CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA) |
Números Reales. Números Complejos |
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Números Reales. Números Complejos En ciertos cálculos, en
matemáticas y ciencias afines, es necesario realizar
operaciones con números no semejantes a los mencionados
hasta ahora en este curso. Tales números, desafortunadamente
llamados "números imaginarios" por los primeros
matemáticos, son muy útiles y tienen un significado
muy real en las ciencias físicas. El sistema numérico
que consiste en números comunes y números imaginarios
se llama sistema de NÚMEROS COMPLEJOS. Los números
complejos están compuestos por una parte "real"
y una parte "imaginaria".
NÚMEROS REALES Sean a, b y c tres números reales; entonces se verifican las siguientes propiedades: Los números racionales e irracionales, positivos y negativos hasta ±: infinito, como se han presentado en este curso, comprenden el sistema de NÚMEROS REALES. El sistema de los números reales está representado en la figura 15-1. Los números reales que como dijimos, resultan de la unión de los racionales y los irracionales pueden determinarse como números decimales infinitos, es decir:
Los números reales se pueden hacer corresponder con los puntos de una recta; para ello, basta con señalar en una recta dos puntos, al punto de la izquierda se le asocia el número real 0 y al punto de la derecha el número 1. La representación de los números enteros se hace llevando el segmento que va de 0 a 1 hacia la derecha o hacia la izquierda tantas veces como indica el valor absoluto del número. Figura 15-1 . Sistema de los números reales. El resto de los puntos de la recta representan números reales; no todos ellos se pueden construir utilizando regla y compás. Los números racionales pueden construirse utilizando el teorema de Tales. Algunos números irracionales se pueden construir mediante teoremas geométricos, como el teorema de Pitágoras. Tomemos una recta I, elijamos sobre ella un punto de origen O y a partir de este punto tomemos un segmento unidad OU. El punto O será la representación gráfica del número 0 y el punto U será la representación gráfica del número 1. Tomando el segmento unidad tantas veces como sea necesario, obtendremos la representación gráfica de los elementos del conjunto Z así: Cada punto marcado sobre la recta I corresponde a un único número entero. Observemos que entre el punto 0 y el punto 1, hay infinitos puntos que no pertenecen a ningún número entero; igual cosa ocurre, entre cada uno de los otros puntos que corresponden a dos enteros consecutivos. Consideremos el segmento comprendido entre los puntos que representan los enteros 3 y 4. Si dividimos este segmento en 10 partes iguales, los puntos de subdivisión representan los números racionales que indica el siguiente gráfico: (Ampliamos por comodidad el segmento mencionado) Esta subdivisión es posible hacerla en cualquier segmento comprendido entre dos enteros consecutivos. Consideremos ahora el segmento comprendido entre los racionales 3, 4 y 3, 5, de la gráfica anterior y hagamos en él una subdivisión en 10 partes iguales. Quedan ahora representados gráficamente, por los puntos de subdivisión, nuevos números racionales así: El segmento ha sido ampliado, con el propósito de observar mejor las subdivisiones. Esta subdivisión se puede realizar en cualquier segmento comprendido entre dos racionales, que difieren en una décima (0, 1 ). Obsérvese que los puntos de la nueva subdivisión representan números racionales, que difieren en una centésima (0,01 ). Podemos continuar este procedimiento, para determinar puntos que representan racionales que difieran en una milésima (0,001 ), en una diezmilésima (0,0001) etc. Este proceso es indefinido, porque entre dos racionales se encuentran muchos otros. La intuición nos permite suponer que existen puntos sobre la recta que representan números decimales infinitos. Es decir, podemos representar cualquier número real sobre una recta . Entonces, podemos establecer la siguiente propiedad de R.
Mediante el mismo procedimiento podemos establecer otra propiedad para R.
