobarse en el ejemplo siguiente:

En efecto: vemos que siendo constantes las cantidades de la magnitud (Tiempo), las magnitudes (Capital) y (Ganancias) son directamente proporcionales, y lo mismo sucede con las magnitudes (Tiempo) y (Ganancias) cuando se mantienen constantes las cantidades de la magnitud (Capital).

Otro ejemplo: se ha convenido en que el tiempo empleado para hacer una excavación, es directamente proporcional al volumen de tierra extraída e inversamente proporcional al trabajo de los hombres empleados.

Esto puede comprobarse observando las cantidades que siguen:

En efecto: observando la primera, segunda y tercera fila vemos que siendo constantes las cantidades de la magnitud (Volumen) las magnitudes (Tiempo) y (Hombres) son inversamente proporcionales.

Análogamente observando las filas tercera, cuarta y quinta vemos que mientras las cantidades de la magnitud (Hombres) son constantes, las magnitudes (Tiempo) y (Volumen) son directamente proporcionales, etc.

 

 

 


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