LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO VECTORES
Un vector es un segmento de línea con dirección.
Un número complejo representa un vector expresado en
FORMA RECTANGULAR. Por ejemplo, el número complejo
6 + 8i en la figura 15-9 será considerado
tanto como representante del punto P como de la línea
OP. Las partes reales del número complejo (6 y 8) son
los componentes rectangulares del vector. La parte real es
la vertical del triángulo rectángulo (lados
adyacentes al ángulo recto), y el vector OP es su hipotenusa
(lado opuesto al ángulo recto).
Figura 15-9. Número complejo representado
como un vector.
Si deseamos indicar simplemente el vector OP
podemos hacerlo escribiendo el número complejo que
lo representa a lo largo del segmento, como en la figura 15-9.
Este método no sólo fija la posición
del punto P, sino que además indica qué parte
del vector es imaginaria (PA) y qué parte es real (OA).
Si deseamos indicar un número que representa la longitud
real del vector OP es necesario resolver el triángulo
rectángulo OAP para su hipotenusa. Esto puede realizarse
extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados
de los catetos del triángulo, que en este caso son
los números reales 6 y 8. Entonces,
Sin embargo, visto que un vector tiene dirección tanto
como magnitud debemos indicar también la dirección
del segmento; de otra forma el segmento OP podría irradiarse
en cualquier dirección en el plano complejo, a partir
del punto 0. La expresión 10/53,1° indica que el
vector OP se ha girado en sentido contrario a las agujas del
reloj desde la posición inicial hasta un ángulo
de 53,l°. (La posición inicial en una línea
se extiende desde el origen a la derecha sobre OX.). Este
método para expresar la cantidad vectorial se llama
FORMA POLAR. El número representa la magnitud de la
cantidad y el ángulo representa la posición
del vector con respecto a la referencia horizontal OX. Los
ángulos positivos representan rotaciones del vector
en dirección inversa a las agujas del reloj y los ángulos
negativos representan rotaciones en el sentido de las agujas
del reloj. La forma polar es por lo general más simple
para la multiplicación y división, pero su uso
requiere un conocimiento de la trigonometría.
Adición y sustracción de números
complejos
Los imaginarios puros se suman y restan en la misma forma
que cualquier otra cantidad algebraica. Los coeficientes de
términos similares se suman o sustraen algebraicamente,
como sigue:
Similarmente, los números complejos en la forma rectangular
se combinan como cualquier otro polinomio algebraico. Se suman
o restan los coeficientes de los términos similares
algebraicamente. Si los números están entre
paréntesis, primero se los elimina. A continuación
se colocan las partes reales juntas y las partes imaginarias
juntas. Se reúnen los términos, Como ejemplo,
consideremos lo siguiente:
Note en el ejemplo 2 que la convención para escribir
el operador j (la forma electrónica
de la unidad imaginaria) con coeficientes numéricos
es colocar primero j.
Si los números complejos se colocan uno debajo del
otro los resultados de la adición y sustracción
aparecen como sigue:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sumar o restar como está indicado, en los siguientes
problemas:
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS
En general, las reglas para la multiplicación de números
complejos e imaginarios puros son las mismas que para las
otras cantidades algebraicas. Sin embargo, hay una excepción
que debe considerarse: la regla para multiplicar números
bajo signos radicales no se aplica a DOS NÚMEROS NEGATIVOS.
Cuando por lo menos uno de los dos radicales es positivo,
los radicandos pueden multiplicarse de inmediato, como en
el siguiente ejemplo:
Cuando ambos radicandos son negativos, como en √
-2 √ -3 , se obtiene un resultado inconsistente
si se multiplican ambos números bajo los signos radicales.
Para obtener el resultado correcto se expresan primero los
números imaginarios en término de 1, como sigue:
La multiplicación de números complejos
es equivalente a multiplicar binomios en la forma explicada:
antes. Después que se ha realizado la multiplicación
se simplifican las potencias de i, como en
los ejemplos que a continuación ofrecemos:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones indicadas:
Conjugados y productos especiales
Dos números complejos que son semejantes excepto en
el signo de las partes imaginarias se llaman NÚMEROS
COMPLEJOS CONJUGADOS. Por ejemplo, 3 + 5i,
3 - 5i son conjugados. Cada número
es el conjugado del otro.
Conocido un número complejo el conjugado puede obtenerse
de inmediato cambiando el signo de la parte imaginaria. El
conjugado de -8 + √ 10 es -
8 - √ -10 . El conjugado de -√
-6 es √ - 6.
La suma de dos números complejos conjugados es un número
real, conforme se ilustra en seguida:
PRODUCTO DE DOS CONJUGADOS
El producto de números complejos conjugados es un número
real. Multiplicar dos conjugados equivale a determinar el
producto de la suma y diferencia de dos números.
Consideremos los siguientes ejemplos:
CUADRADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El cuadrado de un número complejo es equivalente a
elevar un binomio a la segunda potencia. Por ejemplo:
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se divide por un imaginario puro el denominador deberá
racionalizarse y el problema de simplifica entonces multiplicando
numerador y denominador por el denominador. Así pues,
La división de números complejos
puede realizarse multiplicando numerador y denominador por
el número que es el conjugado del denominador. Este
proceso es similar al de racionalizar un denominador en el
caso de números reales que son irracionales.
Como ejemplo, consideremos
El denominador es 3 + i . Su
conjugado es 3 - i . Multiplicando numerador
y denominador por 3 - i , obtenemos:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar los denominadores y simplificar.
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