Los números
positivos con que hemos trabajado en páginas anteriores
en este sitio no son suficientes para todas las situaciones
que pueden surgir. Por ejemplo, aparece un número negativo
en la operación de la sustracción cuando el
sustraendo es mayor que el minuendo.
NÚMEROS NEGATIVOS
Cuando sucede que el sustraendo es más
grande que el minuendo, este hecho se indica colocando un
signo menos al frente de la diferencia, como en la siguiente:
12 - 20 = -8
La diferencia, - 8, se dice que es NEGATIVA. Un número
precedido por un signo menos es un NÚMERO NEGATIVO.
El número - 8 se lee "menos ocho". Tal número
podría surgir cuando hablamos de cambios de temperatura.
Si la temperatura de ayer fue de 12 grados y disminuyó
20 grados hoy, la lectura actual será 12 - 20 ó
- 8 grados.
Los números que presentan un signo más o menos
se llaman NÚMEROS CON SIGNO. Un número sin signo
se entiende que es positivo y se lo trata como si estuviera
precedido por un signo más.
Si se desea realzar el hecho de que un número es
positivo, se coloca un signo más al frente del número,
como en + 5, que se lee "más cinco". Por
tanto, + 5 ó 5 indica que el número 5 es positivo.
Si un número es negativo, aparece un signo menos, como
en - 9.
Al tratar con números con signo debe hacerse notar
que los signos más y menos tienen dos funciones separadas
y distintas. Pueden indicar cuándo un número
es positivo o negativo, y también señalan la
operación de la adición o sustracción.
Cuando se opera totalmente con números positivos
no es necesario preocuparse de esta distinción, ya
que los signos más o menos indican solamente adición
o sustracción.
Sin embargo, cuando en un cálculo están incluidos
también números negativos es importante distinguir
entre un signo de operación y el signo del número.
Dirección de las mediciones
Los números con signo nos proporcionan un medio conveniente
para indicar direcciones opuestas con un mínimo de
palabras. Por ejemplo, una altitud de 20 metros por encima
del nivel del mar puede ser designada como + 20 metros. La
misma distancia por debajo del nivel del mar se designaría
entonces como - 20 metros. Uno de los sistemas más
utilizados que emplean números con signo para indicar
la dirección de la medida es el termómetro,
TERMÓMETRO
El termómetro Celsius (centígrados) mostrado
en la figura 3-1 ilustra el uso de los números positivos
y negativos para indicar la dirección de desplazamiento
por encima y por debajo de 0. La marca 0 es el punto de transición
en el cual los signos de la escala numérica cambian
de - a +. ,
Cuando el termómetro se calienta por el aire que
lo rodea o con un líquido caliente dentro del cual
ha sido sumergido el mercurio se expande y se desplaza hacia
la parte superior del tubo. Después que el mercurio
dilatado pasa el 0 la marcha en que se detiene se lee como
una temperatura positiva. Si se hace enfriar el termómetro
el mercurio se contrae. Después de pasar 0 en su movimiento
hacia abajo, cualquier marca en la cual se detenga se lee
como una temperatura negativa.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Por conveniencia, los matemáticos han determinado
seguir ciertas normas para el uso de los números con
signo en las mediciones que tienen dirección. Por ejemplo,
en la figura 3-2 la dirección a la derecha a lo largo
de la línea horizontal es positiva, mientras que la
dirección opuesta (hacia la izquierda) es negativa.
Sobre la línea vertical la dirección hacia arriba
es positiva, mientras que la dirección hacia abajo
es negativa. Una distancia de - 3 unidades a lo largo de la
línea horizontal indica una medida de 3 unidades a
la izquierda del punto inicial 0.
Una distancia de - 3 unidades sobre la línea vertical
señala una medida de 3 unidades por debajo del punto
inicial.
Figura 3-1. Escala Celsius ( centígrados)
de temperatura.
Las 2 líneas del sistema de coordenadas rectangulares
que pasan a través de la posición 0 son el eje
vertical y el eje horizontal. Se pueden incluir otras líneas
horizontales y verticales formando un cuadriculado. Cuando
se emplea este reticulado para ubicar puntos y líneas
el "dibujo" que lo contiene se llama GRÁFICO.
Figura 3-2. Sistema de coordenadas rectangulares.
LA RECTA NUMÉRICA
A veces es importante conocer la dimensión relativa
(magnitud) de números positivos y negativos. Para determinar
cuándo un número particular es mayor o menor
que otro se piensa en todos los números, tanto positivos
como negativos, ordenados a lo largo de una línea horizontal
(ver figura 3-3).
