Números Reales. Números Complejos

En ciertos cálculos, en matemáticas y ciencias afines, es necesario realizar operaciones con números no semejantes a los mencionados hasta ahora en este curso. Tales números, desafortunadamente llamados "números imaginarios" por los primeros matemáticos, son muy útiles y tienen un significado muy real en las ciencias físicas. El sistema numérico que consiste en números comunes y números imaginarios se llama sistema de NÚMEROS COMPLEJOS. Los números complejos están compuestos por una parte "real" y una parte "imaginaria".
El presente capítulo está dedicado a explicar los números imaginarios y a mostrar cómo pueden combinarse con los números conocidos antes.

NÚMEROS REALES
El concepto de número, como se hizo notar en los capítulos anteriores, se ha desarrollado gradualmente. Durante una época la idea de número estuvo limitada a. los enteros positivos.
El concepto se fue ampliando para incluir fracciones positivas; números que están entre los números enteros. Al principio las fracciones incluían solamente aquellos números que podían expresarse con términos enteros. Puesto que toda fracción puede considerarse como una razón, esto dio origen al término NÚMERO RACIONAL, que se define como todo número que puede expresarse como la razón de dos enteros (recordar que todo número entero es un entero).
Pronto se hizo evidente que estos números no bastaban para completar el rango de números Positivos. La razón, π, de la circunferencia de un círculo a su diámetro, no entraba en el concepto de número, entonces no tan avanzado, ni tampoco números tales como  √ 3 .
Si bien a estos números se les asigna valores decimales, estas son sólo aproximaciones. Es decir, ir no es exactamente igual a 22/7 o a 3,142. Tal número se llama IRRACIONAL para distinguirlo de los otros números del sistema. Con los números racionales e irracionales el sistema de números positivos incluye a todos los números de cero a infinito en una dirección positiva.
Visto que el sistema numérico no se completa sólo con números positivos, el sistema se extendió para incluir los números negativos. La idea de números negativos racionales e irracionales hasta menos infinito fue una extensión sencilla del sistema.

Sean a, b y c tres números reales; entonces se verifican las siguientes propiedades:

Los números racionales e irracionales, positivos y negativos hasta ±: infinito, como se han presentado en este curso, comprenden el sistema de NÚMEROS REALES. El sistema de los números reales está representado en la figura 15-1.

Los números reales que como dijimos, resultan de la unión de los racionales y los irracionales pueden determinarse como números decimales infinitos, es decir:

= {x | x es un número decimal infinito}

Los números reales se pueden hacer corresponder con los puntos de una recta; para ello, basta con señalar en una recta dos puntos, al punto de la izquierda se le asocia el número real 0 y al punto de la derecha el número 1. La representación de los números enteros se hace llevando el segmento que va de 0 a 1 hacia la derecha o hacia la izquierda tantas veces como indica el valor absoluto del número.

Figura 15-1 . Sistema de los números reales.

El resto de los puntos de la recta representan números reales; no todos ellos se pueden construir utilizando regla y compás. Los números racionales pueden construirse utilizando el teorema de Tales. Algunos números irracionales se pueden construir mediante teoremas geométricos, como el teorema de Pitágoras.

Tomemos una recta I, elijamos sobre ella un punto de origen O y a partir de este punto tomemos un segmento unidad OU. El punto O será la representación gráfica del número 0 y el punto U será la representación gráfica del número 1. Tomando el segmento unidad tantas veces como sea necesario, obtendremos la representación gráfica de los elementos del conjunto Z así:

Cada punto marcado sobre la recta I corresponde a un único número entero. Observemos que entre el punto 0 y el punto 1, hay infinitos puntos que no pertenecen a ningún número entero; igual cosa ocurre, entre cada uno de los otros puntos que corresponden a dos enteros consecutivos.

Consideremos el segmento comprendido entre los puntos que representan los enteros 3 y 4.

Si dividimos este segmento en 10 partes iguales, los puntos de subdivisión representan los números racionales que indica el siguiente gráfico:

(Ampliamos por comodidad el segmento mencionado)

Esta subdivisión es posible hacerla en cualquier segmento comprendido entre dos enteros consecutivos.

