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Las explicaciones de líneas y planos en el una página anterior de este curso se limitaron a su consideración como ejemplo de grupo. El presente capítulo concierne a las líneas, ángulos y áreas pertenecientes a diversas figuras geométricas planas.

LINEAS

En el sentido estrictamente matemático el término. "segmento de línea" debería usarse en cualquier oportunidad en que nos referimos a la línea recta que une algún punto A con algún otro punto B. Sin embargo, visto que las líneas rectas que limitan figuras geométricas tienen puntos extremos claramente marcados, podemos simplificar nuestra terminología. En los restantes capítulos de este curso el término general "línea" se usa para designar segmentos de líneas rectas, a no ser que se establezca otra cosa..

Tipos de líneas

En geometría, los tipos básicos de líneas son las líneas rectas y las líneas curvas. Una línea curva que une los puntos AB se designa "curva AB" (ver figura 17-1). Si la curva AB es un arco de círculo podrá designarse como "arco AB"..

Figura 17-1. Líneas curvas y rectas.

El término "línea quebrada” significa en matemáticas una serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo pero que no están en la misma dirección. En matemáticas, una serie de segmentos cortos, rectos, con interrupciones entre ellos, que podrían formar una sola línea recta si se los uniera extremo a extremo es una LINEA DE PUNTOS (Ver figura 17-2).

Figura 17-2. Líneas quebrada y punteada.

Orientación

Las líneas rectas pueden clasificarse en términos de su orientación respecto del horizonte del observador o en términos de su orientación una respecto de otra. Por ejemplo, las líneas en el mismo plano que corren una al lado de la otra sin tocarse en ningún punto, independientemente de su extensión, son PARALELAS (ver figura 17-3 (A)). Las líneas en el mismo plano que no son paralelas son OBLICUAS. Las líneas oblicuas se unen para formar ángulos (que se explican en la sección siguiente). Si dos líneas oblicuas se cruzan o se unen de modo tal como para formar cuatro ángulos iguales, como en la figura 17-3 (B), esas líneas son PERPENDICULARES. Esta definición incluye el caso en que se forma sólo un ángulo, como el ángulo AEC en la figura 17-3 (C). Extendiendo la línea AE para formar la línea AD, y extendiendo CE para formar la CB, se forman cuatro ángulos iguales (AEC, CED, DEB y BEA).

Figura 17-3 (A) Líneas paralelas; (B) y (C) líneas perpendiculares.

Las líneas paralelas al horizonte son HORIZONTALES . Las líneas perpendiculares al horizonte son VERTICALES.

ÁNGULOS

Las líneas que se unen o cruzan entre sí se dice que se INTERSECTAN. Cuando dos líneas rectas se intersectan se forman ángulos. Las dos líneas que forman un ángulo son sus LADOS, y el punto donde se unen los lados es el VÉRTICE. En la figura 17-4 los lados son AV y BV, y el vértice es V en cada caso. La figura 17-4 (A) es un ángulo AGUDO; (B) es un ángulo OBTUSO.

Figura 17-4. (A) Ángulo agudo; (B) ángulo obtuso.

Clasificación por el tamaño

Cuando los lados de un ángulo son perpendiculares entre sí el ángulo es RECTO. Este término está relacionado con la palabra latina "rectus", que puede traducirse como "erecto" o "hacia arriba". Así, si un lado de un ángulo recto es horizontal el otro lado es erecto o hacia arriba
El tamaño de un ángulo se refiere a la separación entre sus lados y la unidad de tamaño angular es el GRADO angular. Un ángulo recto tiene 90 grados, que se abrevia 90°. Un ángulo más pequeño que uno recto es un ángulo AGUDO; un ángulo mayor que uno recto es OBTUSO. Por tanto, los ángulos agudos son ángulos de menos de 90° y los obtusos son ángulos entre 90 y 180 grados.
Si el lado AV en la figura 17-5 (A) se mueve hacia abajo, el tamaño del ángulo obtuso AVB aumenta. Si el lado AV se mueve de modo que coincide con CV, como en la figura 17-5 (B), se forma un ángulo que es igual a la suma de dos ángulos rectos. El ángulo especial así formado (AVB) es un ángulo llano, llamado así porque es visualmente confundíble con una línea recta.

