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Ecuaciones Cuadráticas


 

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PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Muchos problemas prácticos dan origen a ecuaciones cuadráticas. En tales problemas suele suceder que una de las raíces puede no tener significado. Debemos seleccionar, pues, aquella raíz que satisface las condiciones del problema.
Consideremos el siguiente ejemplo: La longitud de un terreno excede su ancho en 7 metros y el área del terreno es de 120 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones?

SOLUCIÓN:

Sea
  x
= longitud
  y = ancho

entonces, 

x - y = 7         (1)

y

xy = 120       (2)

Resolviendo (1) para y,   y = x - 7

Sustituyendo (x - 7) por y en (2)
x(x  - 7) = 120

Por tanto,

x2  - 7 x - 120 = 0

(x  - l5)(x + 8) = 0

x = 15,  x = -8

Entonces, longitud = +15 ó -8.

Pero, evidentemente, la longitud no puede ser un valor negativo. En consecuencia, rechazamos - 8 como valor para x y usamos sólo el valor positivo + 15. Así, pues, de la ecuación (1),

15 - y = 7
y = 8

Longitud 15 ,  Ancho = 8

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Muchos fenómenos del mundo que nos rodea, se pueden expresar matemáticamente por medio de ecuaciones cuadráticas. Para resolver problemas de este tipo, se debe seguir la metodología planteada en páginas anteriores anterior donde se resolvieron problemas con ecuaciones de primer grado.

La forma más pertinente de explicar este tipo de problemas, es por medio de ejemplos modelos, por favor analizarlos detenidamente.

Resolver los siguientes problemas formando ecuaciones cuadráticas:
1. Un terreno rectangular tiene 8 m por 24 m. Si la longitud y el ancho aumentan en la misma cantidad el área aumenta 144 m2. ¿Cuánto ha aumentado cada dimensión?
2. Dos automóviles se desplazan a velocidades uniformes sobre la misma ruta cubriendo una distancia de 180 kms. Uno va 5 km más despacio que el otro y emplea :media hora más en completar el recorrido. ¿A qué velocidad va cada automóvil?

Respuestas:

1. La longitud y el ancho aumentan 4 m.
2. Automóvil más rápido: 45 km/h.
Automóvil más lento: 40 km/h.

3. La cuarta parte del producto de dos números enteros pares consecutivos es 56 ¿cuáles son los números?

Solución: sea x = entero par positivo, luego x + 2 = entero par consecutivo.

Según las condiciones del problema:

como se trata de entero par positivo, la primera solución es x = 14 y x +2 = 16.

4. La raíz cuadrada de un número más 4, es lo mismo que el número menor 8, ¿cuál es el número?

Solución: x = número dado

5. Calcular las dimensiones de un rectángulo, cuya área es de 375 m2, además, el largo es el doble del ancho menos cinco metros.

Según las condiciones del problema, la gráfica nos ilistra dicha situación (2x - 5)(x) = 375 => 2x2 - 5x - 375 = 0 ;

por la cuadrática :

por las condiciones del problema el valor negativo se rechaza, ya que las longitudes negativa no hay. Entonces la solución es:

Largo: 2(15)- 5 = 25m
Ancho: x =15m.

6. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya ecuación de altura es:

y = -16t2 + vo t

Donde vo es le velocidad inicial de lanzamiento. El objeto es lanzado con una velocidad de 400 m/seg.

a. ¿En qué tiempo el objeto regresa al suelo?
b. ¿Cuánto tarda en alcanzar 2.500 m. de altura?

Solución:
a. Cuando el objeto regresa al suelo y = 0, luego

El tiempo que tarda en alcanzar 2.500 m es de 12,5 seg.

7. En una planta manufacturera el costo mensual de producir x unidades está dado por la ecuación: c (x)= 10x2 -100x - 2.000 ¿cuántos productos se pueden manufacturar para un costo de 10.000 pesos?

Solución:

c (x)= 10x2 - 100x - 2.000 para c = 10.000 , entonces

se toma la solución positiva, por obvias razones, x = 400 unidades producidas

 

 

 

 

 


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