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Matemáticas, Geometría.


 

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8. Recta por dos puntos

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El problema consiste en hallar los coeficientes a, b y c para que la recta de ecuación

(1) ax+by+c = 0

pase por los puntos distintos (x0, y0) y (x1, y1) Para que esto ocurra, deben cumplirse las igualdades

(2) ax0 +by0 +c =0  y

(3) ax1+by1 + c = 0

Si de la primera y de la última ecuación restamos miembro a miembro la segunda, obtenemos

(4) a(x-x0) +b(y - y0) = 0

(5) a(x1 - x0)+b(y1 - y0) =0

[La (4) no es más que otra forma de escribir la ecuación de la recta (1), teniendo en cuenta que debe pasar por el punto (x0, y0)]

Si x1=x0, la recta de ecuación x=x0 pasa por ambos puntos y el problema estaría fácilmente resuelto. Supongamos entonces que xx0.

Como a y b no pueden ser ambos iguales a cero, se deduce de (5) que b≠0.

Por otro lado, de (4) y (5) se obtienen las relaciones

Multiplicando ambos miembros por x1 - x0 podemos escribir la ecuación buscada en una forma más general:

En efecto, en primer lugar se comprueba (hacerlo como ejercicio) que esta relación lineal se satisface con las coordenadas de los puntos (x0, y0) y (x1, y1). En el caso en que x0=x1 deberá ser y0≠ y1 pues de otro modo no tendríamos dos puntos distintos sino uno solo, y entonces la ecuación del recuadro se reduce fácilmente a x=x0.

Ejercicio. Hallar la intersección de la recta x +2y -14 =0 con la recta que pasa por los puntos A =(0,2) y B =(-1,0).

9. Haz de rectas

El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P0 = (x0, y0) se llama haz de rectas por P0.

Para que la recta de ecuación

       ax + by + c = 0

pase por el punto P0, las coordenadas de dicho punto deberán satisfacer la ecuación de la recta; es decir,

       ax0 +by0 +c =0

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones obtenemos la forma que ha de tener la ecuación de cualquier recta que pase por P0 a saber,

llamada ecuación del haz de rectas porque eligiendo adecuadamente los parámetros a y b se obtiene la ecuación de cualquier recta del haz. Conviene observar que la ecuación se satisface con las coordenadas de P0 cualesquiera que sean los valores de a y b. Recordemos que el postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides afirma que por un punto P0 no perteneciente a una recta pasa una única recta paralela a ella. En la geometría de coordenadas este enunciado es un teorema que puede probarse. En efecto, supongamos que el punto P0 = (x0, y0) no pertenece a la recta

Finalmente, la desigualdad (2) nos asegura que el sistema formado por las ecuaciones (1) y (3) es incompatible, de donde se sigue que las rectas correspondientes son paralelas. Por tanto no hay más que una recta que pasa por P0 y es paralela a la recta (1), y su ecuación es (3).

10. Intersecciones de rectas y circunferencias

 

En general, para encontrar la intersección de una recta y una circunferencia habrá que resolver un sistema de ecuaciones de la forma

que se reduce fácilmente por substitución a una ecuación de segundo grado con una incógnita. Aun así, sugerimos que los primeros ejercicios consistan en hallar la intersección de la circunferencia con rectas de la forma x =cte. o y =cte.

Un caso particular de dicho problema, del que pasamos a ocuparnos, merece una atención especial.

Siendo t un número real cualquiera, busquemos la intersección de la recta que pasa por los puntos P1 = (-1, 0) y P2 = (0, t) con la circunferencia unitaria

Uno de los puntos de intersección (P1) es conocido y sólo nos falta determinar las coordenadas del segundo (P). Para ello debemos resolver el sistema de ecuaciones

Por substitución obtenemos la ecuación x2 +t2 (1 +X)2 = 1, de donde, desarrollando el cuadrado, y aplicando la ley distributiva y reagrupando, obtenemos la ecuación

cuadrado, y aplicando la ley distributiva y reagrupando, obtenemos la ecuación

que nos permite calcular las abscisas de los puntos de intersección.

Las soluciones de esta ecuación son    

la primera de las cuales es la abscisa de P1.

Por tanto, las coordenadas de P son

Lo que hace interesantes estas fórmulas es que eligiendo t racional obtenemos un punto de la circunferencia con ambas coordenadas racionales. Por ejemplo, eligiendo t =1/4 se obtiene el punto (15/17 ,8/17) que corresponde a la terna pitagórica 8, 15, 17:

   82 +152 =172,

La interpretación geométrica del parámetro t (representado en la figura por el segmento OP2) permite comprender que en cualquier arco de la circunferencia, por pequeño que sea, se encuentran puntos con ambas coordenadas racionales; lo que se expresa diciendo que los puntos con coordenadas racionales forman un conjunto denso en la circunferencia unitaria.

