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Curso de Matemáticas

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Resumiendo algunos conceptos:

Dados dos números o más, el mayor divisor común de ellos es el máximo común divisor (m.c.d.)

Dos números cuyo único divisor común es la unidad, tienen m. c. d = 1 y se llaman primos entre sí.

En general: dados dos o más números, el menor múltiplo de todos ellos es el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

El máximo común divisor de varios números es el producto de los factores primos comunes a todos ellos, tomando cada uno con el exponente mínimo con que figura en los diversos números.

El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores comunes y no comunes tomados con el mayor exponente con que figuren.

Criterio general de divisibilidad: La condición necesaria y suficiente para que un número sea divisible por otro es que contenga los factores primos de este último con exponentes no inferiores.

CÁLCULO DEL m. c. d. POR DIVISIONES SUCESIVAS

El procedimiento para determinar el m. c. d. fue dado por el famoso matemático griego Euclides, que vivió en Alejandría en el siglo III antes de J. C.

Euclides reunió, sistematizó y completó todos los conocimientos matemáticos de su época; su obra, llamada Elementos, está formada por 13 libros, en el noveno de los cuales trata del procedimiento de las divisiones sucesivas para obtener el m. c. d.

Es por eso que el procedimiento lleva el nombre de algoritmo de Euclides.

El procedimiento de Euclides es el siguiente: si nos proponemos calcular el m.c.d. (1275, 1200), dividimos el mayor por el menor y luego dividimos el divisor por el residuo (de la operación anterior), y así siguiendo hasta que el resto sea cero. El último divisor es el m. c. d. En la práctica puede convenir dar la siguiente disposición al cálculo:

Por la propiedad (II), todo divisor de D y d lo es de r; en nuestro caso 75 es divisor común de 1275 y 1200, y además es el mayor divisor, pues si hubiera otro mayor, éste debería ser también divisor de 75, lo que es imposible. Luego, m. c. d. (1275, 1200) = 75.

M. C. M. DE DOS NÚMEROS POR EL ALGORITMO DE EUCLIDES: Se procede así: una vez calculado el m. c. d. se multiplica uno de los números dados por el cociente obtenido, dividiendo el otro por el m. c. d. de ambos.

EJEMPLO: Sean los números 12091 y 11449. La obtención del m. c. d. y del m. c. m. por descomposición en factores primos no sería fácil, por no aparecer factores primos sencillos. Convendrá, por tanto, aplicar el algoritmo de Euclides, y así resulta el m. c. d. (12091, 11449) = 107.

El cociente del primero por este m.c.d. es 113 y su producto por el segundo da el m. c. m. que vale: m. c. m. (12091, 11449) = 1293737.

M. C. D. DE VARIOS NÚMEROS: Puede calcularse también con el algoritmo de Euclides de este modo:
Si los números cuyo m. c. d. se busca son más de dos, se halla el de dos de ellos; luego el del m. c. d. obtenido y otro de los números dados, y así sucesivamente hasta considerar todos los números.

Aplíquese este método a los números 240, 124 y 288, cuyo m. c. d. fue calculado por descomposición en factores primos.

EJERCICIOS

TEMAS: Obtención mental del m.c.d. y m.c.m. de números pequeños.

Obtención del m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos y cálculo mental del cociente de dividir cada uno de ellos por el máximo común divisor. Obtención del m.c.m. de varios números por descomposición en factores primos y cálculo mental del cociente de dividir el mismo por cada uno de aquéllos.

1. Obtener mentalmente el m. c. d. de números pequeños.

Se procede como en el ejemplo siguiente:

m. c. d. de 24, 30, 42.

Probamos si el menor es divisor de los tres; no lo es.

Probamos luego la mitad del menor, 12; tampoco lo es.

Probamos la tercera parte, 8; tampoco lo es.

Probamos entonces la cuarta parte, 6; sí es divisor de los tres.

Luego m.c.d. (24, 30, 42) = 6.

EJERCICIOS:

1°) 60, 72;  2°) 40, 50;  3°) 36, 48, 60;  4°) 30, 45, 90;  5°) 120, 150, 180; etc.

II -  Obtener mentalmente el m. c. m. de 12, 24, 30.

Probamos si el mayor es múltiplo de los demás; no lo es.
Probamos luego el doble, 60; tampoco lo es.
Probamos luego el triplo, 90; tampoco lo es.
Probamos luego el cuádruplo, 120, que sí es múltiplo de todos; luego, m.c.m. (12, 24, 30) = 120.

EJERCICIOS:

1°) 40, 50; 2°) 30, 50, 60; 3°) 45, 60, 120, etc.

III -  Obtener el m. c. d. por descomposición en factores primos.

Se procede como en el ejemplo siguiente:

Calcular el m. c. d. (120, 150, 180) y cálculo mental del cociente de dividir estos números por su m.c.d.