CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA) ONLINE


   

 

Números Complejos. El plano complejo. Operaciones con números complejos.

 

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LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO VECTORES
Un vector es un segmento de línea con dirección. Un número complejo representa un vector expresado en FORMA RECTANGULAR. Por ejemplo, el número complejo 6 + 8i en la figura 15-9 será considerado tanto como representante del punto P como de la línea OP. Las partes reales del número complejo (6 y 8) son los componentes rectangulares del vector. La parte real es la vertical del triángulo rectángulo (lados adyacentes al ángulo recto), y el vector OP es su hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto).

Figura 15-9. Número complejo representado como un vector.

Si deseamos indicar simplemente el vector OP podemos hacerlo escribiendo el número complejo que lo representa a lo largo del segmento, como en la figura 15-9. Este método no sólo fija la posición del punto P, sino que además indica qué parte del vector es imaginaria (PA) y qué parte es real (OA).
Si deseamos indicar un número que representa la longitud real del vector OP es necesario resolver el triángulo rectángulo OAP para su hipotenusa. Esto puede realizarse extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo, que en este caso son los números reales 6 y 8. Entonces,

Sin embargo, visto que un vector tiene dirección tanto como magnitud debemos indicar también la dirección del segmento; de otra forma el segmento OP podría irradiarse en cualquier dirección en el plano complejo, a partir del punto 0. La expresión 10/53,1° indica que el vector OP se ha girado en sentido contrario a las agujas del reloj desde la posición inicial hasta un ángulo de 53,l°. (La posición inicial en una línea se extiende desde el origen a la derecha sobre OX.). Este método para expresar la cantidad vectorial se llama FORMA POLAR. El número representa la magnitud de la cantidad y el ángulo representa la posición del vector con respecto a la referencia horizontal OX. Los ángulos positivos representan rotaciones del vector en dirección inversa a las agujas del reloj y los ángulos negativos representan rotaciones en el sentido de las agujas del reloj. La forma polar es por lo general más simple para la multiplicación y división, pero su uso requiere un conocimiento de la trigonometría.

Adición y sustracción de números complejos
Los imaginarios puros se suman y restan en la misma forma que cualquier otra cantidad algebraica. Los coeficientes de términos similares se suman o sustraen algebraicamente, como sigue:

Similarmente, los números complejos en la forma rectangular se combinan como cualquier otro polinomio algebraico. Se suman o restan los coeficientes de los términos similares algebraicamente. Si los números están entre paréntesis, primero se los elimina. A continuación se colocan las partes reales juntas y las partes imaginarias juntas. Se reúnen los términos, Como ejemplo, consideremos lo siguiente:

Note en el ejemplo 2 que la convención para escribir el operador j (la forma electrónica de la unidad imaginaria) con coeficientes numéricos es colocar primero j.
Si los números complejos se colocan uno debajo del otro los resultados de la adición y sustracción aparecen como sigue:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sumar o restar como está indicado, en los siguientes problemas:

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

En general, las reglas para la multiplicación de números complejos e imaginarios puros son las mismas que para las otras cantidades algebraicas. Sin embargo, hay una excepción que debe considerarse: la regla para multiplicar números bajo signos radicales no se aplica a DOS NÚMEROS NEGATIVOS. Cuando por lo menos uno de los dos radicales es positivo, los radicandos pueden multiplicarse de inmediato, como en el siguiente ejemplo:

Cuando ambos radicandos son negativos, como en √ -2 √ -3 , se obtiene un resultado inconsistente si se multiplican ambos números bajo los signos radicales. Para obtener el resultado correcto se expresan primero los números imaginarios en término de 1, como sigue:

La multiplicación de números complejos es equivalente a multiplicar binomios en la forma explicada: antes. Después que se ha realizado la multiplicación se simplifican las potencias de i, como en los ejemplos que a continuación ofrecemos:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones indicadas:

Conjugados y productos especiales
Dos números complejos que son semejantes excepto en el signo de las partes imaginarias se llaman NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS. Por ejemplo, 3 + 5i, 3 - 5i son conjugados. Cada número es el conjugado del otro.
Conocido un número complejo el conjugado puede obtenerse de inmediato cambiando el signo de la parte imaginaria. El conjugado de -8 + √ 10 es - 8 - √ -10 . El conjugado de -√ -6 es √ - 6.
La suma de dos números complejos conjugados es un número real, conforme se ilustra en seguida:

PRODUCTO DE DOS CONJUGADOS

El producto de números complejos conjugados es un número real. Multiplicar dos conjugados equivale a determinar el producto de la suma y diferencia de dos números.
Consideremos los siguientes ejemplos:

CUADRADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El cuadrado de un número complejo es equivalente a elevar un binomio a la segunda potencia. Por ejemplo:

                     

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se divide por un imaginario puro el denominador deberá racionalizarse y el problema de simplifica entonces multiplicando numerador y denominador por el denominador. Así pues,

La división de números complejos puede realizarse multiplicando numerador y denominador por el número que es el conjugado del denominador. Este proceso es similar al de racionalizar un denominador en el caso de números reales que son irracionales.
Como ejemplo, consideremos

El denominador es 3 + i . Su conjugado es 3 - i . Multiplicando numerador y denominador por 3 - i , obtenemos:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar los denominadores y simplificar.

 

 

 


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