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Ecuaciones cuadráticas con una variable

El grado de una ecuación con una variable es el exponente de la mayor potencia a la cual está elevada la variable en esa ecuación. Una ecuación de segundo grado con una variable es una en la cual la variable está elevada a la segunda potencia. Una ecuación de segundo grado frecuentemente se llama ECUACIÓN CUADRÁTICA. La palabra "cuadrática" deriva del vocablo latino "quadratus", que significa "cuadrado". Las ecuaciones de segundo grado han sido motivadas desde tiempos inmemoriables,inicialmente la necesidad de resolver problemas de áreas y volúmenes condujeron a manipular ecuaciones de este tipo. Como los números negativos aparecieron tarde en la historia de las matemáticas, en sus inicios el manejo de ecuaciones de segundo grado fue con números positivos. En una ecuación cuadrática el término de mayor grado es el término cuadrático. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cuadráticas:

Los términos de grado menor que el segundo pueden estar o no presentes. Los términos posibles de grado menor que el término al cuadrado son el de primer grado y el término constante. En la ecuación

3x2 - 8x - 5 = 0

- 5 es el coeficiente de x0. Si deseamos realzar las potencias de x en esta ecuación deberemos escribir la ecuación en la forma

3x2 - 8x1 - 5x0 = 0

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas en las cuales falta el término de primer grado o el término constante son:

  1. 4x2 = 16
  2. y2 + 16y = 0
  3. e2 + 12 = 0

FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN CUADRATICA

Toda ecuación cuadrática puede ordenarse en la forma general::

ax2 + bx + c = 0

Si tiene más de tres términos, algunos de ellos serán semejantes y podrán combinarse, después de lo cual la forma final tendrá como máximo tres términos. Por ejemplo,

2x2  +  3 + 5x - 1 + x2 = 4 - x2 - 2x2 - 3

se reduce a la forma más simple

4x2 + 7x + 1 = 0

Así es fácil ver que a, el coeficiente de x2 , es 4; b, el coeficiente de x, es 7; y c, el término constante, es 1.

Se reconocen cinco tipos de ecuación de segundo grado, a saber:

x2 = bx; x2 = c; x2 + c = bx; x2 = bx + c; x2 + bc = c

  • La ecuación de tipo: x2 = bx , tiene una única solución: x = b, ya que no se acepta a cero como la solución
  • La ecuación de tipo: x2 = c , equivale a hallar la raíz cuadrada de un número. Para esto existen diversos métodos, como el de tanteo, el de Herón, el de Euclides.

A veces los coeficientes de los términos de una ecuación cuadrática aparecen como números negativos, como el siguiente:

2x2 - 3x - 5 = 0

Esta ecuación se puede volver a escribir de modo tal que los signos de conexión sean todos positivos, como en la forma general. Esto se ilustra como sigue:

2x2 + (-3)x + (-5) = 0

En esta forma se ve que el valor de a es 2, b es -3, y c es -5 .
Una ecuación de la forma

x2  + 2 = 0

no tiene término en x. Esto puede considerarse como un caso en el que a es 1 (el coeficiente de x2 se sobreentiende que es l ), b es 0 y c es 2. Con el fin de realzar los valores de a, b y c con referencia a la forma general esta ecuación puede escribirse

x2  + 0x + 2 = 0

El coeficiente de x2 nunca puede ser cero; si fuera 0, la ecuación no sería cuadrática. Si los coeficientes de x y x0 son ceros, entonces estos términos normalmente no aparecen. Decir que el coeficiente de x0 es 0 equivale a expresar que el término constante es 0 o que no existe.
Una RAÍZ de una ecuación con una variable es un valor de la variable que satisface la ecuación. Toda ecuación de una variable con coeficientes constantes y enteros positivos como exponentes, tiene tantas raíces como el exponente de la potencia más elevada. En otras palabras, el número de raíces es el mismo que el grado de la ecuación.
Una ecuación de cuarto grado posee cuatro raíces, una ecuación cúbica (tercer grado.) tiene tres raíces, una ecuación cuadrática dos raíces y una ecuación lineal una raíz.
Por ejemplo, 6 y - 1 son raíces de la ecuación cuadrática

x2 - 5x - 6 =  0

lo cual puede verificarse reemplazando estos valores en la ecuación y observando que en cada caso se forma una identidad.

Sustituyendo x = 6 obtenemos

Sustituyendo x = - 1 obtenemos

Son posibles diversos métodos para determinar las raíces de ecuaciones cuadráticas (RESOLUCIÓN). El método más común es de solución por FACTOREO y la solución por la FÓRMULA CUADRÁTICA. Los métodos de resolución menos usados son los que completan el cuadrado y el de resolución gráfica.

SOLUCIÓN POR FACTOREO
La ecuación x2 - 36 = 0 es una ecuación cuadrática pura. Hay dos números que cuando se los reemplaza por x satisfacen la ecuación, corno sigue:

Entonces + 6 y 6 son raíces de la ecuación.

x2 - 36 = 0

La forma más directa para resolver una ecuación cuadrática pura (en la que no aparece término en x y el término constante es un cuadrado perfecto) implica volver a escribir con el término constante en el miembro derecho, así:

x2 = 36

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados, tenemos

x = ±6

La razón para expresar la solución como más y menos 6 se encuentra en el hecho de que tanto + 6 como - 6 cuando se los eleva al cuadrado dan 36.

La ecuación

x2 - 36 = 0

puede resolverse también por factoreo, de este modo:

Tenemos ahora el producto de dos factores iguales a cero. De acuerdo con la ley del factor cero, si un producto es cero entonces uno o más de sus factores son cero. En consecuencia, por lo menos uno de los factores debe ser cero y no interesa cuál de ellos. Somos libres de fijar primero un factor y luego el otro como iguales a cero. Al hacerlo así derivamos dos ecuaciones o raíces de la ecuación.

