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PERÍMETRO Y ÁREA

El PERÍMETRO de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. En términos menos precisos esto se establece a veces como la "distancia alrededor del triángulo". Si los tres lados se designan a, b y c, el perímetro P puede determinarse por la siguiente fórmula:

P = a + b + c

El área de un triángulo es el espacio limitado (encerrado) por sus lados. La fórmula para el área puede determinarse usando un triángulo que es parte de un rectángulo. En la figura 17-9 el triángulo ABC es la mitad del rectángulo. Puesto que el área del rectángulo es a por b (es decir, ab), el área del triángulo está dada por la siguiente fórmula::

Escrito en términos de b, que representa la altura, la fórmula es:

Esta fórmula es válida para cualquier triángulo, incluyendo aquellos que no tienen dos lados perpendiculares.

Figura 17-9. Área de un triángulo.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Temas relacionados :

Determinar el perímetro y el área de cada uno de los triángulos de la figura 17-10.

Figura 17-10. Perímetros y áreas de triángulos.

Respuestas:

1. P = 12 unidades.
A = 6 unidades cuadradas.

2. P = 16 unidades.
A = 12 unidades cuadradas.

3. P = 12 unidades.
A = 6 unidades cuadradas.

4. P = 24 unidades.
A = 24 unidades cuadradas.

PRECAUCIÓN: El concepto de área no tiene sentido si las unidades y las dimensiones multiplicadas no son las mismas. Por ejemplo, si la base de un triángulo es 2 m de largo y la altura 60 cm de largo, el área se establecería equivocadamente como 1/2 (60) (2). En cambio, deben considerarse las unidades para decidir si la respuesta es en metros cuadrados o en centímetros cuadrados. Cuando se consideran las unidades la respuesta correcta es

TRIÁNGULOS ESPECIALES

Clasificación de los triángulos: La clasificación de los triángulos depende de sus características especiales, si las hay. Por ejemplo, un triángulo podrá tener los tres lados iguales; puede poseer dos lados iguales y un tercero que es más largo o más corto que los otros dos; podrá contener un ángulo recto o un ángulo obtuso.

Según los lados. Los triángulos se clasifican en: equiláteros, cuando tie nen sus tres lados iguales; isósceles, cuando tienen dos lados iguales y uno desigual llamado base y escalenos, cuando tienen sus tres lados desiguales.

Equilátero, significa lados iguajes. Isósceles, piernas iguales. Escaleno, de escalenius piernas desiguales.

Según los ángulos.- De acuerdo a sus ángulos se clasifican en : rectángulos, cuando tienen un ángulo recto . Los lados que forman el ángulo recto son los CATETOS del triángulo y el tercer lado (opuesto al ángulo recto) es la HIPOTENUSA., acutángulos, si tienen sus tres ángulos agudos y obtusángulos, cuando tienen un ángulo obtuso.

> Triángulo rectángulo.
El área de un triángulo rectángulo siempre es fácil de determinar. Si la base del triángulo es uno de sus catetos, como en la figura 17-10(4), el otro cateto es la altura. Si la hipotenusa es la base, como en la figura 17-10 (3), el triángulo puede girarse hasta que uno de sus catetos sea la base, como en la figura 17-10 (1). Si se sabe que el triángulo no es recto, entonces debe darse la altura, como en la figura 17-10 (2), para poder calcular el área.
Todo triángulo cuyos lados están en la relación 3:4:5 es un triángulo rectángulo. Entonces, los triángulos con lados corno sigue son triángulos rectángulos:

Lado 1 Lado 2 Lado 3
3 4 5
6 8 10
12 16 20
3x 4x 5x

(x es cualquier número positivo)

Además de los triángulos 3-4-5, aparecen a menudo otros dos tipos de triángulos rectángulos. Todo triángulo que tenga un ángulo de 30° y otro de 60° es un triángulo rectángulo; vale decir, su tercer ángulo es 90°. Todo triángulo que posea dos ángulos de 45° es un triángulo rectángulo.

> Triángulo isósceles. Un triángulo que tenga dos de sus ángulos iguales es un triángulo ISÓSCELES. Puesto que la longitud del lado opuesto a un ángulo está determinada por el tamaño del ángulo, el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales. En la figura 17-11 (A) el triángulo ABC es isósceles. Los lados AC y BC son de igual longitud, y los ángulos A y B son iguales.

Figura 17-11 (A) Triángulo isósceles; (B) triángulo equilátero.

La figura 17-11 (B) ilustra un triángulo EQUILÁTERO , que es un caso especial del triángulo isósceles. Un triángulo equilátero posee los tres lados de igual longitud. Visto que las longitudes de los lados están relacionadas directamente con el tamaño de los ángulos, un triángulo equilátero es también equiangular. Vale decir, los tres ángulos son iguales.

> Triángulos oblicuos. Todo triángulo que no contiene un ángulo recto es un triángulo OBLICUO . La figura 17-12 ilustra dos configuraciones posibles de triángulos oblicuos. Un triángulo oblicuo que contiene un ángulo obtuso se suele llamar triángulo OBTUSÁNGULO.

