CURSO DE MATEMÁTICAS

Ecuaciones cuadráticas con una variable

EL DISCRIMINANTE

Las raíces de una ecuación cuadrática se pueden clasificar de acuerdo con el siguiente criterio:
1. Real o imaginaria.
2. Racional o irracional.
3. Igual o desigual.
La tarea de discriminar entre estas posibles características para determinar la naturaleza de las raíces se cumple mejor con la ayuda de la fórmula cuadrática. La parte de la fórmula cuadrática que se emplea se llama DISCRIMINANTE.

Si las raíces de una ecuación cuadrática se denominan con los símbolos r₁ y r₂, entonces pueden establecerse las siguientes relaciones::

Puede demostrarse que el carácter de las raíces depende de la forma que toma la expresión

b² - 4ac

que es la cantidad subradical de la fórmula. Esta expresión es el DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática.

Raíces Imaginarias

Puesto que hay un radical para cada raíz, existe la posibilidad de que las raíces puedan ser imaginarias. Serán imaginarias cuando el número bajo radical en la fórmula cuadrática es negativo (menor que 0). En otras palabras, cuando el valor del discriminante es menor que 0 las raíces son imaginarias.

PRUEBA: Las raíces son

Sabemos que ambos números son imaginarios.

También podemos deducir que cuando una raíz es imaginaria la otra también lo será. Esto se debe a que los pares de raíces imaginarias son siempre números complejos conjugados. Si una raíz es de la forma a + ib, entonces a - ib también es una raíz. Sabiendo que las raíces imaginarias siempre aparecen por pares, podemos deducir que una ecuación cuadrática tendrá siempre dos raíces imaginarias o dos raíces reales.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Usando el discriminante, establecer cuándo las raíces de la siguiente ecuación son reales o imaginarias:

1. x² - 6x - 16 = 0
2. x² - 6x = -12
3. 3x² - 10x + 50 = 0
4. 6x² + x = 1

Respuestas:

1. Reales. 2. Imaginarias. 3. Imaginarias. 4. Reales.

Raíces dobles o iguales

Si el discriminante b² - 4ac es igual a cero, el radical en la fórmula de la ecuación cuadrática es cero.

En este caso las raíces son iguales; tales raíces se llaman a veces raíces dobles.
Consideremos la ecuación

9x² + 12x + 4 = 0

Comparando con la forma cuadrática general observamos que

a = 9, b = 12,  y   c = 4

El discriminante es

Por tanto, las raíces son iguales.

PRUEBA: De la fórmula

Se verifica entonces la igualdad de las raíces.
Las raíces pueden ser iguales sólo si el trinomio es un cuadrado perfecto. Sus factores son iguales. Factoreando el trinomio en

9x² + 12x + 4 = 0

vemos que

(3x + 2 )² = 0

Visto que el factor 3x + 2 está elevado al cuadrado, tenemos en realidad

3x + 2 = 0

el doble, y tenemos

x = - 2/3

el doble
El hecho de que las mismas raíces se encuentran dos veces explica el uso del término "raíz doble". Una raíz doble de una ecuación cuadrática siempre es racional porque una raíz doble puede aparecer solamente cuando desaparece el radical.

Raíces reales y distintas

Cuando el discriminante sea positivo las raíces serán reales. Además, deben ser desiguales puesto que las raíces iguales aparecen sólo cuando el discriminante es cero.

RACES RACIONALES

Si el discriminante es un cuadrado perfecto las raíces son racionales. Por ejemplo, consideremos la ecuación

3x² - x - 2 = 0

en la cual

a = 3 , b = -1  y   c = -2

El discriminante es

Vemos que el discriminante 25 es un cuadrado perfecto. El cuadrado indica que puede sacarse el radical en la fórmula cuadrática, que las raíces de la ecuación son racionales y el trinomio puede factorearse. En otras palabras, cuando calculamos el discriminante y determinamos que es un cuadrado perfecto, sabemos que el trinomio es factoreable.

Vemos que la información obtenida por el discriminante es correcta. Las raíces son reales, distintas y raciónales.

RAÍCES IRRACIONALES

Si el discriminante no es un cuadrado perfecto no puede eliminarse el radical y las raíces son irracionales.

Consideremos la ecuación

2x² - 4x + 1 = 0

en la cual

a = 2, b = -4, y c = 1

El discriminante es

Este discriminante es positivo y no es un cuadrado perfecto. Entonces las raíces son reales, distintas e irracionales.
Para controlar la exactitud de esta información obtenemos las raíces por medio de la fórmula. Entonces,

Esto verifica las conclusiones obtenidas al calcular el discriminante. Cuando el discriminante es un número positivo, que no es cuadrado perfecto, resulta inútil intentar factorear el trinomio. Se necesita la fórmula para determinar las raíces. Éstas serán reales, distintas e irracionales.

