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Escalas numéricas en una recta. El valor absoluto


 

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1. Escalas numéricas en una recta

Tema relacionado : Matemáticas: Números con signo.

Conviene recordar que una escala numérica sobre una recta sirve para poner en correspondencia los puntos de ésta con los números reales, como describiremos someramente a continuación.

La escala se determina eligiendo dos puntos distintos A0 y A1 de una recta cualquiera para representar a los números 0 y 1. A un número racional positivo r =m/ n se le asigna el punto Ar de dicha recta, tal que el segmento A0Ar tenga el mismo sentido que A0A1 y verifique

En cuanto a los números racionales negativos, como representante de -r se elige el punto simétrico de Ar con respecto al A0.

En el siguiente diagrama se han representado los puntos correspondientes a los números 0, 1, 5/3, -1 Y -5/3.

Finalmente, los números irracionales se ubican de tal forma que el sentido de recorrido de la recta desde Ao hacia A1 coincida con el orden creciente de los números reales.

Una vez fijada la escala, cada punto de la recta se identifica con el número que le corresponde, y por brevedad decimos "el punto x" para referirnos al punto de la recta que representa al número x. En otras palabras, no distinguimos en el lenguaje entre un punto de la recta. y el número que representa.

El punto 0 se llama origen y el número x abscisa del punto x.

El sentido creciente de la abscisa, generalmente indicado con una flecha, se llama sentido positivo.

La semirrecta formada por los puntos que satisfacen x > 0 se llama positiva. Su opuesta es la semirrecta negativa. Finalmente. el segmento con extremos 0 y 1, formado por los puntos que verifican 0 ≤ x ≤ 1, se llama segmento (o intervalo) unitario, porque sirve como unidad de longitud para medir distancias sobre la recta. Esta representación o imagen geométrica de los números es tan corriente en Matemáticas que suele decirse la recta real para referirse al conjunto formado por los números reales.

2. El valor absoluto

A pesar de su sencillez la noción de valor absoluto presenta algunas dificultades de interpretación y de manejo, por lo que es necesario volver sobre ella reiteradamente aclarando su significado y destacando sus propiedades. Es probable que las dificultades provengan de la necesidad de razonar con una definición "bifurcada". En efecto, la definición del valor absoluto tiene el inconveniente de distinguir entre dos casos:

El valor absoluto de x se interpreta geométricamente como la distancia del punto x al origen de coordenadas, como se muestra en el siguiente diagrama en el que hemos distinguido el caso x < 0 del caso x > 0.

Notemos que en cualquier caso el número |x| representa longitud (siempre no negativa) del segmento cuyos extremos son el origen y el punto x.

Es necesario ilustrar la definición con varios ejemplos como los que siguen:

Un error frecuente consiste en creer que el valor absoluto de un número es "el mismo número desprovisto de todo signo". Por esto conviene. que el profesor recuerde a sus alumnos que cualquier número verifica una y sólo una de las afirmaciones

x > 0, x = 0, x < 0;

que los números mayores que cero se llaman positivos y los menores que cero negativos, de manera que todo número distinto de cero tiene un signo:

positivo si x > 0; negativo si x < 0.

La 'ley de monotonía'

tiene la siguiente consecuencia: 

Si x <0, entonces x+(-x) < 0+ (-x), es decir, 0 <-X.

El razonamiento prueba que -x es positivo cuando x es negativo y por consiguiente, |x| 0 cualquiera que sea x. Por consiguiente,

|x| es positivo, salvo que x sea cero.

La distancia entre dos puntos x1 y x2 se define como el valor absoluto de la diferencia entre ambos, es decir, el número |x1 - x2 |, que representa la longitud del segmento que tiene por extremos a dichos puntos.

En primer lugar habrá que observar que la distancia entre dos puntos es independiente del orden en que se tomen, es decir, |x1 - x2 |= |x2 - x1 |.

Conviene que el alumno analice varios ejemplos, especialmente en los siguientes casos que sirven para comprender el sentido geométrico de la definición adoptada:

En el último caso, por ejemplo, la distancia entre x1 y x2 (o longitud del segmento correspondiente) es

El análisis de estos casos ayudará a comprender la utilidad del valor absoluto y sus propiedades básicas:

Como aplicación de las anteriores el profesor puede sugerir a los alumnos que demuestren otras propiedades importantes como las siguientes:

En relación con las dificultades que presenta la noción de distancia entre dos puntos, se induye el siguiente ejercicio perteneciente a prueba censal de Matemática de 5° / 6° año,

La distancia entre los puntos x1 y x2 es :

El ejercicio evalúa si el alumno ha reconocido la expresión de la distancia entre los puntos x1 y x2. La noción de distancia incluye el concepto de valor absoluto. De acuerdo con este concepto|x1 - x2 |= |x2 - x1 |por la propiedad mencionada anteriormente. El valor absoluto tiene un símbolo específico y de uso no demasiado habitual en la enseñanza media, lo que agrega una dificultad al reconocimiento de la distancia. La respuesta correcta es C) y fue elegida por el 32 % de los alumnos evaluados. El 18% eligió la respuesta A) x1 - x2, que es la más cercana a la correcta. De este modo el 50% de los alumnos maneja el concepto de distancia en forma casi correcta. El 12 % de los alumnos no respondió el ejercicio y el 38% restante se reparte entre las opciones B) y D) que plantea la suma x1 + x2, respuestas ambas muy alejadas de la correcta, lo que parece indicar que estos alumnos no pueden reconocer la distancia entre dos puntos.

