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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo. Problemas. Ejercitación.


 

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

. Ampliar conceptos

Dados dos números o más, el mayor divisor común de ellos es el máximo común divisor (m.c.d.)

Dos números cuyo único divisor común es la unidad, tienen m. c. d = 1 y se llaman primos entre sí.

En general: dados dos o más números, el menor múltiplo de todos ellos es el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

El máximo común divisor de varios números es el producto de los factores primos comunes a todos ellos, tomando cada uno con el exponente mínimo con que figura en los diversos números.

El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores comunes y no comunes tomados con el mayor exponente con que figuren.

Criterio general de divisibilidad: La condición necesaria y suficiente para que un número sea divisible por otro es que contenga los factores primos de este último con exponentes no inferiores.

CÁLCULO DEL m. c. d. POR DIVISIONES SUCESIVAS

El procedimiento para determinar el m. c. d. fue dado por el famoso matemático griego Euclides, que vivió en Alejandría en el siglo III antes de J. C.

Euclides reunió, sistematizó y completó todos los conocimientos matemáticos de su época; su obra, llamada Elementos, está formada por 13 libros, en el noveno de los cuales trata del procedimiento de las divisiones sucesivas para obtener el m. c. d.

Es por eso que el procedimiento lleva el nombre de algoritmo de Euclides.

El procedimiento de Euclides es el siguiente: si nos proponemos calcular el m.c.d. (1275, 1200), dividimos el mayor por el menor y luego dividimos el divisor por el residuo (de la operación anterior), y así siguiendo hasta que el resto sea cero. El último divisor es el m. c. d. En la práctica puede convenir dar la siguiente disposición al cálculo:

Por la propiedad (II), todo divisor de D y d lo es de r; en nuestro caso 75 es divisor común de 1275 y 1200, y además es el mayor divisor, pues si hubiera otro mayor, éste debería ser también divisor de 75, lo que es imposible. Luego, m. c. d. (1275, 1200) = 75.

M. C. M. DE DOS NÚMEROS POR EL ALGORITMO DE EUCLIDES: Se procede así: una vez calculado el m. c. d. se multiplica uno de los números dados por el cociente obtenido, dividiendo el otro por el m. c. d. de ambos.

Resumiendo el concepto de m.c.m.: Sean a y b dos números enteros. Llamaremos mínimo común múltiplo de a y b, al menor entero positivo que es múltiplo de ambos; lo designamos por m.c.m. (a, b).

EJEMPLO: Sean los números 12091 y 11449. La obtención del m. c. d. y del m. c. m. por descomposición en factores primos no sería fácil, por no aparecer factores primos sencillos. Convendrá, por tanto, aplicar el algoritmo de Euclides, y así resulta el m. c. d. (12091, 11449) = 107.

El cociente del primero por este m.c.d. es 113 y su producto por el segundo da el m. c. m. que vale: m. c. m. (12091, 11449) = 1293737.

Un resultado esencial en la teoría de números enteros es el que asegura que todo número entero n > 1 puede factorizarse como producto de primos y, en cierto sentido, esta factorización es única. Este resultado fue establecido por Euclides en el libro IX de sus Elementos.

M. C. D. DE VARIOS NÚMEROS: Puede calcularse también con el algoritmo de Euclides de este modo:
Si los números cuyo m. c. d. se busca son más de dos, se halla el de dos de ellos; luego el del m. c. d. obtenido y otro de los números dados, y así sucesivamente hasta considerar todos los números.

Aplíquese este método a los números 240, 124 y 288, cuyo m. c. d. fue calculado por descomposición en factores primos.

Ejemplo
Calcúlese el máximo común divisor de 2640 y 3580.
Solución
Como
2640 = 24. 3. 5. 11  y 3580 = 22. 5. 179 se tiene que el  m.c.d.(2640, 3580) = 22. 5 = 20

TEMAS: Obtención mental del m.c.d. y m.c.m. de números pequeños.

Obtención del m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos y cálculo mental del cociente de dividir cada uno de ellos por el máximo común divisor. Obtención del m.c.m. de varios números por descomposición en factores primos y cálculo mental del cociente de dividir el mismo por cada uno de aquéllos.

