CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)


   

 

Ecuaciones cuadráticas con una variable


 

 


  • ¿Qué información buscas? :
Búsqueda personalizada

www.sapiensman.com


Página Inicio. Página Anterior Página Siguiente

Curso de Matemáticas


www.tecnoficio.com - Información para el estudiante y el trabajador de oficios técnicos.

www.azx7.com - Virtual Mall

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE

SOLUCIÓN GRAFICA

Un cuarto método para resolver la ecuación cuadrática es mediante la representación gráfica. Al representar gráficamente ecuaciones lineales utilizando ambos ejes como referencia, recordamos que son necesarias una variable independiente, x, y una variable dependiente, y. Las coordenadas de los puntos del gráfico de la ecuación se designan (x,y).
Puesto que consideramos ecuaciones cuadráticas que contienen sólo una variable, como en la ecuación

x2 - 8x + 12 = 0

no podemos trazar valores para las ecuaciones en la forma actual usando los ejes X e Y. Se precisa una variable dependiente, y.
Si pensamos en la expresión 

x2 - 8x + 12

como una función, entonces esta función puede considerarse que tiene muchos valores numéricos posibles, dependientes de qué valor se asigna a x. El valor a valores particulares que hacen que la función sea cero son soluciones para la ecuación.

x2 - 8x + 12 = 0

Por conveniencia, elegiremos y para representar la función.

x2 - 8x + 12

Si ahora se asignan valores numéricos a x pueden calcularse los valores correspondientes de y. Cuando estos pares de valores correspondientes de x e y se tabulan, la tabla resultante da la información necesaria para trazar un gráfico de la función.

EJEMPLO: Representar gráficamente la ecuación:

FIGURA 16-1. Gráfico de la ecuación y = x2 + 2x - 8. (A) puntos marcados: (B) curva trazada a través de los puntos marcados.

y con el gráfico determinar las raíces de la ecuación.

SOLUCIÓN:

1. Sea y = x2 + 2x - 8

2. Se hace una tabla de los valores de y que corresponden a los valores asignados a x, conforme se muestra en la tabla 16-1.

Tabla 16-1. Tabulación de los valores de x e y para la función y = x2 + 2x - 8.

3. Ubicar los pares de valores x e y que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares, corno en la figura 16-1 (A).
4. Dibujar una curva suave a través de estos puntos, según se exhibe en la figura 16-1 (B).
Advierta que esta curva cruza al eje X en dos lugares. Recordemos además que para todo punto sobre el eje X, la coordenada y es 0. Entonces, vemos en la figura que cuando y es 0, x es - 4, ó + 2. Cuando y es 0 tenemos además la ecuación original,

x2 + 2x - 8 = 0

Entonces, los valores de x en estos puntos donde el gráfico de la ecuación cruza el eje X (x = - 4 ó + 2) son soluciones de la ecuación original. Podemos controlar estos resultados resolviendo algebraicamente la ecuación. Entonces,

La curva de la figura 16-1 (B) se llama PARÁBOLA. Toda ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = y, tiene un gráfico general de esta forma. La curva se abre hacia arriba si a es negativo, y hacia abajo si a es positivo.
Los gráficos proveen un cuarto método para determinar las raíces de una ecuación cuadrática con una variable. Cuando la ecuación se representa gráficamente las raíces serán las intersecciones con X (los valores de x en que la curva cruza el eje X). Las intersecciones de X son los puntos en los cuales y es 0.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Representar gráficamente las siguientes ecuaciones cuadráticas y leer las raíces de cada ecuación en su gráfico.

1. x2  - 4x  - 8 = 0
2. 6x  - 5  - x2 = 0

Respuestas:

1. Ver figura 16-2; x = 5,5 ; x = -1,5.
2. Ver figura 16-3; x = 1 ; x = 5.

Puntos máximos y mínimos

En el gráfico de las ecuaciones cuadráticas con una variable se ve que una parábola tiene un valor máximo o mínimo, dependiendo de que la curva se abra hacia arriba o hacia abajo. Entonces, cuando a es negativo la curva pasa a través de un valor máximo; cuando a es positivo, la curva pasa por un valor mínimo. A menudo estos valores máximos o mínimos son la única información necesaria para un problema particular.

En matemáticas superiores se demuestra que la coordenada X o abscisa del valor máximo o mínimo es

En otras palabras, si dividimos el coeficiente del término en x con signo menos por el doble del término en x2, tenemos la coordenada X del punto máximo o mínimo. Si sustituimos este valor por x en la ecuación original, el resultado es el valor de la ordenada Y, que corresponde al valor X.
Por ejemplo, sabemos que el gráfico de la ecuación

x2 + 2x - 8 = y

pasa a través de un valor mínimo porque a es positivo. Para determinar las coordenadas del punto en que la parábola tiene su valor mínimo, observamos que a = 1, b = 2, c = 8. De la regla dada anteriormente, el valor de X del punto mínimo es

Reemplazando este valor para x en la ecuación original tenemos el valor de la ordenada Y del punto mínimo. Entonces,

El punto mínimo es ( -1, - 9). En el gráfico de la figura 16-1 (A) vemos que esta coordenadas son correctas. Entonces, podemos determinar rápida y fácilmente las coordenadas de los puntos máximo y mínimo para cualquier ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sin resolver gráficamente, determinar las coordenadas de los puntos máximo o mínimo y establecer cuándo éstas son máximo o mínimo:

Figura 16-2. Gráfico de x2 - 4x - 8 = 0

Figura 16-3. Gráfico de 6x - 5 - x2 = 0

 

 

 

 


Si esta información te resulta útil, compártela :

 

 

INICIO : Curso de Matemáticas. Elementos Básicos. Álgebra. Geometría.


 

Volver arriba