Figura 17-12. Triángulos oblicuángulos. (A) Agudo; (B) Obtuso.

Suma de los ángulos

La suma de los ángulos en todo triángulo es 180°. Por ejemplo, si uno de los ángulos es 40° y el otro 20°, el tercer ángulo será 120°, Esta relación es la que justifica la afirmación hecha en la sección anterior concerniente a triángulos de 45° y triángulos de 30° , 60° , 90°. Si dos de los ángulos son de 45° cada uno, entonces el tercer ángulo es 180° - (45° + 45°) y la figura es un triángulo rectángulo. Si un ángulo es de 60° y el otro es de 30° el tercero será de 90° y la figura es un triángulo rectángulo.

Cuadriláteros

Un CUADRILÁTERO es un polígono con cuatro lados. Las partes de un cuadrilátero son sus lados, sus cuatro ángulos y sus dos DIAGONALES . Una diagonal es una línea recta que une dos vértices alternados de un polígono. La figura 17-13 ilustra las partes de un cuadrilátero en el cual AC y DB son las diagonales.

Figura 17-13. Partes de un cuadrilátero.

PERÍMETRO Y ÁREA

El perímetro de un cuadrilátero es la suma de las longitudes de sus lados. Por ejemplo, el perímetro del cuadrilátero en la figura 17-13 es 30 unidades.
El área de un cuadrilátero puede determinarse dividiéndolo en triángulos y sumando las áreas de éstos. Sin embargo, las alturas de los triángulos son generalmente difíciles de calcular, a no ser que el cuadrilátero tenga como mínimo un par de lados paralelos.

PARALELOGRAMOS

Un PARALELOGRAMO es un cuadrilátero en el cual los lados opuestos son paralelos. Por ejemplo, en el paralelogramo de la figura 17-14, el lado AB es paralelo al lado CD. Además, el lado BC es paralelo al lado AD.

Figura 17-14. Paralelogramo

Puesto que las líneas AB y CD son paralelas, las líneas DE y CF (ambas perpendiculares a la línea AF en la figura 17-14) son iguales. Los ángulos DAE y CBF en la figura 17-14 son iguales porque una línea recta corta las dos líneas paralelas, tal que AD y BC forman ángulos iguales con las líneas paralelas. Entonces, AED y BFC son iguales y la línea AD es igual a la línea BC. Por tanto, hemos demostrado que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Si los cuatro lados son de la misma longitud el paralelogramo es un ROMBO.
Además de la igualdad de los lados opuestos los ángulos opuestos de un paralelogramo también son iguales. Por ejemplo, el ángulo DAB es igual al ángulo BCD en la figura 17-14, y el ánguloi ADC es igual al ángulo ABC.

Rectángulos y cuadrados, Cuando todos los ángulos de un paralelogramo son ángulos rectos, es un RECTÁNGULO .Un rectángulo con sus cuatro lados de la misma longitud es un CUADRADO . Entonces, un cuadrado es un rombo que tiene ángulos de 90°. Todo cuadrado es un rectángulo y todo rectángulo es un paralelogramo. Observe que la inversa de esta afirmación no es cierta. El área de un rectángulo se determina multiplicando su longitud por su ancho. Por tanto, si cada lado de un cuadrado tiene longitud s, el área del cuadrado es s2.
Escritas como fórmulas, estas áreas son como sigue:

ÁREA - . El área de un paralelogramo puede determinarse dividiéndolo en rectángulos y triángulos. Por ejemplo, en la figura 17-14 el área del paralelogramo es la suma de las áreas del triángulo AED y de la figura EBCD.
Visto que el triángulo AED es igual al triángulo BFC, la suma de AED y EBCD es igual a la suma de BFC y EBCD. Entonces, el área del paralelogramo ABCD es la misma que el área del rectángulo EFCD. Puesto que el área de EFCD es DC multiplicado por DE, y DC tiene la misma longitud que AB, deducimos que el área de un paralelogramo es el producto de su base por su altura. Escrito como una fórmula, esto es

A = ba
o
A = bh, donde h es la altura

TRAPEZOIDES

Un TRAPEZOIDE es un cuadrilátero en el cual dos lados son paralelos y los otros dos no lo son. Orientando un trapezoide de modo que sus lados paralelos sean horizontales, podemos llamar bases a los lados paralelos. Note que las bases de un trapezoide no son de igual longitud. (Ver figura 17-15.)

Figura 17-15. Trapezoides típicos.

El área de un trapezoide puede determinarse separándolo en dos triángulos y un rectángulo, como en la figura 17-16. El área total A de un trapezoide es la suma de Al más A2 más A.3, y se calcula como sigue:

Figura 17-16. Área de un trapezoide.

Así pues, el área de un trapezoide es igual a la mitad de la altura por la suma de las bases.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar el área de cada una de las siguientes figuras:

1. Rombo; base 4 cm, altura 3 cm.
2. Rectángulo; base 6 m, altura 4 m.
3. Paralelogramo; base 10 m, altura 12 m.
4. Trapezoide; bases 6 m y 4 m, altura 2 m.

Respuestas:

1. 12 cm2.
2. 24 m2
3. 120 m2.
4. 6 m2.

 

 


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