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NÚMEROS CON SIGNO

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Los números positivos con que hemos trabajado en páginas anteriores en este sitio no son suficientes para todas las situaciones que pueden surgir. Por ejemplo, aparece un número negativo en la operación de la sustracción cuando el sustraendo es mayor que el minuendo.

Hemos visto en Aritmética que número es el resultado de la comparación de una magnitud con otra de su especie, llamada unidad; este resultado es la medida de la magnitud.

Pero, como hay magnitudes susceptibles de ser contadas en dos sentidos diferentes, ó de tener dos significados opuestos, no basta esta medida para determinar por completo la magnitud. Así ocurre en los ejemplos siguientes:

1. El saldo de las varias operaciones que efectúa un banquero puede ser ó una entrada ó una salida.
2. La temperatura de un cuerpo se mide con el termómetro, y se representa por cierto número de grados sobre ó bajo cero.
3. La duración puede contarse ya antes de una época determinada, ya después.
4. Una distancia puede señalarse en dos sentidos opuestos, con relación á un punto de origen determinado.

La fórmula que indicaría el valor de estas varias magnitudes, medidas con sólo los números que proporciona la aritmética, no daría más que su valor numérico y no su sentido. Asi, por ejemplo, no basta decir que el termómetro marca 8º, sino que se debe añadir que son grados sobre ó bajo cero.

De aqui resulta la necesidad de crear nuevos números que señalen no sólo el valor numérico de las cantidades que miden, sino también su sentido : lo que se consigue por medio de los signos distintivos ( + ) y (— ). Los números, ó medidas de las magnitudes, precedidos del signo ( +) ó (—), se llaman números algebraicos para distinguirlos de los números aritméticos que no llevan signo alguno.

https://youtu.be/2AAwlfQRRyU

Números positivos y números negativos. Según una convención, se llaman números positivos á los números precedidos del signo (+), y números negativos a los precedidos del signo (—).

Preciso es tener presente que aquí no indican los signos (+) ó (—) una operación que debe efectuarse, sino que sirven tan sólo para distinguir las dos clases de números que constituyen los números algebraicos.

NÚMEROS NEGATIVOS

Cuando sucede que el sustraendo es más grande que el minuendo, este hecho se indica colocando un signo menos al frente de la diferencia, como en la siguiente:

12 - 20 = -8

La diferencia, - 8, se dice que es NEGATIVA. Un número precedido por un signo menos es un NÚMERO NEGATIVO. El número - 8 se lee "menos ocho". Tal número podría surgir cuando hablamos de cambios de temperatura. Si la temperatura de ayer fue de 12 grados y disminuyó 20 grados hoy, la lectura actual será 12 - 20 ó - 8 grados.

Los números que presentan un signo más o menos se llaman NÚMEROS CON SIGNO. Un número sin signo se entiende que es positivo y se lo trata como si estuviera precedido por un signo más.

Si se desea realzar el hecho de que un número es positivo, se coloca un signo más al frente del número, como en + 5, que se lee "más cinco". Por tanto, + 5 ó 5 indica que el número 5 es positivo. Si un número es negativo, aparece un signo menos, como en - 9.

Al tratar con números con signo debe hacerse notar que los signos más y menos tienen dos funciones separadas y distintas. Pueden indicar cuándo un número es positivo o negativo, y también señalan la operación de la adición o sustracción.

Cuando se opera totalmente con números positivos no es necesario preocuparse de esta distinción, ya que los signos más o menos indican solamente adición o sustracción.

Sin embargo, cuando en un cálculo están incluidos también números negativos es importante distinguir entre un signo de operación y el signo del número.

Dirección de las mediciones

Los números con signo nos proporcionan un medio conveniente para indicar direcciones opuestas con un mínimo de palabras. Por ejemplo, una altitud de 20 metros por encima del nivel del mar puede ser designada como + 20 metros. La misma distancia por debajo del nivel del mar se designaría entonces como - 20 metros. Uno de los sistemas más utilizados que emplean números con signo para indicar la dirección de la medida es el termómetro,

TERMÓMETRO

El termómetro Celsius (centígrados) mostrado en la figura 3-1 ilustra el uso de los números positivos y negativos para indicar la dirección de desplazamiento por encima y por debajo de 0. La marca 0 es el punto de transición en el cual los signos de la escala numérica cambian de - a +. ,