Consideremos ahora el segmento comprendido entre los racionales 3, 4 y 3, 5, de la gráfica anterior y hagamos en él una subdivisión en 10 partes iguales.

Quedan ahora representados gráficamente, por los puntos de subdivisión, nuevos números racionales así:

El segmento ha sido ampliado, con el propósito de observar mejor las subdivisiones.

Esta subdivisión se puede realizar en cualquier segmento comprendido entre dos racionales, que difieren en una décima (0, 1 ).

Obsérvese que los puntos de la nueva subdivisión representan números racionales, que difieren en una centésima (0,01 ).

Podemos continuar este procedimiento, para determinar puntos que representan racionales que difieran en una milésima (0,001 ), en una diezmilésima (0,0001) etc. Este proceso es indefinido, porque entre dos racionales se encuentran muchos otros.

La intuición nos permite suponer que existen puntos sobre la recta que representan números decimales infinitos. Es decir, podemos representar cualquier número real sobre una recta . Entonces, podemos establecer la siguiente propiedad de R.

Mediante el mismo procedimiento podemos establecer otra propiedad para R.

Una recta I, asociada al conjunto R, la llamamos recta real y la representamos así:

Ejemplo

Si queremos construir el número 4/ 5, trazaremos una recta por el 0 distinta a la recta real que pasa por el 1. A continuación se harán sobre ella cinco segmentos iguales 0A, AB, BC, CD, DE y se unirá el punto final E del último segmento con el 1. Posteriormente se trazarán líneas paralelas a la que pasa por el 1 y E por los puntos A, B, C, D. El punto de corte en la recta real, de la recta construida que pasa por D, será 4/ 5.

OPERADORES

Como se demostró en los capítulos previos, el signo más en una expresión tal como 5 + 3 puede indicar dos cosas separadas: señala el número positivo 3 o indica que + 3 se suma a 5. vale decir, señala la operación a realizar con + 3.
Asimismo, en el problema 5 - 3 el signo menos indicará el número negativo 3, en cuyo caso la operación podría ser la adición; o sea, 5 + ( -3). Por otro lado, puede señalar el signo de la operación, en cuyo caso + 3 se resta de 5; es decir, 5 (+3).
Entonces, los signos más y menos indicarán números positivos y negativos o señalarán operaciones a realizar.

NÚMEROS IMAGINARIOS
La recta numérica representada en la figura 15-1 representa todos los números positivos y negativos desde más infinito a menos infinito. Sin embargo, hay un tipo de números que no entran en esta representación. Tales números aparecen cuando tratamos de resolver la siguiente ecuación:

Observe la distinción entre este empleó del signo radical y la forma en que se lo usó en páginas anteriores . Aquí, el símbolo ± se agrega al signo radical para realzar el hecho de que existen dos valores x. Si bien existen ambas raíces, por lo general sólo se da la positiva. Esto está de acuerdo con las convenciones usuales de las matemáticas.
La ecuación

x = ± √ -4

introduce una cuestión interesante:
¿Qué número multiplicado por sí mismo da -4? El cuadrado de 2 es + 4. Igualmente, el cuadrado de + 2 es + 4. No hay número en el sistema de los números reales que sea la raíz cuadrada de un número negativo. La raíz cuadrada de un número negativo se llama NÚMERO IMAGINARIO. Cuando se asignó este nombre a las raíces cuadradas de números negativos se lo hizo, naturalmente, por referencia a los otros números conocidos COMO NÚMEROS REALES.