Una recta I, asociada al conjunto R, la llamamos recta real y la representamos así: Ejemplo Si queremos construir el número 4/ 5, trazaremos una recta por el 0 distinta a la recta real que pasa por el 1. A continuación se harán sobre ella cinco segmentos iguales 0A, AB, BC, CD, DE y se unirá el punto final E del último segmento con el 1. Posteriormente se trazarán líneas paralelas a la que pasa por el 1 y E por los puntos A, B, C, D. El punto de corte en la recta real, de la recta construida que pasa por D, será 4/ 5. OPERADORES
Como se demostró en los capítulos previos, el
signo más en una expresión tal como 5 + 3 puede
indicar dos cosas separadas: señala el número
positivo 3 o indica que + 3 se suma a 5. vale decir, señala
la operación a realizar con + 3. NÚMEROS IMAGINARIOS Observe la distinción entre este empleó
del signo radical y la forma en que se lo usó en páginas anteriores . Aquí, el símbolo ±
se agrega al signo radical para realzar el hecho de que existen
dos valores x. Si bien existen ambas raíces, por lo
general sólo se da la positiva. Esto está de
acuerdo con las convenciones usuales de las matemáticas. x = ± √ -4 introduce una cuestión interesante: Unidad imaginaria Asimismo Además, Entonces, el problema de dar significado a la raíz
cuadrada de un número negativo se reduce al de determinar
un significado para √ -1 . El símbolo i se establece
para la unidad imaginaria √ -1 . Todo
número imaginario es un múltiplo real, positivo
o negativo, de i. Por ejemplo, -7i , +7i , i √ 15 y bi,
son todos números imaginarios. PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Expresar cada una de las siguientes como un número
real por i: POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA Vemos en estos ejemplos que una potencia par de i es un número real igual a + 1 o - 1. Toda potencia impar de i es imaginaria e igual a +i o -i. Entonces, todas las potencias de i se reducen a una de las cuatro cantidades siguientes: √ -1, -1, -√ -1, ó +1 . Representación gráfica Figura 15-2. Multiplicación gráfica por -1 y por el operador i2
Hemos mostrado antes que un número positivo podrá tener dos raíces cuadradas reales, una positiva y la otra negativa. Por ejemplo, √ 9 = ±3. También demostramos que un número imaginario podrá tener dos raíces. Por ejemplo, √ -4 es igual a ±2i. Cuando el operador -1 hace girar gráficamente un número, puede hacerlo en el sentido de las agujas del reloj o en dirección contraria. Asimismo, el operador i hará girar gráficamente un número en cualquier dirección. Este hecho da un significado a números tales como : ±2i. Se ha agregado además que un número multiplicado por +i gira 90° en dirección contraria a las agujas del reloj. Un número multiplicado por i gira 90° en el sentido de las agujas del reloj. Figura 15-4. Representación gráfica de ± 2i En la figura 15-4, +2i está
representado girando la línea que equivale al número
real positivo 2 hasta 90° en la dirección contraria
a las agujas del reloj. Se deduce que -2i se representa girando la línea que representa el número
real 2 hasta 90° en el sentido de las agujas del reloj.
PLANO COMPLEJO Figura 15-5. Operación con potencias de i. Figura 15-6. El plano complejo. Números en el plano complejo REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS Ver : Adición, sustracción, multiplicación y división en el conjunto de los números complejos Figura 15-8. Representación de números complejos. Los números complejos pueden representarse fácilmente en el plano complejo. Los imaginarios puros se representan a lo largo del eje vertical, el eje de los imaginarios, y los números reales se ubican a lo largo del eje horizontal, el eje de los reales. Se deduce que los otros puntos en el plano complejo deben representar números que son parte real y parte imaginaria; en otras palabras, los números complejos. Si deseamos representar el punto 3 + 2i, observamos que el número está formado por el número real 3 y el número imaginario 2i. Entonces, como en la figura 15-8, medimos a lo largo del eje real en dirección positiva. Un punto (3,0) sobre el eje real gira un ángulo recto y mide 2 unidades por encima y paralelo al eje imaginario. Asimismo, el número -3 + 2i es 3 unidades a la izquierda y 2 unidades arriba; el número 3- 2i es 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo; y el número -3 -2i es 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo. Figura 15-8. Representación de números complejos. |
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