Cuando el termómetro se calienta por el aire que lo rodea o con un líquido caliente dentro del cual ha sido sumergido el mercurio se expande y se desplaza hacia la parte superior del tubo. Después que el mercurio dilatado pasa el 0 la marcha en que se detiene se lee como una temperatura positiva. Si se hace enfriar el termómetro el mercurio se contrae. Después de pasar 0 en su movimiento hacia abajo, cualquier marca en la cual se detenga se lee como una temperatura negativa.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Por conveniencia, los matemáticos han determinado seguir ciertas normas para el uso de los números con signo en las mediciones que tienen dirección. Por ejemplo, en la figura 3-2 la dirección a la derecha a lo largo de la línea horizontal es positiva, mientras que la dirección opuesta (hacia la izquierda) es negativa. Sobre la línea vertical la dirección hacia arriba es positiva, mientras que la dirección hacia abajo es negativa. Una distancia de - 3 unidades a lo largo de la línea horizontal indica una medida de 3 unidades a la izquierda del punto inicial 0.

Una distancia de - 3 unidades sobre la línea vertical señala una medida de 3 unidades por debajo del punto inicial.

Figura 3-1. Escala Celsius ( centígrados) de temperatura.

Las 2 líneas del sistema de coordenadas rectangulares que pasan a través de la posición 0 son el eje vertical y el eje horizontal. Se pueden incluir otras líneas horizontales y verticales formando un cuadriculado. Cuando se emplea este reticulado para ubicar puntos y líneas el "dibujo" que lo contiene se llama GRÁFICO.

Figura 3-2. Sistema de coordenadas rectangulares.

Valor absoluto y valor relativo.

Valor absoluto de un número algebraico es el número aritmético obtenido haciendo caso omiso de su signo; valor relativo es el del número tomado con su signo.

Números iguales, números desiguales.

Dos números algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto y el mismo signo; son desiguales en el caso contrario.

Números opuestos.

Llámanse números opuestos los que tienen el mismo valor absoluto y signos contrarios.

Así ( + 8) y (—8) son números opuestos.

Comparación de los números positivos y negativos.

Tomemos por término de comparación el haber de dos personas; llamemos A y B á estas personas, y consideremos los tres casos siguientes :

1º A tiene 5 pesos, y B no tiene nada, pero tampoco debe a nadie. Entonces el haber de A es 5, y el de B, cero; tendremos :

5 > 0 ó 0 < 5

2º A no debe nada; B tiene una deuda de 5 pesos. Si el haber de A se representa por cero, — 5 representará, por convención, el de B, ya que en realidad tiene 5 pesos menos que A; esto se expresa asi:

- 5 < 0 ó 0 > - 5

3º A tiene una deuda de 5 pesos, y B una deuda de 10 pesos. De igual modo podemos decir que el que tiene una deuda de 10 pesos posee menos que aquél cuya deuda es de 5 pesos; luego :

- 10 < - 5 ó - 5 > - 10

LA RECTA NUMÉRICA

A veces es importante conocer la dimensión relativa (magnitud) de números positivos y negativos. Para determinar cuándo un número particular es mayor o menor que otro se piensa en todos los números, tanto positivos como negativos, ordenados a lo largo de una línea horizontal (ver figura 3-3).

FIGURA 3-3. Recta numérica mostrando les números positivos y negativos.

El cero se coloca en el centro de la línea. Los números positivos se extienden desde cero hacia la derecha. Los números negativos se extienden desde cero hacia la izquierda. Con esta disposición quedan localizados también los números positivos y negativos, de modo que van desde los más pequeños hasta los más grandes cuando se desplazan de izquierda a derecha a lo largo de la línea. Todo número que se encuentra a la derecha de otro es mayor que el número dado. Todo número que se encuentra a la izquierda de un número dado es menor que él. Esta disposición muestra que todo número negativo es menor que cualquier número positivo.

El símbolo para "mayor que" es >. El símbolo para "menor que" es <. Resulta fácil distinguir entre estos símbolos porque el símbolo utilizado siempre se abre hacia el número más grande. Por ejemplo, "7 es mayor que 4” puede escribirse 7 > 4, y "-5 es menor que -1" puede escribirse -5 < - 1.

VALOR ABSOLUTO

El VALOR ABSOLUTO de un número es el valor numérico cuando se omite el signo. El valor absoluto de + 5 o de - 5 es 5. Entonces, dos números que difieren sólo en el signo tienen el mismo valor absoluto.

