En el capítulo
13 de este curso se usaron varias fórmulas tales
como A = LH, E = IR, etcétera.
El propósito de este capitulo consiste en explicar
las relaciones de función y dependencia que hacen útiles
a las fórmulas.
DEPENDENCIA Y FUNCIONES
La dependencia puede definirse como cualquier relación
entre dos variables que permiten la predicción de un
cambio en una de ellas como resultado de un cambio en la otra.
Por ejemplo, el costo de 200 tuercas depende del precio por
centena. Si C representa el costo y p
representa el precio de 100 tuercas, entonces el costo de
200 tuercas podrá expresarse corno sigue:
C = 2p
En el ejemplo dado, C se llama la VARIABLE
DEPENDIENTE porque su valor depende de los cambios de valor
de p. La VARIABLE INDEPENDIENTE es p. Es
de práctica normal aislar la variable dependiente a
la izquierda de la ecuación, como en el ejemplo.
Consideremos la fórmula para el área de un rectángulo,
A = LH. Aquí tenemos dos variables
independientes, L y H.
La figura 14-1 (A) muestra qué sucede si se duplica
la longitud. La figura A-1 (B) exhibe el resultado de duplicar
el ancho. La figura 14-1 (C) ilustra el efecto de duplicar
longitud y ancho. Observe que cuando solamente se duplica
la longitud o el ancho, el área se duplica, pero cuando
se duplican juntos la longitud y el ancho, el área
se cuadruplica.
En toda ecuación que muestra una relación de
dependencia, la variable dependiente se dice que es una FUNCIÓN
de la variable independiente. Otro empleo del término
"función" para describir una ecuación
tal como C = 2p, es referir la expresión
total "la función C = 2p". Esta terminología
resulta especialmente útil cuando la expresión
de la derecha tiene varios términos. Por ejemplo, consideremos,
la ecuación y = 2x2 + 3x - 4.
Los matemáticos suelen utilizar una notación
abreviada y vuelven a escribir la ecuación como y
= f (x) ,
Figura 14-1. Variaciones en el área de un rectángulo
resultantes de los carnbios de longitud y ancho.
La expresión f (x) se sobreentiende
que significa "una función de x", y al hacer
referencia a la función llamándola f(x),
se ahorra el espacio y el tiempo que se requerirían
de otra forma para escribir los tres términos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Responcier las siguientes preguntas acerca de la función
r = d/t.
1. Cuanto t aumenta y d
permanece igual, ¿r aumenta, disminuye
o permanece constante?
2. Cuando d aumenta y t
permanece igual, ¿r aumenta, disminuye
o permanece constante?
3. Cuando t disminuye y d
permanece igual, ¿r aumenta, disminuye
o permanece igual?
4. Cuando d disminuye y t
permanece igual, ¿r aumenta, disminuye
o permanece igual?
5. Cuando d se duplica y t
permanece igual, ¿r se duplica o disminuye
a la mitad?
6. Cuando t se duplica y d
permanece igual, ¿r se duplica o disminuye
a la mitad?
Respuestas.
1. Disminuye.
2. Aumenta.
3. Aumenta.
4. Disminuye,
5. Se duplica.
6. Se reduce a la mitad.
FÓRMULAS
Uno de los empleos más comunes del álgebra es
la resolución de fórmulas. Las fórmulas
tienen un uso amplio y variado en toda el área naval.
Es importante cómo se derivan las fórmulas,
de qué modo se las transforma en palabras, cómo
obtenerlas a través de enunciados verbales y de qué
manera emplearlas para resolver problemas.
Una fórmula es un hecho general, regla o principio
expresado en símbolos algebraicos. Constituye una expresión
abreviada de una regla en la cual las letras y símbolos
de operación toman el lugar de las palabras. La fórmula
siempre indica las operaciones matemáticas implicadas.
Por ejemplo, la fórmula P = 2L + 2H
indica que el perímetro (suma de las longitudes de
los lados) de un rectángulo es igual al doble de su
longitud más el doble de su ancho. (Ver figura 142.)