RESUMEN

La información anterior concerniente al discriminante puede resumirse en las cuatro reglas siguientes:

1. Si b² - 4ac es un cuadrado perfecto o cero, las raíces son racionales; si no, son irracionales
2.. Si b² - 4ac es negativo (menor que cero) las raíces son imaginarias.
3. Si b² - 4ac es cero, las raíces son iguales, reales y racionales.
4. Si b² - 4ac es mayor que cero, las raíces son reales y distintas.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar el carácter de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:

1. x² - 7x + 12 = 0
2. 9x² - 6x + 1 = 0
3. 2x² - x + 1 = 0
4. 2x - 2x² + 6 = 0

Respuestas.

1. Reales, desiguales, racionales.
2 Reales, iguales, racionales.
3. Imaginarias.
4. Reales, desiguales, irracionales.

INTERPRETACIÓN GRAFICA DE LAS RAICES

Cuando una ecuación cuadrática se iguala a y, y la ecuación resultante se representa gráficamente, el gráfico revelará las características de las raíces pero no revelará si éstas son racionales o irracionales.

Consideremos las siguientes ecuaciones:

1. x² + 6x - 3 = y
2. x² + 6x + 9 = y
3. x² + 6x + 13 = y

Los gráficos que representan estas ecuaciones se muestran en la figura 16-4.
Recordamos que las raíces de una ecuación son los valores de x en aquellos puntos donde y es 0. Y es cero en cualquier lugar del gráfico a lo largo del eje X. Entonces, las raíces de la ecuación son las posiciones en que el gráfico cruza el eje X. En la parábola N° 1 (figura 16-4 ) vemos de inmediato que hay dos raíces para la ecuación y que éstas son distintas. Dichas raíces son - 6,5 y 0,5. Algebraicamente determinamos que éstas son números irracionales.

Para la ecuación N° 2 (figura 16-4 ) la parábola toca el eje X en x = 3. Esto significa que ambas raíces de la ecuación son iguales: vale decir, la raíz es doble. En el punto donde la parábola toca el eje X las dos raíces de la ecuación cuadrática se unen y los dos puntos de intersección de la parábola y el eje X son coincidentes. La cantidad - 3 como raíz doble coincide con la solución algebraica.
Cuando la ecuación N° 3 (figura 16-4) se resuelve algebraicamente vemos que las raíces son - 3 + 2i y -3 - 2i. Entonces éstas son imaginarias. La parábola N° 3 no cruza el eje X. Cuando se produce una situación así están implicadas las raíces imaginarias. Sólo las ecuaciones que tienen raíces reales tendrán gráficos que cruzan o tocan el eje X. Entonces podemos determinar con el gráfico de una ecuación cuándo las raíces de una ecuación son reales o imaginarias.

Figura 16-4. Interpretación gráfica de raíces.

PROBLEMAS VERBALES CON ECUACIONES CUADRATICAS

Muchos problemas prácticos dan origen a ecuaciones cuadráticas. En tales problemas suele suceder que una de las raíces puede no tener significado. Debemos seleccionar, pues, aquella raíz que satisface las condiciones del problema.
Consideremos el siguiente ejemplo: La longitud de un terreno excede su ancho en 7 metros y el área del terreno es de 120 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones?

SOLUCIÓN:

Pero, evidentemente, la longitud no puede ser un valor negativo. En consecuencia, rechazamos - 8 como valor para x y usamos sólo el valor positivo + 15. Así, pues, de la ecuación (1),

15 - y = 7
y = 8
Longitud 15 ,  Ancho = 8

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Resolver los siguientes problemas formando ecuaciones cuadráticas:
1. Un terreno rectangular tiene 8 m por 24 m. Si la longitud y el ancho aumentan en la misma cantidad el área aumenta 144 m². ¿Cuánto ha aumentado cada dimensión?
2. Dos automóviles se desplazan a velocidades uniformes sobre la misma ruta cubriendo una distancia de 180 kms. Uno va 5 km más despacio que el otro y emplea :media hora más en completar el recorrido. ¿A qué velocidad va cada automóvil?

Respuestas:

1. La longitud y el ancho aumentan 4 m.
2. Automóvil más rápido: 45 km/h.
Automóvil más lento: 40 km/h.