SOLUCIÓN GRAFICA
Un cuarto método para resolver la ecuación
cuadrática es mediante la representación gráfica.
Al representar gráficamente ecuaciones lineales utilizando
ambos ejes como referencia, recordamos que son necesarias
una variable independiente, x, y una variable
dependiente, y. Las coordenadas de los puntos
del gráfico de la ecuación se designan (x,y).
Puesto que consideramos ecuaciones cuadráticas que
contienen sólo una variable, como en la ecuación
x2 - 8x + 12 = 0
no podemos trazar valores para las ecuaciones
en la forma actual usando los ejes X e Y. Se precisa una variable
dependiente, y.
Si pensamos en la expresión
x2 - 8x + 12
como una función, entonces esta función
puede considerarse que tiene muchos valores numéricos
posibles, dependientes de qué valor se asigna a x.
El valor a valores particulares que hacen que la función
sea cero son soluciones para la ecuación.
x2 - 8x + 12 = 0
Por conveniencia, elegiremos y para representar
la función.
x2 - 8x + 12
Si ahora se asignan valores numéricos
a x pueden calcularse los valores correspondientes
de y. Cuando estos pares de valores correspondientes
de x e y se tabulan, la
tabla resultante da la información necesaria para trazar
un gráfico de la función.
EJEMPLO: Representar gráficamente la
ecuación:
FIGURA 16-1. Gráfico de la ecuación
y = x2 + 2x - 8.
(A) puntos marcados: (B) curva trazada a través de
los puntos marcados.
y con el gráfico determinar las raíces de la
ecuación.
SOLUCIÓN:
1. Sea y = x2 + 2x -
8
2. Se hace una tabla de los valores de y
que corresponden a los valores asignados a x,
conforme se muestra en la tabla 16-1.
Tabla 16-1. Tabulación de los valores
de x e y para la función
y = x2 + 2x - 8.
3. Ubicar los pares de valores x
e y que aparecen en la tabla como coordenadas
de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares,
corno en la figura 16-1 (A).
4. Dibujar una curva suave a través de estos puntos,
según se exhibe en la figura 16-1 (B).
Advierta que esta curva cruza al eje X en dos lugares. Recordemos
además que para todo punto sobre el eje X, la coordenada
y es 0. Entonces, vemos en la figura que
cuando y es 0, x es - 4,
ó + 2. Cuando y es 0 tenemos además
la ecuación original,
x2 + 2x - 8 =
0
Entonces, los valores de x
en estos puntos donde el gráfico de la ecuación
cruza el eje X (x = - 4 ó + 2) son
soluciones de la ecuación original. Podemos controlar
estos resultados resolviendo algebraicamente la ecuación.
Entonces,
La curva de la figura 16-1 (B) se llama PARÁBOLA.
Toda ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = y, tiene un gráfico general de
esta forma. La curva se abre hacia arriba si a
es negativo, y hacia abajo si a es positivo.
Los gráficos proveen un cuarto método para determinar
las raíces de una ecuación cuadrática
con una variable. Cuando la ecuación se representa
gráficamente las raíces serán las intersecciones
con X (los valores de x en que la curva cruza
el eje X). Las intersecciones de X son los puntos en los cuales
y es 0.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Representar gráficamente las siguientes ecuaciones
cuadráticas y leer las raíces de cada ecuación
en su gráfico.
1. x2 - 4x -
8 = 0
2. 6x - 5 - x2 = 0
Respuestas:
1. Ver figura 16-2; x = 5,5 ; x
= -1,5.
2. Ver figura 16-3; x = 1 ; x
= 5.
Puntos máximos y mínimos
En el gráfico de las ecuaciones cuadráticas
con una variable se ve que una parábola tiene un valor
máximo o mínimo, dependiendo de que la curva
se abra hacia arriba o hacia abajo. Entonces, cuando a
es negativo la curva pasa a través de un valor máximo;
cuando a es positivo, la curva pasa por un
valor mínimo. A menudo estos valores máximos
o mínimos son la única información necesaria
para un problema particular.
En matemáticas superiores se demuestra que la coordenada
X o abscisa del valor máximo o mínimo es
En otras palabras, si dividimos el coeficiente del término
en x con signo menos por el doble del término
en x2, tenemos la coordenada X
del punto máximo o mínimo. Si sustituimos este
valor por x en la ecuación original,
el resultado es el valor de la ordenada Y, que corresponde
al valor X.
Por ejemplo, sabemos que el gráfico de la ecuación
x2 + 2x - 8 = y
pasa a través de un valor mínimo
porque a es positivo. Para determinar las
coordenadas del punto en que la parábola tiene su valor
mínimo, observamos que a = 1, b
= 2, c = 8. De la regla dada anteriormente,
el valor de X del punto mínimo es
Reemplazando este valor para x
en la ecuación original tenemos el valor de la ordenada
Y del punto mínimo. Entonces,
El punto mínimo es ( -1, - 9). En el
gráfico de la figura 16-1 (A) vemos que esta coordenadas
son correctas. Entonces, podemos determinar rápida
y fácilmente las coordenadas de los puntos máximo
y mínimo para cualquier ecuación cuadrática
de la forma ax2 + bx + c = 0.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sin resolver gráficamente, determinar las coordenadas
de los puntos máximo o mínimo y establecer cuándo
éstas son máximo o mínimo:
Figura 16-2. Gráfico de x2
- 4x - 8 = 0
Figura 16-3. Gráfico de 6x
- 5 - x2 = 0
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