Una fórmula obtenida por
Figura 14 2. Perímetro de un rectángulo.
un razonamiento lógico o matemático se llama
FÓRMULA MATEMÁTICA. Una fórmula cuya
relación está basada en un número limitado
de observaciones o en la experiencia inmediata, y no necesariamente
en teorías y leyes establecidas, se denomina FÓRMULA
EMPÍRICA. Las fórmulas empíricas se encuentran
con frecuencia en las ciencias físicas y en ingeniería.
Éstas a veces son válidas solamente para un
número limitado de valores.
Sujeto de una fórmula
Por lo general una fórmula se toma casi directamente
de una ley o regla verbal. Por ejemplo, el perímetro
de un rectángulo es igual al doble de la longitud más
el doble del ancho. Cuando es posible, se usan, letras como
símbolos para las palabras.
Entonces, P = 2L + 2H. Una fórmula
simple como esta constituye una sentencia declaratoria. La
mitad izquierda es el SUJETO y todo el resto es el PREDICADO.
El sujeto es P. Corresponde a la parte de
la regla verbal que se lee "el perímetro de un
rectángulo". Este sujeto es generalmente una sola
letra seguida por el signo de igualdad.
Todas las fórmulas son ecuaciones pero no todas las
ecuaciones son fórmulas. Hay que destacar algunas distinciones
entre una fórmula y una ecuación común.
La ecuación puede no tener un sujeto, mientras que
la fórmula típica lo posee. En la fórmula,
la cantidad desconocida está sola en el miembro izquierdo.
Sobre éste no se realizan cálculos y no aparece
más de una vez. En cambio, en la ecuación, la
cantidad desconocida podrá aparecer una o más
veces en alguno o en ambos miembros y los cálculos
se realizan con ésta o sobre ésta. Calculamos
una fórmula sustituyendo los números literales
del miembro derecho. Una ecuación se resuelve calculando
en alguno o en ambos miembros hasta que todas las incógnitas
quedan de un lado y los datos conocidos del otro. La solución
de una ecuación requiere generalmente un conocimiento
de los principios algebraicos, mientras que el cálculo
de una fórmula casi siempre podrá realiazarse
con el solo conocimiento de la aritmética.
Símbolos
Las letras que representan palabras en muchos casos se han
estandardizado de modo que ciertas fórmulas se escriben
igual en diversos textos y manuales de referencia. Sin embargo,
para evitar toda confusión una corta explicación
acompaña a menudo a las fórmulas, como sigue:
A= ah
donde A = área en unidades cuadradas
a = altura
h = ancho
SUBÍNDICES Y APÓSTROFOS
En una fórmula en la cual se comparan dos o más
de las mismas letras es conveniente hacer una distinción
entre ellas. En electrónica, por ejemplo, puede indicarse
una distinción entre resistores con Ra.
y Rb, R1
y R2
Estos números o letras escritos a la derecha y debajo
de la R se llaman subíndices. Los mencionados aquí
se leen: R sub a, R sub b, R sub 1 y R sub 2. Los apóstrofos
se usan también en la misma forma para distinguir entre
cantidades del mismo tipo. Los apóstrofos se escriben
por encima y a la derecha de las letras, como en S
' S" y S"'. Éstas
se leen, S prima, S doble prima, S triple prima.
Cambio del sujeto de una fórmula
Si en una fórmula no se dan los valores para todas
sino para una de las variables, la fórmula podrá
resolverse para obtener el valor de esa variable. El primer
paso consiste generalmente en reordenar la fórmula
de modo que el valor desconocido sea el sujeto: esto es, de
la fórmula original se deriva una nueva. Por ejemplo,
la fórmula para el movimiento lineal la distancia es
igual a la velocidad por el tiempo casi siempre se escribe
d = vt
Supongamos que en vez de la distancia deseamos conocer la
velocidad, v, o el tiempo, t.
Simplemente cambiamos el sujeto de la fórmula por los
medios algebraicos desarrollados en los capítulos anteriores.