Unidad imaginaria
Para reducir el problema de los números imaginarios a sus términos más simples procedemos dentro de lo posible usando números comunes en la solución. Entonces, podemos escribir √ -4 como un producto

Asimismo

Además,

Entonces, el problema de dar significado a la raíz cuadrada de un número negativo se reduce al de determinar un significado para √ -1 .
La raíz cuadrada de -1 fue designada i por los matemáticos. Cuando aparece con un coeficiente el signo i se escribe al final, a no ser que el coeficiente se halle en forma radical. Esta convención se ilustra en los siguientes ejemplos:

El símbolo i se establece para la unidad imaginaria √ -1 . Todo número imaginario es un múltiplo real, positivo o negativo, de i. Por ejemplo, -7i , +7i , i √ 15 y bi, son todos números imaginarios.
En las fórmulas eléctricas la letra i significa corriente. Para evitar confusiones los técnicos electrónicos emplean la letra j para indicar √ -1 y la llaman "operador j". El nombre “maginario" deberá pensarse como un término técnico de conveniencia matemática. Tales números tienen un propósito muy real en el sentido físico. Además, puede demostrarse que las operaciones matemáticas comunes, tales como la adición, multiplicación, etcétera, pueden realizarse exactamente en la misma forma que con los números reales.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Expresar cada una de las siguientes como un número real por i:

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Los siguientes ejemplos ilustran los resultados de elevar la unidad imaginaria a diversas potencias:

Vemos en estos ejemplos que una potencia par de i es un número real igual a + 1 o - 1. Toda potencia impar de i es imaginaria e igual a +i o -i. Entonces, todas las potencias de i se reducen a una de las cuatro cantidades siguientes:  √ -1, -1, -√ -1, ó +1 .

Representación gráfica
La figura 15-1 ilustra la representación de los números reales a lo largo de una línea recta, extendiéndose los números positivos desde cero a la derecha para una distancia infinita, y los números negativos, hacia la izquierda desde cero a infinito. Todo punto sobre esta línea corresponde a un número real y no hay saltos entre ellos. Se deduce entonces que no existe posibilidad de representar números imaginarios sobre esta línea.
Al principio hicimos notar que era posible usar ciertos signos corno operadores. El signo + podía establecer la operación de la adición. El signo podía utilizarse para la operación de la sustracción. Asimismo, es fácil explicar el número imaginario i, gráficamente, como un operador, que indica cierta operación a realizar sobre el número del cual i es el coeficiente.
Si representamos gráficamente la longitud n sobre la recta numérica ilustrada en la figura 15-2 (A) podemos comenzar en el punto cero y medir a la derecha (dirección positivo) una distancia que represente n unidades, Si multiplicamos n por 1 podremos representar el resultado n midiendo desde cero en dirección negativa una distancia igual a n unidades.
Gráficamente, multiplicar un número real por -1 es equivalente a rotar la línea que representa  el punto alrededor de cero en 180° de modo que la nueva posición de n está en dirección opuesta y a una distancia n unidades de cero. En este caso podemos suponer que -1 es el operador que hace girar n a través de dos ángulos rectos has a su nueva posición (figura 15-2 (B)).
Como hemos demostrado, i² = - 1. Por tanto, hemos multiplicado realmente n por i², o i x i. En otras palabras, multiplicar por -1 es lo mismo que multiplicar dos veces sucesivamente por i. Lógicamente, si multiplicamos n por i una vez, la línea n deberá girar sólo la mitad de lo que giró antes: es decir, únicamente un ángulo recto o 90°. El nuevo segmento ni se mediría en una dirección 90° de la línea n. Entonces, i es un operador que hace girar el número a través de un ángulo recto (ver figura 15-3).

Figura 15-2. Multiplicación gráfica por -1 y por el operador i²

.

Hemos mostrado antes que un número positivo podrá tener dos raíces cuadradas reales, una positiva y la otra negativa. Por ejemplo, √ 9 = ±3. También demostramos que un número imaginario podrá tener dos raíces. Por ejemplo, √ -4 es igual a ±2i. Cuando el operador -1 hace girar gráficamente un número, puede hacerlo en el sentido de las agujas del reloj o en dirección contraria. Asimismo, el operador i hará girar gráficamente un número en cualquier dirección. Este hecho da un significado a números tales como : ±2i. Se ha agregado además que un número multiplicado por +i   gira 90° en dirección contraria a las agujas del reloj. Un número multiplicado por i gira 90° en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 15-4. Representación gráfica de ± 2i

En la figura 15-4, +2i está representado girando la línea que equivale al número real positivo 2 hasta 90° en la dirección contraria a las agujas del reloj. Se deduce que -2i se representa girando la línea que representa el número real 2 hasta 90° en el sentido de las agujas del reloj.
En la figura 15-5 observe que la idea de i como operador se agrega al concepto concerniente a las potencias de i. Entonces, i gira un número hasta 90°; i² ó -1 gira el número hasta 180°, y el número es real y negativo; i³ gira el número hasta 270°, que tiene el mismo efecto que -1; i⁴ gira el número hasta 360° y el número es nuevamente positivo y real.

