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13. La parábola

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Se define la parábola como el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto F llamado foco y de una recta d llamada directriz.

Para obtener la ecuación de la parábola en su forma más sencilla, coloquemos el foco F en el punto (p,0), donde p representa un número positivo, y sea d la recta de ecuación x = -p. Con esta disposición se consigue que el origen sea un punto de la parábola y que ésta resulte simétrica con respecto al eje OX, como se muestra en la figura.

Llamando Q al pie de la perpendicular desde P = (x, y) a la directriz d, tendremos

Q=(-p, y), F =(p, 0);

y la condición para que el punto P pertenezca a la parábola es d(P,F) = d(P,Q); es decir,

Elevando al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los paréntesis y cancelando los términos que figuran en ambos miembros, obtenemos

de modo que después de un simple pasaje de término se obtiene la ecuación de la 'parábola con eje horizontal':

    y2 = 4px

Notemos que el origen O = (0, 0) satisface a esta ecuación y que si el punto (x, y) la satisface, entonces también la satisface el punto (x, -y) , simétrico del anterior con respecto al eje OX; lo que confirma que esta parábola es simétrica con respecto al eje horizontal. De la misma ecuación se deduce que x ≥ 0, lo que significa que la curva está totalmente incluida en el semiplano de la derecha.

La intersección de la parábola con su eje de simetría se llama el vértice; y resulta claro que en la disposición adoptada el vértice de la parábola se encuentra en el origen.

Nota. Con el fin de simplificar la expresión de las distancias hemos denotado por 2p la distancia del foco a la directriz, llamada tradicionalmente parámetro de la parábola y habitualmente designada por p. Sin embargo, el cambio no trae aparejado ningún inconveniente conceptual.

Intercambiando el papel de los ejes obtenemos la 'parábola con eje vertical' cuya ecuación es x2 = 4p y. El foco de esta parábola es el punto (0, p) , mientras que su directriz es la recta y =-p (paralela al eje OX aunque no aparezca representada en la figura).

El vértice es nuevamente el origen, pero ahora el eje de simetría es OY. La concavidad de la curva está dirigida hacia arriba, lo que significa que el arco comprendido entre dos puntos cualesquiera yace por debajo de la cuerda que subtiende, como se ilustra en la siguiente figura.

Es un ejercicio interesante para los alumnos probar por sí mismos que al colocar el foco de la parábola en el punto (O, -p), de forma que la directriz coincida con la recta de ecuación y = p (lo que equivale a realizar una simetría en tomo al eje horizontal), se obtiene la ecuación

que representa una parábola de eje vertical con su concavidad dirigida hacia abajo, como se ilustra a continuación.

Vemos así que cualquier ecuación de la forma

       y = ax2

donde a es una constante distinta de cero, representa una parábola con eje vertical y vértice en el origen de coordenadas con su concavidad dirigida hacia arriba o hacia abajo, según que a sea positivo o negativo.

En lo que sigue vamos a probar que cualquier ecuación de la forma

   y = ax2 + bx + c,

donde a, b y c son constantes arbitrarias con la única condición de que a no sea cero, es la ecuación de una parábola con eje vertical; con su concavidad hacia arriba si a es positivo o hacia abajo si a es negativo.

Consideremos un nuevo sistema de coordenadas (O1, x1, y1) con ejes paralelos a los del sistema (O, x, y) y origen en un punto O1 =(h, k) de coordenadas h y k, como se muestra en el siguiente diagrama.

Un punto P cuyas coordenadas en el primer sistema sean x e y tendrá en el nuevo sistema unas coordenadas x1 e y1 que se relacionan con las anteriores por medio de las fórmulas de cambio de coordenadas:

así llamadas porque expresan la forma en que varían las coordenadas del punto (x, y) al transladar el origen al punto de coordenadas h y k.

Por otro lado, en el nuevo sistema de coordenadas la ecuación de una parábola de eje vertical con vértice en O1 es

     y1 = ax12

o bien, utilizando las fórmulas del cambio de coordenadas,

que es la forma general de la ecuación de una parábola con eje vertical. Recíprocamente, dada una ecuación de esta forma, el método de completación de cuadrados permite hallar rápidamente las coordenadas del vértice de la correspondiente parábola. Conviene que el alumno llegue a dominar esta sencilla técnica cuya utilidad se ilustra a continuación.

Ejemplo 1. La ecuación y = x2 -3x +1 puede escribirse en las siguientes formas equivalentes

Por consiguiente, la translación dada por las fórmulas

permite escribir la ecuación de la parábola en la forma más simple posible, a saber,

El vértice se encuentra en el origen del nuevo sistema de coordenadas:

    x1 = 0, y1 =0,

o bien, usando las ecuaciones de la translación,

   x=3/2,     y=-5/4.

Ejemplo 2. Si el coeficiente de x2 no es 1, como ocurría en el ejemplo anterior, conviene dividir por dicho coeficiente antes de completar cuadrados.

Consideremos la parábola de ecuación y =2x2 +3x -1. Para encontrar su vértice, podemos escribir esta ecuación en las siguientes formas equivalentes:

De manera que introduciendo la translación

podemos escribir la ecuación (2) en la forma

 y1 =2x12

que es la ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en el punto x1 =0, y1=0;

es decir, x = -3/2, y = -11/2.

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