3. Coordenadas cartesianas ortogonales

Un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales pone en correspondencia biunívoca los puntos del plano con los pares ordenados (x, y) de números reales. El sistema se determina eligiendo dos rectas perpendiculares OX y OY llamadas ejes de coordenadas y sendas escalas que ponen en correspondencia los puntos de cada una de ellas con los números reales. Por comodidad los ceros de ambas escalas se hacen coincidir con el punto de intersección de ambos ejes, al que se llama origen de coordenadas, como se muestra en la siguiente figura:

La posición de cada punto P se determina mediante dos números x e y, llamados coordenadas del punto, que corresponden a los pies de las perpendiculares trazadas desde P a cada uno, de los ejes. Los números x e y se llaman abscisa y ordenada de P, respectivamente. Una vez introducido el sistema, cada punto del plano se identifica con el correspondiente par ordenado de números. Así, por ejemplo, en la figura anterior se han señalado los puntos 0=(0,0) y P =(x, y), así como los puntos (1,0) y (0,1) que representan al número 1 sobre cada uno de los ejes.

Después de representar unos cuantos puntos, los primeros ejercicios sencillos para los alumnos que acaban de aprender estas nociones consisten en representar gráficamente los puntos del plano que verifican algunas relaciones tan simples como

x =0, y =0, x =1, y =1, x =-1, y =-1, y en general, relaciones de la forma

x=a, y=b.

Conviene incluir la representación gráfica de algunas relaciones de los siguientes tipos:

x ≥ 0, x>0, y ≥ 0, x > -1, x = y, -x = y, x ≤ y, -x ≤ y, |x|= |y|, etc.,

o la resolución de algunas cuestiones muy simples como la siguiente:

Pregunta. ¿Qué relación hay entre las posiciones de los siguientes puntos?

1) (x,y) y (x,-y);

2) (x,y) y (-x,y);

3) (x,y) y (-x,-y);

4) (x, y) e (y,x).

4. Distancia entre puntos del plano

La noción más importante para el estudio de la Geometría de Coordenadas es la de distancia entre puntos, que se define del modo siguiente.

La distancia entre dos puntos P1 = (x1 ,y1) y P2 = (x2, y2)

es, por definición, el número

Otras nociones de distancia son posibles y a veces útiles para ciertos propósitos, como la llamada distancia del taxista:

que mide la distancia que debe cubrirse para unir dos puntos de una ciudad formada por manzanas cuadradas.

Salvo que se exprese lo contrario, nos referimos siempre a la primera, que tiene una interpretación geométrica más natural, basada en el teorema de Pitágoras, y suele llamarse distancia euclidiana.

El teorema de Pitágoras muestra que d (P1, P2 ) representa la longitud del segmento P1 P2.

De la definición de distancia se ve claramente que d (P1, P2 ) = d (P2, P1 ) y también que para que la distancia entre dos puntos sea nula es necesario y suficiente que los puntos coincidan. Sse cumple para cualquier tema de puntos P1, P2 y P3 el siguiente teorema llamado 'desigualdad triangular'.

El teorema tiene una interpretación geométrica sencilla, pues expresa el hecho de que en cualquier triángulo la longitud de cada lado no puede exceder a la suma de las longitudes de los otros dos. También podremos demostrar que la igualdad ocurre sólo si P2 se encuentra en el segmento que determinan los otros dos puntos.

Digamos al pasar que para la 'distancia del taxista' la desigualdad triangular:

se prueba muy fácilmente. También aquí es un ejercicio interesante analizar los casos de igualdad.

5. Ecuación de la circunferencia

Siendo P0 = (x0, Y0) un punto del plano y r un número positivo, la circunferencia con centro en P0 y radio r es el conjunto de los puntos P = (x, y) tales que d(P, P0) = r.

Es decir,

o en forma equivalente,

Para decidir si un punto (x, y) pertenece a la circunferencia sólo hay que averiguar si sus coordenadas satisfacen la última relación, llamada ecuación de la circunferencia. En particular, la ecuación de la circunferencia unitaria (con centro en el origen y radio igual a 1) es

x2 + y2 =1.

El punto (-1/2 , √3/2) pertenece a esta circunferencia, en virtud de la igualdad

Otros puntos de la misma circunferencia son

(0,1), (1,0), (-1,0), (0,-1), (√2/2, √2/2), (3/5,4/5).

Nota. El último punto tiene un interés especial por su relación con la terna pitagórica 3, 4, 5 (32+42 = 52). Es que las ternas pitagóricas, formadas por enteros positivos a, b y c que verifican

a2 + b2 = c2 ,

están relacionadas de manera evidente con los puntos de la circunferencia unitaria con ambas coordenadas racionales.

