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Dependencia, Funciones y Fórmulas


 

 


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DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS MEDIANTE TABLAS
En trabajos técnicos, las lecturas de instrumentos y otros datos con frecuencia se ordenan en forma tabular. Por medio de una cuidadosa observación de tales tablas de datos muchas veces es posible determinar valores que están relacionados en un modelo definido. La tabla puede desarrollarse entonces para obtener una fórmula que muestre las relaciones entre las cantidades vinculadas.
Por ejemplo, la tabla 14 - 1 indica los resultados de algunas pruebas en un buque, con los datos redondeados en horas y millas aproximadas.

Tabla 14-1. Pruebas de tiempo

Por observación de la tabla aparece claramente que el número de millas recorridas es siempre 20 por el número correspondiente de horas. En consecuencia, la fórmula desarrollada a partir de esta tabla es:

d = 20t

Un segundo ejemplo de la derivación de una fórmula a partir de una tabla se muestra en la figura 14-3. La figura 14-3 (A) ilustra diversos polígonos (figuras planas de muchos lados), cada uno con una o más diagonales. Una diagonal es una línea recta que une un vértice (punto que une dos lados) con otro.

La tabla de la figura 14-3 (B) compara los números de lados de cada polígono con el número de diagonales que pueden trazarse desde cualquier vértice. Usando esta tabla establecemos una fórmula para el número, d, de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono de n lados. En la tabla observamos que el número de diagonales es siempre 3 menos que el número de lados. Por tanto, la fórmula es d = n - 3.

FIGURA 14 -3. Diagonales de figuras planas.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Completar las siguientes tablas y escribir fórmulas que indiquen la relación entre los números.

Traducción de fórmulas
Hasta ahora nos hemos preocupado principalmente por reducir reglas verbales o enunciados a fórmulas. También es necesario poder hacer lo inverso y traducir fórmulas a palabras. A menudo las publicaciones técnicas encuentran ventaja en el hecho de que es más conveniente escribir fórmulas en vez de largos enunciados. La comprensión no es total si no somos capaces de traducir estas fórmulas a palabras. Como un ejemplo de traducción transformaremos a palabras la fórmula V = lha, con los factores literales representando las siguientes palabras:

V = volumen de un sólido rectangular
1 = longitud
h = ancho
a = altura

Esto da lugar a la siguiente traducción: El volumen de un sólido rectangular es igual a la longitud por el ancho por la altura.

Como segundo ejemplo traduzcamos la expresión algebraica a palabras, corro sigue: El doble de la raíz cuadrada de cierto número menos 4.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Traducir a palabras cada una de las siguientes expresiones.
1. PV = k, donde P representa la presión de un gas y V representa el volumen. (Se supone constante la temperatura.)
2 . x = y + 4, donde x e y son números.
3. A = LH, donde A es el área de un rectángulo, L es su longitud y H su ancho.
4. d = vt, donde d es la distancia, v es la velocidad y t el tiempo
Respuestas.
1. La presión de un gas multiplicada por su volumen es constante si la temperatura es constante.
2. Cierto número x es igual a la suma de otro número, y, más 4.
3. El área de un rectángulo es igual al producto de su longitud por su ancho.
4. La distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo.

Representación gráfica de fórmulas
Hemos visto que las fórmulas son ecuaciones. Puesto que todas las fórmulas son ecuaciones éstas pueden representarse gráficamente. Los gráficos de fórmulas tienen amplio uso en campos tales como la electrónica y la ingeniería. En aplicaciones prácticas a menudo es conveniente derivar la información de los gráficos de las fórmulas en vez de hacerlo directamente con las fórmulas.
Como ejemplo, supongamos que un combustible cuesta 30 centavos por litro, La fórmula para el costo de n litros es

C = 0,30n

Vemos que esta es una ecuación lineal cuya recta resultante pasa a través del origen (no hay término constante). Visto que sólo nos interesan los valores positivos, podemos eliminar tres cuadrantes del gráfico y usar sólo el primer cuadrante. Sabemos que un punto del gráfico es (0,0). Necesitamos únicamente determinar otro punto para poder hacer la representación gráfica de la fórmula. El resultado se muestra en la figura 14-4.
Podemos leer directamente el costo en el gráfico cuando se conoce el número de litros, o el número de litros cuando se conoce el costo. Por ejemplo, si se compran 5,5 litros, ubicamos 5,5 en la escala de litros y seguimos la línea vertical desde ese punto hasta donde intersecta al gráfico de la fórmula. Desde ese punto se sigue la línea horizontal hasta la escala de costos. La línea horizontal intersecta la escala de costos en 1,65. Por tanto, el costo de 5,5 litros es $ 1,65.
Asimismo, para responder la pregunta: "¿ cuántos litros podrán comprarse con $ l,27 ?", deberemos agrandar el gráfico lo suficiente para poder estimar el centavo. Entonces podremos trazar una línea horizontal desde 1,27 en la escala de costo del gráfico de la fórmula y seguir la línea vertical desde ese punto a la escala de litros. Así pues, 4,25 litros pueden comprarse con $ 1,27.
La representación de dos fórmulas sobre un mismo gráfico puede ayudar a resolver ciertos tipos de problemas. Por ejemplo, supongamos que dos barcos dejan el puerto al mismo tiempo. Uno promedia 10 nudos y el otro promedia 15 nudos. ¿Cuánto han recorrido cada uno al final de 3 y de 5 horas? Un gráfico para relacionar el movimiento de ambos barcos en todo momento podría realizarse como sigue:
Sea la escala vertical en millas náuticas y la escala horizontal en horas, La fórmula para la distancia del primer barco relacionada con el tiempo es

d = 10t

Figura 14-4. Gráfico para la fórmula C= 0,30 n
Figura 14-5 Gráficos para las fórmulas. d = 10t  d= 15t

La fórmula para la distancia del segundo barco relacionada con el tiempo es

d = l5t

Vemos que estas fórmulas son lineales y que sus rectas pasan a través del origen. Éstas se hallan representadas gráficamente en la figura 14-5.

Con este gráfico podemos responder ahora a las preguntas originales. Entonces en 3 horas el primer barco recorre 30 millas y el segundo 45 millas. En 5 horas el primer barco recorre 50 millas y el segundo recorre 75 millas.
También podríamos responder preguntas tales como: Cuando el segundo barco ha recorrido 100 millas, ¿cuánto ha recorrido el otro? Primero determinamos el punto sobre el gráfico de d = 15t, donde el barco ha recorrido 100 millas. Seguimos luego la línea vertical desde ese punto hasta el punto en que intersecta al gráfico de la otra fórmula. Desde el punto de intersección seguimos una línea horizontal hasta el eje de las distancias y vemos que el primer barco ha recorrido alrededor de 67 millas cuando el segundo recorrió 100 millas.
Los ejemplos anteriores sirven para ilustrar la amplia variedad de aplicaciones en la que es útil la representación gráfica de las fórmulas.

 

 


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