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1. Definición de cantidades. - Los números, los segmentos, los ángulos, las superficies, los volúmenes, los intervalos de tiempo, los pesos, etc.,  presentan las particularidades siguientes:

l°) son comparables, esto es, tiene sentido decir cuando dos de ellos son iguales o desiguales, y en este último caso, cuál de ellos es el mayor.

2°) son sumables, vale decir, dados dos o más de ellos podemos hallar siempre su suma y, además, presentan la particularidad de que tomando sumandos iguales a uno de ellos podemos superar a cualquier otro de la misma especie (postulado llamado de Arquímedes).

3°) son divisibles en cualquier numero de partes iguales.

Por esas razones diremos que los números, los segmentos, los ángulos, las superficies,  los volúmenes, los intervalos de tiempo, los pesos, etc., y otros entes que gocen de esas propiedades, son cantidades comparables, y lo resumimos en la siguiente:

DEFINICIÓN. - Se llaman cantidades comparables a cada uno de los elementos de un conjunto de entes entre los cuales está definida la igualdad, la desigualdad, la suma y son divisibles en cualquier número de partes iguales.

2. Cantidades homogéneas. - DEFINICIÓN. - Se llaman cantidades homogéneas, a las que pertenecen a uno de esos conjuntos entre cuyos elementos está definida la igualdad y la suma.

Las mismas consideraciones pueden hacerse con los segmentos, los ángulos, los pesos, los intervalos de tiempo, etc.

En la práctica se emplean para verificar la igualdad, desigualdad y construir la suma de segmentos y de ángulos materiales, los transportadores de segmentos (regla, compás de puntas secas) y de ángulos, y los relojes y balanzas para la misma verificación con los intervalos de tiempo y con los pesos de los cuerpos, respectivamente.

OBSERVACIÓN. - No todos los entes abstractos son cantidades comparables, pues hay algunos que dejan de cumplir una o más de las condiciones exigidas para serlo. Así por ejemplo, cuando no se conocen los números racionales resulta que los números naturales no satisfacen al postulado de divisibilidad. Los arcos de circunferencias desiguales no son comparables ni sumables, pues para serlo deben tener el mismo radio. Las temperaturas termométricas no son sumables, pues, por ejemplo, la mezcla de líquidos de distinta temperatura no tiene por temperatura a la suma de las anteriores.

Las fuerzas desarrolladas separadamente por dos caballos que actúan sobre un mismo vehículo no son comparables, pues según la dirección y el sentido con que actúan es distinta su eficacia.

3. Producto de una cantidad por un número. - En la práctica es útil comparar una cantidad con otra homogénea a ella, para saber cuántas de esas cantidades o partes deben sumarse para obtener una cantidad dada.

Vamos a comparar, por ejemplo un segmento M con otro segmento N.