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Dependencia, Funciones y Fórmulas


 

 


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En el un capítulo anterior de este curso se usaron varias fórmulas tales como A = LH, E = IR, etcétera. El propósito de este capitulo consiste en explicar las relaciones de función y dependencia que hacen útiles a las fórmulas.

DEPENDENCIA Y FUNCIONES
La dependencia puede definirse como cualquier relación entre dos variables que permiten la predicción de un cambio en una de ellas como resultado de un cambio en la otra. Por ejemplo, el costo de 200 tuercas depende del precio por centena. Si C representa el costo y p representa el precio de 100 tuercas, entonces el costo de 200 tuercas podrá expresarse corno sigue:

C = 2p

En el ejemplo dado, C se llama la VARIABLE DEPENDIENTE porque su valor depende de los cambios de valor de p. La VARIABLE INDEPENDIENTE es p. Es de práctica normal aislar la variable dependiente a la izquierda de la ecuación, como en el ejemplo.
Consideremos la fórmula para el área de un rectángulo, A = LH. Aquí tenemos dos variables independientes, L y H.
La figura 14-1 (A) muestra qué sucede si se duplica la longitud. La figura A-1 (B) exhibe el resultado de duplicar el ancho. La figura 14-1 (C) ilustra el efecto de duplicar longitud y ancho. Observe que cuando solamente se duplica la longitud o el ancho, el área se duplica, pero cuando se duplican juntos la longitud y el ancho, el área se cuadruplica.
En toda ecuación que muestra una relación de dependencia, la variable dependiente se dice que es una FUNCIÓN de la variable independiente. Otro empleo del término "función" para describir una ecuación tal como C = 2p, es referir la expresión total "la función C = 2p". Esta terminología resulta especialmente útil cuando la expresión de la derecha tiene varios términos. Por ejemplo, consideremos, la ecuación y = 2x2 + 3x - 4. Los matemáticos suelen utilizar una notación abreviada y vuelven a escribir la ecuación como y = f (x) ,

Figura 14-1. Variaciones en el área de un rectángulo resultantes de los carnbios de longitud y ancho.

La expresión f (x) se sobreentiende que significa "una función de x", y al hacer referencia a la función llamándola f(x), se ahorra el espacio y el tiempo que se requerirían de otra forma para escribir los tres términos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Responcier las siguientes preguntas acerca de la función r = d/t.
1. Cuanto t aumenta y d permanece igual, ¿r aumenta, disminuye o permanece constante?
2. Cuando d aumenta y t permanece igual, ¿r aumenta, disminuye o permanece constante?
3. Cuando t disminuye y d permanece igual, ¿r aumenta, disminuye o permanece igual?
4. Cuando d disminuye y t permanece igual, ¿r aumenta, disminuye o permanece igual?
5. Cuando d se duplica y t permanece igual, ¿r se duplica o disminuye a la mitad?
6. Cuando t se duplica y d permanece igual, ¿r se duplica o disminuye a la mitad?

Respuestas.
1. Disminuye.
2. Aumenta.
3. Aumenta.
4. Disminuye,
5. Se duplica.
6. Se reduce a la mitad.

FÓRMULAS
Uno de los empleos más comunes del álgebra es la resolución de fórmulas. Las fórmulas tienen un uso amplio y variado en toda el área naval. Es importante cómo se derivan las fórmulas, de qué modo se las transforma en palabras, cómo obtenerlas a través de enunciados verbales y de qué manera emplearlas para resolver problemas.
Una fórmula es un hecho general, regla o principio expresado en símbolos algebraicos. Constituye una expresión abreviada de una regla en la cual las letras y símbolos de operación toman el lugar de las palabras. La fórmula siempre indica las operaciones matemáticas implicadas. Por ejemplo, la fórmula P = 2L + 2H indica que el perímetro (suma de las longitudes de los lados) de un rectángulo es igual al doble de su longitud más el doble de su ancho. (Ver figura 142.) Una fórmula obtenida por

Figura 14 2. Perímetro de un rectángulo.

un razonamiento lógico o matemático se llama FÓRMULA MATEMÁTICA. Una fórmula cuya relación está basada en un número limitado de observaciones o en la experiencia inmediata, y no necesariamente en teorías y leyes establecidas, se denomina FÓRMULA EMPÍRICA. Las fórmulas empíricas se encuentran con frecuencia en las ciencias físicas y en ingeniería. Éstas a veces son válidas solamente para un número limitado de valores.