Llamaremos valor absoluto de un número entero n, al mismo número es decir n, si el número es un entero positivo y al opuesto  es decir - n, si el número es un entero negativo. Al valor absoluto de n lo designaremos por l n l. entonces :

    lnl = n si n ≥ 0, lnl =- n si n < 0

El signo para el valor absoluto consiste en dos barras verticales colocadas a cada lado del número, como en | - 5| = 5. Es "el valor del número sin signo". Consideremos también lo siguiente:

| 4 - 20 | = 16
|+7 | = | -7 | = 7

La expresión | -7 | se lee "valor absoluto de menos siete".

Cuando se usan números positivos y negativos para indicar la dirección de una medida nos interesa solamente el valor absoluto, si sólo deseamos conocer la distancia cubierta. Por ejemplo, en la figura 3-2, si un objeto se mueve a la izquierda desde el punto inicial al punto indicado por - 2 la distancia real cubierta es de 2 unidades. Nos preocupamos solamente por el hecho de que | -2 | = 2 si nuestro único interés es la distancia y no la dirección.

Dados dos números enteros, por ejemplo 15 y 6, se tiene que existen dos números, q y r con 0 ≤ r < | 6 |, tales que

      15=6 q + r.

En este caso obsérvese que los únicos valores que verifican esto son q = 2 y r = 3.

Este resultado constituye un famoso teorema en teoría de números que fue conocido por los griegos en el siglo III a. C. y se denomina Algoritmo de la División, cuyo enunciado general es el siguiente.

Ver tema relacionado : Escalas numéricas en una recta. El valor absoluto

Si a y b son dos números enteros con b  ≠ 0, existen q y r enteros tales que  a = b q + r, donde 0 ≤ r < | b |. Además q y r son únicos.

A los números a, b, q, y r del resultado anterior se les suele llamar dividendo, divisor, cociente y resto.

Dados 3 y 7 se tiene que 3 = 7.0 +3,  0 ≤ 3 < 7.
Dados 7 y 3 se tiene que 7 = 3.2 + 1,  0 ≤ 1< 7.
Dados -15 y 8 se tiene que -15 = 8.(-2) + 1, 0 ≤  1 < 8.
Dados - 23 y - 17 se tiene que - 23 = ( - 17).2 + 11, 0 ≤ 11 < 1- |17|=17.

OPERACIONES CON NÚMEROS CON SIGNO

La recta numérica puede usarse para demostrar la adición de los números con signo. Deben considerarse dos casos, a saber: suma de números con signos iguales y suma de números con signos desiguales.

Adición con signos iguales

Como un ejemplo de adición con signos iguales supongamos que utilizamos la recta numérica (figura 3-4) para sumar 2 + 3. Puesto que éstos son números con signo, indicamos esa suma como (+ 2) + (+ 3). Lo cual pone de manifiesto que entre los tres signos + indicados, dos son signos numéricos y uno es un signo de operación. La línea a (figura 3-4) muestra esta suma por encima de la recta numérica. Determinamos 2 sobre la recta numérica. Para sumarle 3 nos desplazamos tres unidades más en dirección positiva y llegamos a 5.

Figura 3-4 . Empleo de la recta numérica para sumar.

Para sumar dos números negativos sobre la recta numérica, tales como -2 y -3, ubicamos -2 sobre la recta numérica y luego nos desplazamos tres unidades más en dirección negativa para alcanzar -5, como en b (figura 3-4), por encima de la recta numérica.

La observación de los resultados de las operaciones anteriores sobre la recta numérica nos lleva a la siguiente conclusión, que puede establecerse como una ley: Para sumar con signos iguales se suman los valores absolutos y se antecede con el signo común.

Adición con signos desiguales

Para sumar un número positivo y un número negativo, tales como (- 4) + (+ 5), situamos + 5 sobre la recta numérica y avanzamos cuatro unidades en dirección negativa, como en la línea e, encima de la recta numérica, en la figura 3-4. Observe que esta adición podría realizarse en la otra dirección. Es decir, podríamos comenzar en - 4 y movernos 5 unidades en dirección positiva. (Ver línea d, figura 3-4.)

Los resultados de nuestras operaciones con signos mezclados, sobre la recta numérica, nos llevan a la siguiente conclusión, que puede establecerse como una ley: Para sumar números con signos desiguales determinamos la diferencia entre sus valores absolutos y colocamos el signo del número numéricamente más grande.

Los siguientes ejemplos muestran la suma de los números 3 y 5 con las cuatro combinaciones posibles de signos:

En el primer ejemplo, 3 y 5 tienen signos iguales y el signo común se sobreentiende que es positivo. La suma de los valores absolutos es 8 y en esta suma no se emplea signo como prefijo, significando que el signo de 8 es positivo.