11. Rectas perpendiculares

 

En primer lugar debemos probar que si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) son puntos distintos de una recta no paralela al eje OY, entonces el cociente

tiene un valor constante (independiente de los puntos considerados) que suele llamarse pendiente de la recta.

En efecto, la ecuación de tal recta será ax +by = c, con la condición de que b ≠0.

Restando miembro a miembro las igualdades

obtenemos a(x2 - x1) +b(y2 - y1) = 0, de donde resulta fácilmente

que prueba la afirmación del comienzo y muestra que la pendiente de la recta es -a / b. En la siguiente figura hemos llamado φ a la inclinación de la recta con respecto al eje OX (ángulo de la recta con el eje). La relación (1) muestra que la pendiente de la recta es la tangente trigonométrica de φ, es decir,

El ángulo φ puede ser negativo, como muestra el próximo diagrama,

pero en cualquier caso verifica las relaciones

         -π/2 < φ < π/2

A las rectas perpendiculares al eje OX no se les asigna ninguna pendiente.

Consideremos ahora dos rectas cualesquiera no paralelas a ninguno de los ejes:

y denotemos por φ1 y φ2 sus respectivas inclinaciones con respecto al eje horizontal.

De acuerdo con lo visto, las pendientes de las rectas serán

Recordando que todo ángulo exterior de un triángulo es la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él, concluimos que el ángulo δ entre las dos rectas es la diferencia φ2 - φ1  Luego, para que las rectas sean perpendiculares deberá ser

de donde resulta la condición para que las rectas sean perpendiculares:

La condición es general: no tiene excepciones a pesar de la forma en que la hemos obtenido, pues si una de las rectas es paralela al eje OY, cualquier perpendicular a ella será paralela a OX, y entonces valdrá alguna de las dos alternativas:

Para cerrar el párrafo añadimos unos ejercicios y un problema.

1) ¿Para qué valores del parámetro k resultan perpendiculares los siguientes pares de rectas:

2) Demuestre que por cada punto del plano pasa una recta perpendicular a otra recta dada y sólo una.

3) Para introducir el siguiente problema debemos copiar el diagrama de los Elementos de Euclides para la demostración del teorema de Pitágoras

Algunos geómetras han visto en esta llamativa figura "la silla de la novia", otros "el molino de viento" y otros aun "la cola del pavo real". Trazándola con cuidado, se comprueba experimentalmente que los segmentos PC, BR y AM se cortan en un punto situado en el interior del triángulo. ¿Casualidad del dibujo o inexorable ley geométrica? ¡He aquí el problema!

Sugerencia: Coloque la figura en un sistema de ejes ortogonales de forma tal que el punto A quede en el origen y los catetos en las direcciones de los ejes. Calcule las ecuaciones de las rectas BR y PC y halle el punto de intersección (es un excelente y fácil ejercicio de Álgebra Elemental). Ahora puede escribir la ecuación de la recta AM y usar la condición de ortogonalidad obtenida en este mismo párrafo.

12. Distancia de un punto a una recta

En este párrafo nos proponemos estudiar el concepto de distancia de un punto a una recta desde un punto de vista puramente analítico, basándonos en la noción fundamental de distancia entre puntos.

Para comenzar conviene plantear el problema en un caso muy simple, el único que realmente necesitamos para lo que sigue, que no presenta dificultades de cálculo. Una recta paralela al eje OY tiene una ecuación de la forma x = c. La distancia de un punto (c, y) de dicha recta a un punto fijo P0 = (x0, y0) del plano es 

y es claro que el mínimo valor posible de esta distancia, al que llamaremos δ0, se alcanza cuando y = y0. Por tanto

En otras palabras, el punto de la recta que se encuentra a distancia mínima de P0 es (c, y0); y el valor de esa distancia mínima es δ0, en total acuerdo con lo que podemos apreciar a simple vista en el siguiente diagrama.

Definición. El número δ0 se llama la distancia del punto P0 a la recta dada.

Observación. Notemos que es preferible trabajar con el cuadrado de la distancia, cuya expresión no contiene raíces cuadradas.

La situación se ilustra en el siguiente diagrama:

Desarrollando el cuadrado del último paréntesis y agrupando términos semejantes obtenemos

o lo que es equivalente,

Usando la técnica de completación de cuadrados, podemos escribir el segundo miembro de la igualdad en la forma

de manera que, finalmente,

Notemos que δ alcanza su valor mínimo δ0 precisamente cuando δ2 es mínimo, y que esto ocurre cuando se anula el primer término de la última expresión, es decir, cuando se elije

Luego,

de manera que si en el segundo miembro de (1) multiplicamos numerador y denominador por |b|, obtendremos la fórmula que da la distancia del punto P0 = (x0, y0) a la recta ax + by + c = 0 :

Para que δ0 sea cero, debe ser cero el numerador, lo que equivale a decir que el punto P0 pertenece a la recta.

La fórmula se mantiene válida aun cuando b es nulo, pues en tal caso la ecuación de la recta es ax +c = 0 o bien x = -c/ a, y la distancia del punto a la recta,

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