Las explicaciones de líneas
y planos en el Capítulo 1 de
este curso se limitaron a su consideración como ejemplo
de grupo. El presente capítulo concierne a las líneas,
ángulos y áreas pertenecientes a diversas figuras
geométricas planas.
LINEAS
En el sentido estrictamente matemático el término.
"segmento de línea" debería usarse
en cualquier oportunidad en que nos referimos a la línea
recta que une algún punto A con algún otro punto
B. Sin embargo, visto que las líneas rectas que limitan
figuras geométricas tienen puntos extremos claramente
marcados, podemos simplificar nuestra terminología.
En los restantes capítulos de este curso el término
general "línea" se usa para designar segmentos
de líneas rectas, a no ser que se establezca otra cosa..
Tipos de líneas
En geometría, los tipos básicos de líneas
son las líneas rectas y las líneas curvas. Una
línea curva que une los puntos AB se designa "curva
AB" (ver figura 17-1). Si la curva AB es un arco de círculo
podrá designarse como "arco AB"..
Figura 17-1. Líneas curvas y rectas.
El término "línea quebrada” significa
en matemáticas una serie de dos o más segmentos
rectos conectados extremo a extremo pero que no están
en la misma dirección. En matemáticas, una serie
de segmentos cortos, rectos, con interrupciones entre ellos,
que podrían formar una sola línea recta si se
los uniera extremo a extremo es una LINEA DE PUNTOS (Ver figura
17-2).
Figura 17-2. Líneas quebrada y punteada.
Orientación
Las líneas rectas pueden clasificarse en términos
de su orientación respecto del horizonte del observador
o en términos de su orientación una respecto
de otra. Por ejemplo, las líneas en el mismo plano
que corren una al lado de la otra sin tocarse en ningún
punto, independientemente de su extensión, son PARALELAS
(ver figura 17-3 (A)). Las líneas en el mismo plano
que no son paralelas son OBLICUAS. Las líneas oblicuas
se unen para formar ángulos (que se explican en la
sección siguiente). Si dos líneas oblicuas se
cruzan o se unen de modo tal como para formar cuatro ángulos
iguales, como en la figura 17-3 (B), esas líneas son
PERPENDICULARES. Esta definición incluye el caso en
que se forma sólo un ángulo, como el ángulo
AEC en la figura 17-3 (C). Extendiendo la línea AE
para formar la línea AD, y extendiendo CE para formar
la CB, se forman cuatro ángulos iguales (AEC, CED,
DEB y BEA).
Figura 17-3 (A) Líneas paralelas; (B)
y (C) líneas perpendiculares.
Las líneas paralelas al horizonte son HORIZONTALES
. Las líneas perpendiculares al horizonte son VERTICALES.
ÁNGULOS
Las líneas que se unen o cruzan entre sí se
dice que se INTERSECTAN. Cuando dos líneas rectas se
intersectan se forman ángulos. Las dos líneas
que forman un ángulo son sus LADOS, y el punto donde
se unen los lados es el VÉRTICE. En la figura 17-4
los lados son AV y BV, y el vértice es V en cada caso.
La figura 17-4 (A) es un ángulo AGUDO; (B) es un ángulo
OBTUSO.
Figura 17-4. (A) Ángulo agudo; (B)
ángulo obtuso.
Clasificación por el tamaño
Cuando los lados de un ángulo son perpendiculares
entre sí el ángulo es RECTO. Este término
está relacionado con la palabra latina "rectus",
que puede traducirse como "erecto" o "hacia
arriba". Así, si un lado de un ángulo recto
es horizontal el otro lado es erecto o hacia arriba
El tamaño de un ángulo se refiere a la separación
entre sus lados y la unidad de tamaño angular es el
GRADO angular. Un ángulo recto tiene 90 grados, que
se abrevia 90°. Un ángulo más pequeño
que uno recto es un ángulo AGUDO; un ángulo
mayor que uno recto es OBTUSO. Por tanto, los ángulos
agudos son ángulos de menos de 90° y los obtusos
son ángulos entre 90 y 180 grados.
Si el lado AV en la figura 17-5 (A) se mueve hacia abajo,
el tamaño del ángulo obtuso AVB aumenta. Si
el lado AV se mueve de modo que coincide con CV, como en la
figura 17-5 (B), se forma un ángulo que es igual a
la suma de dos ángulos rectos. El ángulo especial
así formado (AVB) es un ángulo llano, llamado
así porque es visualmente confundíble con una
línea recta.