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PLANO COMPLEJO
Todos los números imaginarios podrán representarse gráficamente a lo largo de una línea que se extiende desde cero y es perpendicular a la línea que representa los números reales. Esta línea será considerada infinita en ambas direcciones, positiva y negativa, y todos los múltiplos de i deberán representarse sobre ella. Este gráfico es similar al sistema de coordenadas rectangulares estudiado antes.
En este sistema, el eje vertical Y se llama eje de los imaginarios y el eje horizontal X se denomina eje real. En el sistema de coordenadas rectangulares los números reales pertenecen tanto a los ejes X como Y, y el plano limitado por los ejes se llama plano real. Cuando el eje Y es el eje de los imaginarios el plano determinado por los ejes X e Y recibe el nombre de PLANO COMPLEJO (figura 15-6).
En todo sistema de números se necesita una unidad para contar, A lo largo del eje real la unidad es el número 1. Como se indica en la figura 15-6, a lo largo del eje imaginario la unidad es i. Los números que están sobre el eje imaginario se llaman IMAGINARIOS PUROS. Éstos serán siempre algún múltiplo de i, la unidad imaginaria. Los números 5i, 3i, √ 2, √ - 7 son ejemplos de imaginarios puros.

Figura 15-5. Operación con potencias de i.

Figura 15-6. El plano complejo.

Números en el plano complejo
Todos los números del plano complejo son números complejos, incluyendo los reales y los imaginarios puros. Sin embargo, puesto que los reales e imaginarios tienen la propiedad especial de estar ubicados sobre ejes, por lo general se los identifica por sus nombres distintivos.
El término número complejo se ha definido como la suma o diferencia indicada de un número real y un número imaginario.
Por ejemplo, 3 + 5 √ - l, ó 3 + 5i, 2 - 6i, y - 2 + √ -5 son números complejos. En el número complejo 7 - 1√ 2, 7 es la parte real y - 1√ 2 es la parte imaginaria.
Todos los números complejos corresponden a la forma general a + bi, donde a y b son números reales. Cuando a tiene valor cero el término real desaparece y el número complejo se transforma en un imaginario puro. Cuando b tiene valor cero el término imaginario desaparece y el número complejo se transforma en un número real. Entonces, 4 podrá pensarse como 4 + 0i , 3i podrá considerarse corno 0 + 3i. De esto deducimos que los números reales y los imaginarios puros son casos especiales de los números complejos. Consecuentemente, el número complejo podrá considerarse como la forma más general de los números y pueden desarrollarse para incluir todos los números del álgebra, conforme se muestra en el diagrama de la figura 15- 7.

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Ver : Adición, sustracción, multiplicación y división en el conjunto de los números complejos

Figura 15-8. Representación de números complejos.

Los números complejos pueden representarse fácilmente en el plano complejo. Los imaginarios puros se representan a lo largo del eje vertical, el eje de los imaginarios, y los números reales se ubican a lo largo del eje horizontal, el eje de los reales. Se deduce que los otros puntos en el plano complejo deben representar números que son parte real y parte imaginaria; en otras palabras, los números complejos. Si deseamos representar el punto 3 + 2i, observamos que el número está formado por el número real 3 y el número imaginario 2i. Entonces, como en la figura 15-8, medimos a lo largo del eje real en dirección positiva. Un punto (3,0) sobre el eje real gira un ángulo recto y mide 2 unidades por encima y paralelo al eje imaginario. Asimismo, el número -3 + 2i es 3 unidades a la izquierda y 2 unidades arriba; el número 3- 2i es 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo; y el número -3 -2i es 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

Figura 15-8. Representación de números complejos.