Si x + 6 es el factor cuyo valor es 0, tenemos entonces

Si x - 6 es el factor cero, tenemos

Cuando una ecuación cuadrática de tres términos se lleva a su forma más simple es costumbre colocar todos los términos del lado izquierdo del signo igual con el término cuadrático al principio, el término de primer grado a continuación y el término constante al final, como en

9x2 - 2x + 7 = 0

Si el trinomio en el miembro izquierdo es fácilmente factoreable, la ecuación puede resolverse con rapidez separando el trinomio en factores. Consideremos la ecuación:

3x2 - x - 2 = 0

Factoreando el trinomio, la ecuación se transforma:

(3x + 2 )(x - 1 ) = 0

Nuevamente tenemos dos factores, cuyo producto es cero. Esto significa que uno u otro (o ambos) debe tener el valor cero. Si el factor 0 es 3x + 2, tenemos

Sustituyendo primero x. = 1 y luego x = - 2/3 en la ecuación original vemos que ambas raíces las satisfacen. Entonces,

En resumen, cuando una ecuación cuadrática puede factorearse fácilmente, el proceso para determinar sus raíces es como sigue:
1. Ordenar la ecuación por las potencias decrecientes de la variable, de modo que todos los términos aparezcan en el miembro izquierdo y el cero aparezca a la derecha.
2. Factorear el miembro izquierdo de la ecuación.
3. Igualar a cero cada factor que contiene la variable y resolver las ecuaciones resultantes.
4. Controlar reemplazando cada una de las raíces en la ecuación original.

EJEMPLO: Resolver la ecuación x2 - 4x = 12

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver las siguientes ecuaciones por factoreo:

Respuestas:

Método Herón: Herón de Alejandría en el Siglo I, propuso una forma de hallar la raíz cuadrada de un número positivo así, si tenemos por ejemplo x2 = 2 .

Suponemos que la solución es 3/2, para hallar una nueva aproximación aplicamos la siguiente regla.

Que es una buena aproximación a √ 2

Es de anotar que el proceso se debe repetir tantas veces como se desee obtener una buena aproximación.

Método Euclides: el colapso de la aritmética pitagórica provocó una crisis que motivó a los griegos para dar más esfuerzo a la geometría. Las cantidades fijas (constantes) las representaban por segmentos de recta con longitud relativa a una unidad fija. El producto de dos cantidades la representaban como el área de un rectángulo y el producto de tres cantidades como el volumen de un prisma rectangular recto. De aquí el origen de la denominación de cuadrado y cubo para las potencias segunda y tercera.

A manera de ejemplo:

Las ecuaciones de tipo x2 + c = bx, fueron resueltas geométricamente por los griegos y aritméticamente por los babilonios.

Método griego: inicialmente los griegos y posteriormente los árabes, utilizaron un método geométrico para resolver éste tipo de ecuaciones por ejemplo:

Para encontrar el valor de x, se debe completar un cuadrado de lado 9 que incluye el cuadrado, de lado x, éste es el primer caso.

El cuadrado lo componenen dos rectángulos de igual área, y por dos cuadrados de área x2 y (9 - x)2.

El método griego se fundamentó en la proposición 5 del libro II de los elementos de Euclides. Este establece:

«Si se divide una recta en partes iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por las partes desiguales de la recta entera, más el comprendido por las partes desiguales de la recta entera, más el cuadrado de la diferencia entre una de las dos partes iguales y una parte desigual, es equivalente al cuadrado de la mitad de la recta dada».

La ecuación de tipo x2 = bx + c , como siempre los griegos utilizaron la geometría para resolver este tipo de ecuación. Pero en el Siglo XVII, en su libro «La Geometrie», René Descartes, describe un método geométrico para construir una solución de la ecuación cuadrática x2 = bx + c2 .

La ecuación de tipo x2 + bx = c , fue trabajada por los árabes y (Tabit Ben Qurra) por los griegos.

Método árabe: para resolver ecuaciones de éste tipo los árabes utilizan áreas de cuadrados y rectángulos. Por ejemplo:

x2 + 5x = 36

para resolver esta ecuación Al-Khowarizmi, dibujó un cuadrado de área x2 y sobre cada lado dibujó 4 rectángulos de dimensión: x y 5/4, la figura tendría de área 36.

Hasta aquí hemos trabajado métodos con fundamentos geométricos para valores positivos de la variable. Pero en muchos casos, sabemos que hay soluciones negativas para ecuaciones de segundo grado.

Para resolver ecuaciones de segundo grado donde se presentan coeficientes negativos fueron trabajados inicialmente por Carlyle (1775- 1881) y Von Staudt (1798 - 1867). Ambos se basaron en principios geométricos, utilizando círculos; dichos métodos son muy largos por lo cual no los desarrollamos, solo que es pertinente hacer la referencia a estos inquietos de las matemáticas.

Podemos ver que los métodos utilizados por las antiguas civilizaciones para resolver ecuaciones de segundo grado son muy largas y tediosas, lo que conllevó a los matemáticos a buscar métodos más rápidos pero con buen fundamento matemático

Método axiomático: es el método más usado actualmente y se soporta en los axiomas, definiciones y propiedades establecidas a través de toda la historia de las matemáticas.

Sea la ecuación:

ax2 + bx + c = 0 , con a, b y c constantes y a ≠ 0 . Se puede resolver entre otros métodos por fómula cuadrática

 

 

 

 


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