En el segundo ejemplo, 3 y 5 tienen nuevamente signos iguales, pero el signo común es negativo. La suma de los valores absolutos es 8 y esta vez el signo común antecede a la suma. La respuesta es entonces - 8.

En el tercer ejemplo, 3 y 5 tienen signos desiguales. La diferencia entre sus valores absolutos es 2 y el signo del sumando mayor es negativo. Por tanto, la respuesta es - 2.

En el cuarto ejemplo, 3 y 5 tienen nuevamente signos desiguales. La diferencia de los valores absolutos es aún 2, pero esta vez el signo del sumando mayor es positivo. Por tanto, el signo que antecede al 2 es positivo (se sobreentiende) y la respuesta final es simplemente 2.

Estos cuatro ejemplos podrían escribirse en una forma diferente realzando la distinción entre el signo de un número y el signo operacional, como sigue:

(+3) + (+5) = +8
(-3) + (-5) = -8
(+3) + (-5) = -2
(-3) + (+5) = +2

PRÁCTICA DE PROBLEMAS: Sume como se indica:

1.  - 10 + 5 = (- 10) + (+5) = ?
2.  Sumar - 9, - 16, y 25
3.  - 7 - 1 - 3 = (-7) + (-1) + (-3) = ?
4,  Sumar - 22 y -13

Respuestas:

1. -5                      3. -11
2. 0                        4. -35

Sustracción .

Figura 3-5. Sustracción empleando la recta numérica.

La sustracción es la inversa de la adición. Cuando se realiza una sustracción "extraemos" el sustraendo. Esto significa que sea cual fuere el valor del sustraendo su efecto es ser invertido cuando se indica la sustracción. En la adición la suma de 5 y - 2 es 3. En cambio, en la sustracción, para anular el efecto del - 2 debe sumarse la cantidad + 2. Entonces, la diferencia entre + 5 y - 2 es + 7.

Teniendo en cuenta esta idea podemos proceder ahora a examinar las combinaciones de sustracciones que comprenden números con signo.

Consideremos primero las cuatro posibilidades en las cuales el minuendo es numéricamente mayor que el sustraendo, como en los ejemplos siguientes:

Podemos demostrar cómo se obtiene cada uno de estos resultados usando la recta numérica, conforme se ilustra en la figura 3-5.

En el primer ejemplo situamos + 8 sobre la recta numérica, luego restamos 5 haciendo un movimiento que invierta su signo. Entonces nos movemos a la izquierda 5 unidades. El resultado (diferencia) es + 3 (ver línea a, figura 3-5).

En el segundo ejemplo situamos + 8 sobre la recta numérica, luego sustraemos - 5 haciendo un movimiento que invierta su signo. Es decir, nos movemos a la derecha 5 unidades. El resultado en este caso es + 13. (Ver línea b, figura 3-5).

En el tercer ejemplo, situamos - 8 sobre la recta numérica, sustraemos 5 haciendo un movimiento que invierta su signo. Luego nos movemos a la izquierda 5 unidades. El resultado es - 13. (Ver línea c, figura 3-5.)

En el cuarto ejemplo situamos - 8 sobre la recta numérica, luego invertimos el signo de - 5 moviendo 5 unidades a la derecha. El resultado es - 3 (ver línea d, figura 3-5) .

A continuación, consideremos las cuatro posibilidades que surgen cuando el sustraendo es numéricamente mayor que el minuendo, como en los siguientes ejemplos:

En el primer ejemplo situamos + 5 sobre la recta numérica, luego restamos 8 haciendo un movimiento que invierta su signo. Luego nos movemos 8 unidades a la izquierda. El resultado es - 3 (ver línea e, figura 3-5).

En el segundo ejemplo determinamos + 5 sobre la recta numérica, luego sustraemos - 8 haciendo un movimiento a la derecha que invierta su signo. El resultado es 13 (ver línea f, figura 3-5).

En el tercer ejemplo situamos - 5 sobre la recta numérica, luego invertirnos el signo de 8 por un movimiento a la izquierda. El resultado es - 13 (ver línea g, figura 3-5).

En el cuarto ejemplo situamos - 5 sobre la recta numérica, luego invertimos el signo de - 8 por movimiento a la derecha. El resultado es 3 (ver línea h, figura 3-5).

Un cuidadoso estudio de los ejemplos anteriores nos lleva a las siguientes conclusiones, que se establecen como una ley para la sustracción de números con signo: En todo problema de sustracción se cambia mentalmente el signo del sustraendo y se procede como en una adición.

 PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 4, restar el número menor del mayor. En los problemas 5 a 8, restar como se indica.

Hallar los valores numéricos de :

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