Figura 17-5. (A) Ángulo agudo grande; (B) ángulo llano.

Relaciones geométricas
Los ángulos se suelen clasificar por sus relaciones con otros ángulos o con otras partes de una figura geométrica.
Por ejemplo, los ángulos 1 y 3 en la figura 17-6 son ÁNGULOS VERTICALES, así llamados porque tienen un vértice común. Los ángulos 2 y 4 también son ángulos verticales. Las líneas que se cruzan, como en la figura 17-6, siempre forman dos pares de ángulos verticales, y los ángulos verticales así formados son iguales por pares: es decir, el ángulo 1 es igual al ángulo 3 y el 2 es igual al 4.

Figura 17-6. Ángulos verticales.

Los ángulos 1 y 2 en la figura 17-6 son ángulos ADYACENTES. Otros pares de ángulos adyacentes en la figura 17-6 son 2 y 3, 3 y 4 y 1 y 4. En el sentido usado aquí, adyacente significa lado a lado, no simplemente cerca o que se tocan. Por ejemplo, los ángulos 1 y 3 no son adyacentes, aun cuando se toquen.

Complementos y suplementos

Dos ángulos cuya suma es 90°' son COMPLEMENTARIOS, Por ejemplo, un ángulo de 60° es el complemento de un ángulo de 30°, e inversamente. "Inversamente" es un término matemático que significa "viceversa". Dos ángulos cuya suma es 180° son SUPLEMENTARIOS. Por ejemplo, un ángulo de 100° es el suplemento de un ángulo de 80°, y viceversa.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

1. Describa el ángulo que es el complemento de un ángulo agudo.
2. Describa el ángulo que es el suplemento de un ángulo recto.
3. Si dos ángulos iguales son complementarios, ¿cuántos grados mide cada uno?
4. Determinar el tamaño de un ángulo que es el doblo que su complemento.

(Ayuda: Si x es el ángulo, entonces 90° - x es su complemento.)

Respuestas:

1. Agudo.
2. Recto.
3. 45°
4. 60°

FIGURAS GEOMÉTRICAS

La explicación de figuras geométricas en este capítulo está limitada a polígonos y círculos. Un POLÍGONO es una figura plana cerrada, cuyos lados son líneas rectas. Entre los polígonos explicados están los triángulos, paralelogramos y trapezoides.

Triángulos

Un triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. En general, todo polígono posee tantos ángulos como lados, e inversamente.

PARTES DE UN TRIÁNGULO

FIGURA 17-7. Triángulo en posición normal.

Cada uno de los tres ángulos de un triángulo es un VÉRTICE; por tanto, todo triángulo tiene tres vértices. Las tres líneas rectas que unen los vértices son los LADOS, y el lado sobre el cual apoya el triángulo es su BASE, a menudo designada con la letra b.
Esta definición supone que la posición normal de un triángulo representado para una explicación general es como la dibujada en la 17-7, en la cual el triángulo apoya sobre uno de sus lados. El vértice opuesto a la base es el punto más alto de un triángulo en su posición normal y por consiguiente se lo llama ÁPICE .

Figura 17-8. (A) Altura interior; (B) línea exterior de altura.

Una línea recta perpendicular a la base de un triángulo, que une la base con el ápice, es la ALTITUD, frecuentemente designada con la letra a. La altitud se indica a veces como la altura, y entonces se la designa con la letra h. La figura 17-8 (B) muestra que el ápice puede no estar situado directamente sobre la base. En este caso, debe extenderse la base como se indica por la línea de puntos, para trazar la perpendicular desde el ápice a la base. Los matemáticos suelen emplear el término "levantar una perpendicular". El significado es el mismo que "dibujar una línea recta perpendicular".
En general, el término geométrico "distancia" desde un punto a la línea significa la longitud de la perpendicular desde el punto a la línea. Podrían dibujarse muchas rectas desde una línea a un punto que no esté sobre la línea, pero la más corta de éstas es la que usamos para medir la distancia desde el punto a la línea. La más corta es la perpendicular a la línea.

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