Entonces, resolviendo la fórmula para v
dividimos ambos términos por t con
el siguiente resultado:
En palabras, esta fórmula establece que la velocidad
es igual a la distancia dividida por el tiempo. Asimismo,
resolviendo para t, tenemos lo siguiente:
En palabras, esta fórmula establece que
el tiempo es igual a la distancia dividida por la velocidad.
Resultan en efecto dos nuevas fórmulas, siendo el sujeto
de una la velocidad y el sujeto de la otra el tiempo. Ellas
están relacionadas con la fórmula original porque
se han derivado de la misma, pero son diferentes porque tienen
sujetos distintos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Obtener nuevas fórmulas de las expresiones siguientes,
con los sujetos como se indican:
6. La fórmula moderna para convertir
temperaturas Fahrenheit a Celsius (centígrados) es
C = (F + 40) (5/9) 40. Exprese la fórmula para convertir
Celsius (centígrados) a Fahrenheit
Cálculos con fórmulas
En general, el primer paso al determinar la variable desconocida
de una fórmula es la obtención de una forma
que tenga la incógnita como sujeto. Una vez realizado
esto, el cálculo de una fórmula consiste nada
más que en sustituir los valores numéricos por
las letras que representan las cantidades conocidas y realizar
las operaciones indicadas.
Por ejemplo, supongamos que deseamos determinar el tiempo
requerido para navegar 1250 millas náuticas a la velocidad
de 250 nudos. La fórmula es d = vt.
Cambiamos el sujeto dividiendo arribos lados de la ecuación
por v, como sigue:
Las fórmulas pueden resolverse para
una incógnita reemplazando directamente en la fórmula
original, aun cuando la incógnita no sea el sujeto.
Sin embargo, casi siempre es más simple hacer primero
de la incógnita el sujeto.
Las fórmulas varían ampliamente, desde el tipo
simple como las que hemos considerado hasta algunas que son
muy complejas. Todas las fórmulas tienen ciertas características
en común, Siempre hay un sujeto, la cantidad cuyo valor
es la respuesta final. Este sujeto por lo común permanece
solo, siendo igual por lo menos a uno y generalmente a varios
números literales, que se combinan de acuerdo con ciertas
operaciones indicadas. La fórmula siempre puede calcularse
para un caso específico cuando se conocen los valores
numéricos para todas esas cantidades, literales.
El cálculo de las fórmulas puede facilitarse
desarrollando una rutina para efectuar el trabajo. Si cualquiera
puede leer el trabajo y comprender claramente qué se
ha hecho, el trabajo está bien realizado. La fórmula
original se debe escribir primero, luego se obtendrá
la fórmula que se usará para resolver el problema,
y posteriormente se hacen las sustituciones. Después
pueden realizarse las operaciones indicadas. Debe cuidarse
de escribir las respuestas con las unidades correctas; es
decir, km/h, kgm, cm2, etcétera.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. E = IR. Resolver para R
en ohms si E es 110 volts e I
es 5 amperes.
2. d = vt. Resolver para t
en horas si d es 840 millas náuticas
y v es 25 nudos.
3. F = (C + 40) (9/5) - 40. Resolver para
C si F es 32°.
Respuestas.
1. 22 ohms 2. 33,6 hr
3. 0°
Desarrollo de fórmulas
Desarrollar una fórmula a partir de un enunciado verbal
no es más que reducir e! enunciado a una forma abreviada
y mostrar la relación matemática entre los elementos
del enunciado.
Por ejemplo, supongamos que deseamos desarrollar una fórmula
que muestre la distancia D, recorrida a la
velocidad de 20 nudos para t horas Si la
distancia recorrida en una hora es 20 millas náuticas,
entonces la distancia recorrida en t horas
es 20 t. Por tanto, la fórmula es
D = 20t
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Escriba una fórmula para el costo, C
de p kilos de azúcar a 15 pesos por
kilo.
2. Escriba la fórmula para el costo, C,
de un artículo cuando se conoce el costo total, T,
de n artículos similares.
3. Escriba una fórmula para el número de días,
d, en w semanas,
4. Escriba una fórmula para el número de kilos,
k, en g gramos.
Respuestas.
1. C = 15p
2. C = T/n
3. d = 7w
4. k = 1000 g.
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