Sujeto de una fórmula
Por lo general una fórmula se toma casi directamente de una ley o regla verbal. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo es igual al doble de la longitud más el doble del ancho. Cuando es posible, se usan, letras como símbolos para las palabras.
Entonces, P = 2L + 2H. Una fórmula simple como esta constituye una sentencia declaratoria. La mitad izquierda es el SUJETO y todo el resto es el PREDICADO. El sujeto es P. Corresponde a la parte de la regla verbal que se lee "el perímetro de un rectángulo". Este sujeto es generalmente una sola letra seguida por el signo de igualdad.
Todas las fórmulas son ecuaciones pero no todas las ecuaciones son fórmulas. Hay que destacar algunas distinciones entre una fórmula y una ecuación común. La ecuación puede no tener un sujeto, mientras que la fórmula típica lo posee. En la fórmula, la cantidad desconocida está sola en el miembro izquierdo. Sobre éste no se realizan cálculos y no aparece más de una vez. En cambio, en la ecuación, la cantidad desconocida podrá aparecer una o más veces en alguno o en ambos miembros y los cálculos se realizan con ésta o sobre ésta. Calculamos una fórmula sustituyendo los números literales del miembro derecho. Una ecuación se resuelve calculando en alguno o en ambos miembros hasta que todas las incógnitas quedan de un lado y los datos conocidos del otro. La solución de una ecuación requiere generalmente un conocimiento de los principios algebraicos, mientras que el cálculo de una fórmula casi siempre podrá realiazarse con el solo conocimiento de la aritmética.

Símbolos
Las letras que representan palabras en muchos casos se han estandardizado de modo que ciertas fórmulas se escriben igual en diversos textos y manuales de referencia. Sin embargo, para evitar toda confusión una corta explicación acompaña a menudo a las fórmulas, como sigue:
A= ah
donde A = área en unidades cuadradas
a = altura
h = ancho

SUBÍNDICES Y APÓSTROFOS
En una fórmula en la cual se comparan dos o más de las mismas letras es conveniente hacer una distinción entre ellas. En electrónica, por ejemplo, puede indicarse una distinción entre resistores con Ra. y Rb, R1 y R2
Estos números o letras escritos a la derecha y debajo de la R se llaman subíndices. Los mencionados aquí se leen: R sub a, R sub b, R sub 1 y R sub 2. Los apóstrofos se usan también en la misma forma para distinguir entre cantidades del mismo tipo. Los apóstrofos se escriben por encima y a la derecha de las letras, como en S ' S" y S"'. Éstas se leen, S prima, S doble prima, S triple prima.

Cambio del sujeto de una fórmula
Si en una fórmula no se dan los valores para todas sino para una de las variables, la fórmula podrá resolverse para obtener el valor de esa variable. El primer paso consiste generalmente en reordenar la fórmula de modo que el valor desconocido sea el sujeto: esto es, de la fórmula original se deriva una nueva. Por ejemplo, la fórmula para el movimiento lineal la distancia es igual a la velocidad por el tiempo casi siempre se escribe

d = vt

Supongamos que en vez de la distancia deseamos conocer la velocidad, v, o el tiempo, t. Simplemente cambiamos el sujeto de la fórmula por los medios algebraicos desarrollados en los capítulos anteriores. Entonces, resolviendo la fórmula para v dividimos ambos términos por t con el siguiente resultado:

En palabras, esta fórmula establece que la velocidad es igual a la distancia dividida por el tiempo. Asimismo, resolviendo para t, tenemos lo siguiente:

En palabras, esta fórmula establece que el tiempo es igual a la distancia dividida por la velocidad.
Resultan en efecto dos nuevas fórmulas, siendo el sujeto de una la velocidad y el sujeto de la otra el tiempo. Ellas están relacionadas con la fórmula original porque se han derivado de la misma, pero son diferentes porque tienen sujetos distintos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Obtener nuevas fórmulas de las expresiones siguientes, con los sujetos como se indican:

6. La fórmula moderna para convertir temperaturas Fahrenheit a Celsius (centígrados) es C = (F + 40) (5/9) 40. Exprese la fórmula para convertir Celsius (centígrados) a Fahrenheit

Cálculos con fórmulas
En general, el primer paso al determinar la variable desconocida de una fórmula es la obtención de una forma que tenga la incógnita como sujeto. Una vez realizado esto, el cálculo de una fórmula consiste nada más que en sustituir los valores numéricos por las letras que representan las cantidades conocidas y realizar las operaciones indicadas.
Por ejemplo, supongamos que deseamos determinar el tiempo requerido para navegar 1250 millas náuticas a la velocidad de 250 nudos. La fórmula es d = vt. Cambiamos el sujeto dividiendo arribos lados de la ecuación por v, como sigue:

Las fórmulas pueden resolverse para una incógnita reemplazando directamente en la fórmula original, aun cuando la incógnita no sea el sujeto.
Sin embargo, casi siempre es más simple hacer primero de la incógnita el sujeto.
Las fórmulas varían ampliamente, desde el tipo simple como las que hemos considerado hasta algunas que son muy complejas. Todas las fórmulas tienen ciertas características en común, Siempre hay un sujeto, la cantidad cuyo valor es la respuesta final. Este sujeto por lo común permanece solo, siendo igual por lo menos a uno y generalmente a varios números literales, que se combinan de acuerdo con ciertas operaciones indicadas. La fórmula siempre puede calcularse para un caso específico cuando se conocen los valores numéricos para todas esas cantidades, literales.
El cálculo de las fórmulas puede facilitarse desarrollando una rutina para efectuar el trabajo. Si cualquiera puede leer el trabajo y comprender claramente qué se ha hecho, el trabajo está bien realizado. La fórmula original se debe escribir primero, luego se obtendrá la fórmula que se usará para resolver el problema, y posteriormente se hacen las sustituciones. Después pueden realizarse las operaciones indicadas. Debe cuidarse de escribir las respuestas con las unidades correctas; es decir, km/h, kgm, cm2, etcétera.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. E = IR. Resolver para R en ohms si E es 110 volts e I es 5 amperes.
2. d = vt. Resolver para t en horas si d es 840 millas náuticas y v es 25 nudos.
3. F = (C + 40) (9/5) - 40. Resolver para C si F es 32°.
Respuestas.

1. 22 ohms     2. 33,6 hr           3. 0°

Desarrollo de fórmulas
Desarrollar una fórmula a partir de un enunciado verbal no es más que reducir e! enunciado a una forma abreviada y mostrar la relación matemática entre los elementos del enunciado.
Por ejemplo, supongamos que deseamos desarrollar una fórmula que muestre la distancia D, recorrida a la velocidad de 20 nudos para t horas Si la distancia recorrida en una hora es 20 millas náuticas, entonces la distancia recorrida en t horas es 20 t. Por tanto, la fórmula es

D = 20t

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Escriba una fórmula para el costo, C de p kilos de azúcar a 15 pesos por kilo.
2. Escriba la fórmula para el costo, C, de un artículo cuando se conoce el costo total, T, de n artículos similares.
3. Escriba una fórmula para el número de días, d, en w semanas,
4. Escriba una fórmula para el número de kilos, k, en g gramos.
Respuestas.

1. C = 15p
2. C = T/n
3. d = 7w
4. k = 1000 g.

 

 


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