FIGURA 3-3. Recta numérica mostrando les números
positivos y negativos.
El cero se coloca en el centro de la línea. Los números
positivos se extienden desde cero hacia la derecha. Los números
negativos se extienden desde cero hacia la izquierda. Con
esta disposición quedan localizados también
los números positivos y negativos, de modo que van
desde los más pequeños hasta los más
grandes cuando se desplazan de izquierda a derecha a lo largo
de la línea. Todo número que se encuentra a
la derecha de otro es mayor que el número dado. Todo
número que se encuentra a la izquierda de un número
dado es menor que él. Esta disposición muestra
que todo número negativo es menor que cualquier número
positivo.
El símbolo para "mayor que" es >. El
símbolo para "menor que" es <. Resulta
fácil distinguir entre estos símbolos porque
el símbolo utilizado siempre se abre hacia el número
más grande. Por ejemplo, "7 es mayor que 4”
puede escribirse 7 > 4, y "-5 es menor que -1"
puede escribirse -5 < - 1.
VALOR ABSOLUTO
El VALOR ABSOLUTO de un número es el valor numérico
cuando se omite el signo. El valor absoluto de + 5 o de -
5 es 5. Entonces, dos números que difieren sólo
en el signo tienen el mismo valor absoluto.
El signo para el valor absoluto consiste en dos barras verticales
colocadas a cada lado del número, como en | - 5| =
5. Consideremos también lo siguiente:
| 4 - 20 | = 16
|+7 | = | -7 | = 7
La expresión | -7 | se lee "valor absoluto de
menos siete".
Cuando se usan números positivos y negativos para
indicar la dirección de una medida nos interesa solamente
el valor absoluto, si sólo deseamos conocer la distancia
cubierta. Por ejemplo, en la figura 3-2, si un objeto se mueve
a la izquierda desde el punto inicial al punto indicado por
- 2 la distancia real cubierta es de 2 unidades. Nos preocupamos
solamente por el hecho de que | -2 | = 2 si nuestro único
interés es la distancia y no la dirección.
OPERACIONES CON NÚMEROS CON SIGNO
La recta numérica puede usarse para demostrar la adición
de los números con signo. Deben considerarse dos casos,
a saber: suma de números con signos iguales y suma
de números con signos desiguales.
Adición con signos iguales
Como un ejemplo de adición con signos iguales supongamos
que utilizamos la recta numérica (figura 3-4) para
sumar 2 + 3. Puesto que éstos son números con
signo, indicamos esa suma como (+ 2) + (+ 3). Lo cual pone
de manifiesto que entre los tres signos + indicados, dos son
signos numéricos y uno es un signo de operación.
La línea a (figura 3-4) muestra esta suma por encima
de la recta numérica. Determinamos 2 sobre la recta
numérica. Para sumarle 3 nos desplazamos tres unidades
más en dirección positiva y llegamos a 5.
Figura 3-4 . Empleo de la recta numérica
para sumar.
Para sumar dos números negativos sobre la recta numérica,
tales como -2 y -3, ubicamos -2 sobre la recta numérica
y luego nos desplazamos tres unidades más en dirección
negativa para alcanzar -5, como en b (figura 3-4), por encima
de la recta numérica.
La observación de los resultados de las operaciones
anteriores sobre la recta numérica nos lleva a la siguiente
conclusión, que puede establecerse como una ley: Para
sumar con signos iguales se suman los valores absolutos y
se antecede con el signo común.
Adición con signos desiguales
Para sumar un número positivo y un número negativo,
tales como (- 4) + (+ 5), situamos + 5 sobre la recta numérica
y avanzamos cuatro unidades en dirección negativa,
como en la línea e, encima de la recta numérica,
en la figura 3-4. Observe que esta adición podría
realizarse en la otra dirección. Es decir, podríamos
comenzar en - 4 y movernos 5 unidades en dirección
positiva. (Ver línea d, figura 3-4.)
Los resultados de nuestras operaciones con signos mezclados,
sobre la recta numérica, nos llevan a la siguiente
conclusión, que puede establecerse como una ley: Para
sumar números con signos desiguales determinamos la
diferencia entre sus valores absolutos y colocamos el signo
del número numéricamente más grande.
Los siguientes ejemplos muestran la suma de los números
3 y 5 con las cuatro combinaciones posibles de signos:
En el primer ejemplo, 3 y 5 tienen signos iguales y el signo
común se sobreentiende que es positivo. La suma de
los valores absolutos es 8 y en esta suma no se emplea signo
como prefijo, significando que el signo de 8 es positivo.