1. Obtener mentalmente el m. c. d. de números pequeños.

Se procede como en el ejemplo siguiente:

m. c. d. de 24, 30, 42.

Probamos si el menor es divisor de los tres; no lo es.

Probamos luego la mitad del menor, 12; tampoco lo es.

Probamos la tercera parte, 8; tampoco lo es.

Probamos entonces la cuarta parte, 6; sí es divisor de los tres.

Luego m.c.d. (24, 30, 42) = 6.

EJERCICIOS:

1°) 60, 72;  2°) 40, 50;  3°) 36, 48, 60;  4°) 30, 45, 90;  5°) 120, 150, 180; etc.

II -  Obtener mentalmente el m. c. m. de 12, 24, 30.

Probamos si el mayor es múltiplo de los demás; no lo es.
Probamos luego el doble, 60; tampoco lo es.
Probamos luego el triplo, 90; tampoco lo es.
Probamos luego el cuádruplo, 120, que sí es múltiplo de todos; luego, m.c.m. (12, 24, 30) = 120.

EJERCICIOS:

1°) 40, 50; 2°) 30, 50, 60; 3°) 45, 60, 120, etc.

III -  Obtener el m. c. d. por descomposición en factores primos.

Se procede como en el ejemplo siguiente:

Calcular el m. c. d. (120, 150, 180) y cálculo mental del cociente de dividir estos números por su m.c.d.

FÓRMULAS GENERALES

Todo número compuesto, como se mencionó, puede ser expresado como el producto de 1 por dos o más factores primos y se pondrá calcular algunos elementos asociados cuyas fórmulas se indica a continuación.

Sea N número un número compuesto:

N = aα . bβ . cγ . … . wω

Donde:
a, b, c, …, w = factores primos de N
α, β, γ, …, ω = exponentes de los factores primos de N

NÚMERO DE DIVISORES
1) n = (α + 1) (β + 1) (γ + 1) … (ω + 1)
n: número de divisores de N
Ejemplo:
N = 12 = 22 . 31
n = (2 + 1) (1 + 1) = 6
{1, 2, 3, 4, 6, 12}

SUMA DE DIVISORES

S: suma de los divisores de N

SUMA DE INVERSAS DE DIVISORES

Si: suma de la inversa de los divisores de N.

SUMA DE POTENCIAS DE LOS DIVISORES

PRODUCTO DE DIVISORES

P: producto de los divisores de N

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

Máximo común divisor de dos números es el mayor divisor común de ellos.

Ejemplo:

Hallar el MCD de los números 36, 48 y 72

Los "divisores comunes" a los números 36, 48 y 72 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12, éste es el MCD.

PROPIEDADES DEL M.C.D.

1) El MCD de los números primos es la unidad.
2) El MCD de dos o más números primos entre si es la unidad.
3) De dos números diferentes, estando uno contenido en el otro, MCD de ellos es el menor.
4) Si se divide dos números entre su MCD los cocientes que resultan son números primos relativos.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor multiplo común que contenga exactamente a los números dados.

REGLA PARA HALLAR EL m.c.m. DE DOS O MÁS NÚMEROS

Se descompone los números dados en sus factores primos; el m.c.m. de los números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes.

Hallar el mcm de 180; 528; 936.

∴ m.c.m. (180; 528; 936) = 24 . 32 . 5 . 11 . 13 = 102 960

PROPIEDADES

1° El mcm de dos o más números primos absolutos es igual al producto de ellos.
2° El mcm de dos números primos entre sí es el producto de ellos.
3° El cm de dos números, de los cuales uno contiene al otro es el mayor de ellos.
4° Si dos o más números son multiplicados o divididos por otro, el mcm queda multiplicado o dividido, respectivamente, por dicho número.
5° Si se divide el mcm de varios números entre cada uno de ellos, los cocientes resultantes son primos entre sí.
6° El producto de dos núneros enteros es igual al producto de MCD por el mcm.

Otro ejemplo :

 

Calcula:

Calcula:

Si a es múltiplo de b, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de a y b?. ¿Cuál es el máximo común divisor de a y b?
Si a es múltiplo de b, a = k · b
m.c.m. (a, b) = m.c.m. (k · b, b) = k · b = a
M.C.D. (a, b) = M.C.D. (k · b, b) = b

 

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