Es conveniente que los alumnos resuelvan algunos problemas del tipo del siguiente, que se resuelven con la técnica de completación de cuadrados, una de las más eficaces del Álgebra Elemental.

Problema. ¿Qué condición deben cumplir los números a, b y c para que la relación

x2 + y2 + ax + by + c = 0

sea la ecuación de una circunferencia?; y en tal caso, ¿cómo se calculan el centro y el radio?

Otra actividad interesante y útil a esta altura sería la de representar gráficamente los puntos del plano que verifican algunas relaciones del siguiente tipo:

6. La relación lineal (ecuación de la línea recta)

Temas relacionados : Funciones. Gráficas. Ecuación de una línea.

 

En geometría elemental se demuestra muy fácilmente que la mediatriz de un segmento P1, P2, que se define como el conjunto de los puntos P tales que d(P, P1 ) = d(P, P2 ),

coincide con la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Puesto que cualquier recta es mediatriz de algún segmento -en realidad, de muchos-, podemos usar esta propiedad para obtener la ecuación de la línea recta. En efecto, si P1 = (x1 ,y1) y P2 = (x2, y2) son dos puntos cualesquiera pero fijos, la condición para que un punto P = (x, y) equidiste de aquellos es

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados y pasando todos los términos a un mismo miembro, obtenemos fácilmente

Relación que deben satisfacer las coordenadas x e y de un punto para que el mismo pertenezca a la recta mediatriz del segmento. Se entiende que en esta deducción las coordenadas de P1 y P2 (es decir, los números x1, y1, x2 e y2) se mantienen constantes.

Si por mayor brevedad ponemos

la ecuación de la línea recta adopta la forma más sencilla

que es lo que llamamos una relación (o ecuación) lineal entre las variables x e y. Cualquier relación entre dichas variables que pueda en definitiva reducirse a esa forma será entonces la ecuación de una línea recta. Para ello sólo se requiere que alguno de los coeficientes a y b sea distinto de cero.

A veces es preferible escribir la relación lineal en la forma

ax+by = c,

sin que ello implique ninguna novedad conceptual (basta escribir -c en lugar de c). Por ejemplo, la ecuación x - 2y + 3 = 0 equivale a x - 2y = -3.

Eligiendo b =0, a =1 se obtienen las ecuaciones de la fonna x =c que corresponden a las rectas paralelas al eje OY.

En virtud de lo anterior se comprende que llamemos recta al conjunto de los puntos cuyas coordenadas satisfacen alguna relación lineal ax +by +c = 0, con la condición de que al menos uno de los coeficientes a y b sea distinto de cero.

Cada recta del plano se identifica por una ecuación lineal. Sin embargo, la ecuación de una recta no es única. Por ejemplo, las ecuaciones lineales

x -2y =1 y 2x -4y =2

son equivalentes y representan a la misma recta.

7. Intersecciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

El problema de hallar los puntos comunes a dos rectas dadas por sus ecuaciones

equivale a buscar todas la soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones. Merece la pena analizar con detenimiento los casos que pueden presentarse:

1) Si el determinante de los coeficientes

es distinto de cero, el sistema admite la única solución

y las dós rectas tienen un único punto en común.

2) Si el determinante es nulo, podemos suponer que a1≠ 0 (de no ser así debería ser b1≠ 0, y el razonamiento sería análogo). Entonces

de manera que llamando λ al cociente, a2 / a1 tendremos :

Por tanto, λ ≠ 0, y para que el sistema admita alguna solución (x, y) deberá ser

lo que significa que en tal caso toda solución de la primera ecuación es también una solución de la segunda y recíprocamente. En otras palabras, ambas ecuaciones tienen exactamente las mismas (infinitas) soluciones y representan a una misma recta. De paso hemos probado que la condición necesaria y suficiente para que las dos ecuaciones representen a una misma recta es que exista un número λ , distinto de cero, tal que

Si no se cumple c2 = λc1 el sistema no admite ninguna solución; las dos rectas no tienen ningún punto común y entonces decimos que son paralelas. Del análisis realizado se deduce que dos rectas que tengan más de un punto común son necesariamente idénticas.

Vemos así que la geometría de coordenadas permite interpretar geométricamente los casos que pueden presentarse al resolver un sistema de ecuaciones. También hace posible estudiar las propiedades de las figuras geométricas usando solamente los recursos del álgebra, que es lo que acabamos de hacer al estudiar las posiciones relativas de dos rectas. En el siguiente párrafo completaremos la tarea probando, que por dos puntos distintos pasa siempre una recta (y sólo una, en virtud de lo visto). Pero antes propondremos algunos problemas sencillos.

Problemas

1) ¿Para qué valor del parámetro k resultan paralelas las rectas

(1 +2k)x+5y = 7; (2+k)x+4y = 8 ?

2) ¿Para qué valores del parámetro a son paralelas las rectas

4x + ay = 1; x -y = 2 ?

3) Analizar la posición relativa de los siguientes pares de rectas según el valor del parámetro k:

a) (1 +k)x -y = 3-kx + y = 1.

b) 3x-ky =2; kx-3y =4

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