En el segundo ejemplo, 3 y 5 tienen nuevamente signos iguales,
pero el signo común es negativo. La suma de los valores
absolutos es 8 y esta vez el signo común antecede a
la suma. La respuesta es entonces - 8.
En el tercer ejemplo, 3 y 5 tienen signos desiguales. La
diferencia entre sus valores absolutos es 2 y el signo del
sumando mayor es negativo. Por tanto, la respuesta es - 2.
En el cuarto ejemplo, 3 y 5 tienen nuevamente signos desiguales.
La diferencia de los valores absolutos es aún 2, pero
esta vez el signo del sumando mayor es positivo. Por tanto,
el signo que antecede al 2 es positivo (se sobreentiende)
y la respuesta final es simplemente 2.
Estos cuatro ejemplos podrían escribirse en una forma
diferente realzando la distinción entre el signo de
un número y el signo operacional, como sigue:
(+3) + (+5) = +8
(-3) + (-5) = -8
(+3) + (-5) = -2
(-3) + (+5) = +2
PRÁCTICA DE PROBLEMAS: Sume como se indica:
1. - 10 + 5 = (- 10) + (+5) = ?
2. Sumar - 9, - 16, y 25
3. - 7 - 1 - 3 = (-7) + (-1) + (-3) = ?
4, Sumar - 22 y -13
Respuestas:
1. -5
3. -11
2. 0
4. -35
Sustracción .
Figura 3-5. Sustracción empleando la
recta numérica.
La sustracción es la inversa de la adición.
Cuando se realiza una sustracción "extraemos"
el sustraendo. Esto significa que sea cual fuere el valor
del sustraendo su efecto es ser invertido cuando se indica
la sustracción. En la adición la suma de 5 y
- 2 es 3. En cambio, en la sustracción, para anular
el efecto del - 2 debe sumarse la cantidad + 2. Entonces,
la diferencia entre + 5 y - 2 es + 7.
Teniendo en cuenta esta idea podemos proceder ahora a examinar
las combinaciones de sustracciones que comprenden números
con signo.
Consideremos primero las cuatro posibilidades en las cuales
el minuendo es numéricamente mayor que el sustraendo,
como en los ejemplos siguientes:
Podemos demostrar cómo se obtiene cada uno de estos
resultados usando la recta numérica, conforme se ilustra
en la figura 3-5.
En el primer ejemplo situamos + 8 sobre la recta numérica,
luego restamos 5 haciendo un movimiento que invierta su signo.
Entonces nos movemos a la izquierda 5 unidades. El resultado
(diferencia) es + 3 (ver línea a, figura 3-5).
En el segundo ejemplo situamos + 8 sobre la recta numérica,
luego sustraemos - 5 haciendo un movimiento que invierta su
signo. Es decir, nos movemos a la derecha 5 unidades. El resultado
en este caso es + 13. (Ver línea b, figura 3-5).
En el tercer ejemplo, situamos - 8 sobre la recta numérica,
sustraemos 5 haciendo un movimiento que invierta su signo.
Luego nos movemos a la izquierda 5 unidades. El resultado
es - 13. (Ver línea c, figura 3-5.)
En el cuarto ejemplo situamos - 8 sobre la recta numérica,
luego invertimos el signo de - 5 moviendo 5 unidades a la
derecha. El resultado es - 3 (ver línea d, figura 3-5)
.
A continuación, consideremos las cuatro posibilidades
que surgen cuando el sustraendo es numéricamente mayor
que el minuendo, como en los siguientes ejemplos:
En el primer ejemplo situamos + 5 sobre la recta numérica,
luego restamos 8 haciendo un movimiento que invierta su signo.
Luego nos movemos 8 unidades a la izquierda. El resultado
es - 3 (ver línea e, figura 3-5).
En el segundo ejemplo determinamos + 5 sobre la recta numérica,
luego sustraemos - 8 haciendo un movimiento a la derecha que
invierta su signo. El resultado es 13 (ver línea f,
figura 3-5).
En el tercer ejemplo situamos - 5 sobre la recta numérica,
luego invertirnos el signo de 8 por un movimiento a la izquierda.
El resultado es - 13 (ver línea g, figura 3-5).
En el cuarto ejemplo situamos - 5 sobre la recta numérica,
luego invertimos el signo de - 8 por movimiento a la derecha.
El resultado es 3 (ver línea h, figura 3-5).
Un cuidadoso estudio de los ejemplos anteriores nos lleva
a las siguientes conclusiones, que se establecen como una
ley para la sustracción de números con signo:
En todo problema de sustracción se cambia mentalmente
el signo del sustraendo y se procede como en una adición.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, restar el número menor del
mayor. En los problemas 5 a 8, restar como se indica.
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