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Ecuaciones cuadráticas con una variable


 

 


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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. RESOLUCION COMPLETANDO EL CUADRADO

Tema relacionado: Ecuaciones cuadráticas con una variable


A veces en matemáticas aparecen expresiones de la forma
ax2+bx+c = 0,
donde a, b, y c son números reales conocidos y x es una cantidad desconocida que se denomina variable, así por ejemplo
3x2 -7=0;  x2 -5x+2=0.

A este tipo de ecuaciones en las que sólo aparece una variable y el mayor exponente al que está elevada la variable x es 2. Se las denomina ecuaciones de segundo grado. El resolver una ecuación con una variable x consiste en encontrar aquellos números reales tales que al sustituir la variable x por cada uno de ellos, la ecuación se convierte en una identidad.

Cuando una ecuación cuadrática no puede resolverse por factoreo o los factores no se evidencian fácilmente se necesita otro método para determinar las raíces. Un método que siempre podrá usarse con ecuaciones cuadráticas de una variable es el que implica un trinomio cuadrado perfecto. Éstos, como se recordará, son trinomios cuyos factores son idénticos. Por ejemplo,

x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2

Recordaremos que al elevar al cuadrado un binomio el tercer término del trinomio cuadrático resultante es siempre el cuadrado del segundo término del binomio. El coeficiente del término central del trinomio siempre es el doble del segundo término del binomio. Por ejemplo, cuando (x + 4) se eleva al cuadrado tenemos

Por tanto, si los términos de primero y segundo grado en un trinomio cuadrado perfecto son conocidos, el tercero puede escribirse elevando al cuadrado la mitad del coeficiente de primer grado.

Esencialmente, al completar el cuadrado se suman ciertas cantidades a un miembro y se sustraen del otro y la ecuación se vuelve a ordenar de modo que el miembro izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto. Luego se extraen las raíces cuadradas de ambos miembros y se resuelven las igualdades subsiguientes para las variables.
Por ejemplo,

no puede factorearse con facilidad. Para resolver para x, completando el cuadrado, procedemos así:

1. Dejamos solamente los términos de primero y segundo grado en el miembro de la izquierda.

(Si el coeficiente de x2 no es 1, dividimos por el coeficiente de x2.)

2. Completamos el cuadrado sumando a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término en x. En este ejemplo, la mitad del coeficiente del término en x es 5/2, y el cuadrado de 5/2 es 25/4. Entonces,

Factoreamos el miembro izquierdo y simplificamos el miembro derecho.

4. Extraemos la raíz cuadrada de ambos miembros.

Recuerde que al extraer raíces cuadradas de ambos lados de una ecuación debe tener en cuenta que en toda ecuación de segundo grado existen dos raíces. Entonces, en este ejemplo debemos extraer las raíces más y menos de 9.

5. Se resuelven las ecuaciones resultantes.

6. Se controla el resultado.

El proceso de completar el cuadrado siempre podrá usarse para resolver una ecuación cuadrática. Sin embargo, visto que este proceso puede tomarse complicado en ecuaciones más complejas, se ha desarrollado una fórmula basada en completar el cuadrado en la cual las cantidades conocidas pueden sustituirse para obtener las raíces de la ecuación cuadrática. Esta fórmula se explica en los siguientes párrafos.

SOLUCIÓN POR LA FÓRMULA CUADRATICA
La fórmula cuadrática se obtiene aplicando el proceso de completar el cuadrado para resolver para x en la forma general de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0.
Tenga presente que la forma general representa toda ecuación cuadrática posible. Entonces, si podemos resolver esta ecuación para x, la solución será en términos de a, b y c. A fin de resolver esta ecuación para x, completando el cuadrado, procedemos como sigue:
1. Restamos el término constante, c, de ambos miembros.

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx = -c

2. Dividimos todos los términos por a de modo que el coeficiente de x2 sea igual a la unidad.

3. Sumamos el cuadrado de una mitad del coeficiente del término en x, b/a, a ambos miembros.

4. Se factorea el miembro izquierdo y se simplifica el miembro derecho.

5. Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros.

6. Se resuelve para x.

Entonces hemos resuelto la ecuación que representa toda ecuación cuadrática para sus incógnitas en términos de sus constantes a, b y c. Por tanto, en una ecuación cuadrática determinada sólo necesitamos sustituir en la expresión

los valores de a, b y c, como éstos aparecen en la ecuación particular para obtener las raíces de esa ecuación. Esta expresión Se llama FÓRMULA CUADRÁTICA. La ecuación cuadrática general ax2 + bx + c = 0 , y la fórmula cuadrática deben aprenderse de memoria. Entonces, cuando una ecuación cuadrática no puede resolverse rápidamente por factoreo, se la resolverá por medio de la fórmula.

A la expresión b2 - 4ac se le llama el Discriminante, debido a que su valor indica el tipo de solución de la ecuación dada.

 

Así si - c / a = 0, sólo tendrá una solución  x = 0.  Y si - c / a < 0 no tendrá ninguna solución real.

Así, si b2 - 4ac > 0, la ecuación tendrá dos soluciones, si b2 - 4ac = 0 la ecuación tendrá una única solución real x = -b/2a, y si b2 - 4ac < 0 la ecuación no tendrá ninguna solución real.

 

EJEMPLO: Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación

x2 + 30 - 11x = 0

SOLUCIÓN:
1. Escribir la ecuación en forma normal

 x2 - 11x + 30 = 0

Entonces

a (coeficiente de x2) = 1
b (coeficiente de x)= -11
c (término constante) = 30

2. Sustituyendo

3. Controlando:

EJEMPLO: Determinar las raíces de

2x2 - 3x - 1 = 0

Aquí, a = 2, b = - 3, y c = - 1

Sustituyendo en la fórmula cuadrática da

Las dos raíces son

Estas raíces son números irracionales, puesto que no se puede extraer los radicales.

Si se requieren los valores decimales de las raíces puede hacerse la sustitución  √ 17 = 4,1231 y, simplificando, obtenemos

En forma decimal, las raíces de 2x2 - 3x - 1 = 0 aproximadas al décimo son 1,8 y - 0,3.
Repare en que los subíndices 1 y 2 se emplean para distinguir las dos raíces de la ecuación. Las tres raíces de una ecuación cúbica en x deberán designarse x1, x2 y x3. A veces se emplea la letra r para las raíces. Usando r las raíces de una ecuación cúbica deberían designarse r1, r2 y r3 .

Controlando:

Cuando 

               2x2 - 3x - 1 = 0

entonces

Cuando  

entonces

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 8, el MCD, tenemos

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Use la fórmula cuadrática para determinar las raíces de las siguientes ecuaciones:

Respuestas:

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática x2 - 6x + 8 = 0

Solución: en el trinomio dado a = 1, b = -6, c = 8; entonces

Ejemplo 2:

Resolver : 3x2 - 4x + 2 = 0

vemos que en este ejemplo la solución no es real.

Ejemplo 3:

Resolver: 4y2 - y + 2 = 0

Solución: aplicando la fórmula

Para resolver ecuaciones por medio de la fórmula cuadrática, sólo requiere identificar a, b y c; en la ecuación planteada, además, del signo de cada valor.

 

 

 

 


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