Figura 17-5. (A) Ángulo agudo grande;
(B) ángulo llano.
Relaciones geométricas
Los ángulos se suelen clasificar por sus
relaciones con otros ángulos o con otras partes de
una figura geométrica.
Por ejemplo, los ángulos 1 y 3 en la figura 17-6 son
ÁNGULOS VERTICALES, así llamados porque tienen
un vértice común. Los ángulos 2 y 4 también
son ángulos verticales. Las líneas que se cruzan,
como en la figura 17-6, siempre forman dos pares de ángulos
verticales, y los ángulos verticales así formados
son iguales por pares: es decir, el ángulo 1 es igual
al ángulo 3 y el 2 es igual al 4.
Figura 17-6. Ángulos verticales.
Los ángulos 1 y 2 en la figura 17-6 son
ángulos ADYACENTES. Otros pares de ángulos adyacentes
en la figura 17-6 son 2 y 3, 3 y 4 y 1 y 4. En el sentido
usado aquí, adyacente significa lado a lado, no simplemente
cerca o que se tocan. Por ejemplo, los ángulos 1 y
3 no son adyacentes, aun cuando se toquen.
Complementos y suplementos
Dos ángulos cuya suma es 90°' son COMPLEMENTARIOS,
Por ejemplo, un ángulo de 60° es el complemento
de un ángulo de 30°, e inversamente. "Inversamente"
es un término matemático que significa "viceversa".
Dos ángulos cuya suma es 180° son SUPLEMENTARIOS.
Por ejemplo, un ángulo de 100° es el suplemento
de un ángulo de 80°, y viceversa.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Describa el ángulo que es el complemento de un
ángulo agudo.
2. Describa el ángulo que es el suplemento de un ángulo
recto.
3. Si dos ángulos iguales son complementarios, ¿cuántos
grados mide cada uno?
4. Determinar el tamaño de un ángulo que es
el doblo que su complemento.
(Ayuda: Si x es el ángulo, entonces
90° - x es su complemento.)
Respuestas:
1. Agudo.
2. Recto.
3. 45°
4. 60°
FIGURAS GEOMÉTRICAS
La explicación de figuras geométricas en este
capítulo está limitada a polígonos y
círculos. Un POLÍGONO es una figura plana
cerrada, cuyos lados son líneas rectas. Entre
los polígonos explicados están los triángulos,
paralelogramos y trapezoides.
Triángulos
Un triángulo es un polígono que tiene tres
lados y tres ángulos. En general, todo polígono
posee tantos ángulos como lados, e inversamente.
PARTES DE UN TRIÁNGULO
FIGURA 17-7. Triángulo en posición
normal.
Cada uno de los tres ángulos de un triángulo
es un VÉRTICE; por tanto, todo triángulo tiene
tres vértices. Las tres líneas rectas que unen
los vértices son los LADOS, y el lado sobre el cual
apoya el triángulo es su BASE, a menudo designada con
la letra b.
Esta definición supone que la posición normal
de un triángulo representado para una explicación
general es como la dibujada en la 17-7, en la cual el triángulo
apoya sobre uno de sus lados. El vértice opuesto a
la base es el punto más alto de un triángulo
en su posición normal y por consiguiente se lo llama
ÁPICE .
Figura 17-8. (A) Altura interior; (B) línea
exterior de altura.
Una línea recta perpendicular a la base de un triángulo,
que une la base con el ápice, es la ALTITUD, frecuentemente
designada con la letra a. La altitud se indica a veces como
la altura, y entonces se la designa con la letra h. La figura
17-8 (B) muestra que el ápice puede no estar situado
directamente sobre la base. En este caso, debe extenderse
la base como se indica por la línea de puntos, para
trazar la perpendicular desde el ápice a la base. Los
matemáticos suelen emplear el término "levantar
una perpendicular". El significado es el mismo que "dibujar
una línea recta perpendicular".
En general, el término geométrico "distancia"
desde un punto a la línea significa la longitud de
la perpendicular desde el punto a la línea. Podrían
dibujarse muchas rectas desde una línea a un punto
que no esté sobre la línea, pero la más
corta de éstas es la que usamos para medir la distancia
desde el punto a la línea. La más corta es la
perpendicular a la línea.
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