Multiplicación.
Para explicar las reglas de la multiplicación de
números con signo recalcamos que la multiplicación
de los números enteros puede pensarse como una adición
simplificada. Deben examinarse dos tipos de problemas de multiplicación;
el primer tipo comprende números con signos desiguales,
y el segundo, números con signos iguales.
SIGNOS DESIGUALES
Consideremos el ejemplo 3(-4), en el cual el multiplicando
es negativo. Esto significa que debemos sumar - 4 tres veces;
es decir, 3 (- 4) es igual a (- 4) + (- 4) + (- 4), que es
igual a - 12. Por ejemplo, si tenemos tres deudas de $ 4 debemos
$ 12 en total.
Cuando el multiplicador es negativo, como en -3(7), debernos
restar 7 tres veces. Entonces, -3(7) es igual a - (7) - (7)
- (7), que es igual a - 21. Por ejemplo, si se gastaron 7
bombas en un primer disparo, 7 en el segundo y 7 en el tercero,
hay un gasto de 21 bombas en total. Entonces, la regla es
como sigue: El producto de dos números con signo distinto
es negativo.
La ley de los signos para signos desiguales se establece
a veces como sigue: Menos por más es menos; más
por menos es menos. Así, un problema tal como 3(-4)
puede reducirse a los dos pasos siguientes:
1. Multiplicar los signos y escribir el signo de la respuesta
antes de escribir los números.
2. Multiplicar los números como si no tuvieran signos.
Usando el procedimiento sugerido, el signo de la respuesta
para 3(-4) es menos. El producto de 3 y 4 es 12 y la respuesta
final es -12. Cuando hay más de dos números
a multiplicar los signos se toman por pares hasta determinar
el signo final.
SIGNOS IGUALES
Cuando ambos factores son positivos, como en 4(5), el signo
del producto es positivo. Sumarnos + 5 cuatro veces, como
sigue:
4(5) = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
Cuando ambos factores son negativos, como en -4(-5), el signo
del producto es positivo. Extraemos - 5 cuatro veces.
Recuerde que extraer 5 negativo es lo mismo que sumar 5 positivo.
Por ejemplo, supongamos que alguien debe $ 20 a una persona
y le paga (o disminuye la deuda) $ 5 por vez. Éste
anula la deuda de $ 20 dándole cuatro monedas positivas
de $ 5 o un total de $ 20 positivos.
La regla desarrollada en el ejemplo anterior es como sigue:
El producto de dos números con signo semejante es positivo.
Sabiendo que el producto de dos números negativos
o de dos números positivos es positivo, podemos sacar
en conclusión que el producto de cualquier número
par de números negativos es positivo. Similarmente,
el producto de cualquier número impar de números
negativos es negativo.
La regla de los signos puede combinarse como sigue: menos
por más es menos; más por menos es menos;
menos por menos es más; más por más es
más. El empleo de esta regla combinada puede ilustrarse
como sigue: Tomando los signos por 4(-2) . (-5) . (6) . (-3)
= -720
pares, el signo positivo no indicado del 4 por el signo menos
del 2 produce un menos. Este menos por el menos del 5 produce
un más. Este más por el más no indicado
del 6 produce un más. Este más por el menos
del 3 produce un menos, de modo que la respuesta final es
negativa. El producto de los números, dejando a un
lado sus signos, es 720; por tanto, la respuesta final es
- 720.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS. Multiplicar como
se ha indicado:
1. 5(-8) = ?
2. - 7(3) (2) = ?
3. 6(- 1) (-4) = ?
4. -2(3) (-4) (5) (-6) = ?
Respuestas.,
1. -40
3.
24
2. -42
4.
-720
División
Visto que la división es la inversa de la multiplicación,
podemos desarrollar rápidamente las reglas para la
división de números con signo comparándolas
con las reglas correspondientes de la multiplicación,
como en los siguientes ejemplos:
1. La división que comprende dos signos distintos
se relaciona con la multiplicación con signos distintos,
como sigue:
Entonces, la regla para la división con signos desiguales
es: El cociente de dos números con signos distintos
es negativo.
2. La división que comprende dos números con
signos iguales se relaciona con la multiplicación con
signos iguales, como sigue:
Así pues, la regla para la división con signos
iguales es: El cociente de dos números con signos iguales
es positivo.
Los ejemplos que siguen muestran la aplicación de
las reglas para dividir números con signo.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS: Multiplicar y
dividir conforme se ha indicado:
Casos especiales
A menudo surgen dos casos especiales en los que pueden usarse
con ventajas las reglas de los signos. El primer caso es en
la simplificación de la sustracción; el segundo,
en el cambio de signos del numerador y denominador cuando
se indica la división en forma de fracción.
SUSTRACCIÓN
Las reglas para la sustracción pueden simplificarse
usando las leyes de los signos si cada expresión a
sustraer se considera como multiplicada por un signo negativo.
Por ejemplo, 4 -(- 5) es lo mismo que 4 + 5, ya que menos
por menos es más. Este resultado también establece
una base para la regla que gobierna la extracción.
La regla de los paréntesis, como generalmente se
establece, es: Los paréntesis precedidos por un signo
menos pueden eliminarse si se cambian los signos de todos
los términos dentro del paréntesis. Esto se
ilustra a continuación:
12 -(3 - 2 + 4) = 12 - 3 + 2 - 4
La razón del cambio de signos es evidente cuando el
signo negativo que precede al paréntesis se considera
un multiplicador para la total expresión dentro del
paréntesis.
DIVISIÓN EN FORMA FRACCIONARIA
La división se indica a menudo escribiendo
el dividendo como numerador y el divisor como denominador
de una fracción. En álgebra, toda fracción
se considera que posee tres signos. El numerador tiene un
signo, el denominador tiene un signo, y la fracción
misma, tomada como conjunto, tiene un signo. En muchos casos,
uno o más de estos signos puede ser positivo, y entonces
no se lo indica. Por ejemplo, en la siguiente fracción
el signo del numerador y el signo del denominador son ambos
positivos y el signo de la fracción es negativo
Las fracciones con más de un signo negativo
siempre son reducibles a una forma más simple con un
signo negativo. Por ejemplo, el signo del numerador y el signo
del denominador, o ambos, pueden ser negativos. Observamos
que menos dividido por menos da el mismo resultado que más
dividido por más. Por tanto, podemos cambiar a la forma
menos complicada con el signo más (que se sobreentiende)
para numerador y denominador, como sigue:
Visto que - 15 dividido por - 5 es 3 y que 15
dividido por 5 también es 3, sacamos en conclusión
que el cambio de signo no altera la respuesta final. El mismo
razonamiento puede aplicarse en el caso siguiente, en el cual
el signo mismo de la fracción es negativo:
Cuando la fracción posee un signo negativo,
como en este ejemplo, ella puede encerrarse temporariamente
entre paréntesis, para propósitos de trabajo
con el numerador y denominador solamente. El signo de la fracción
se aplica separadamente al resultado, como sigue:
Todo esto puede hacerse mentalmente.
Si una fracción posee un signo negativo
en una de las tres posiciones de los signos, este signo puede
moverse a otra posición. Tal ajuste constituye una
ventaja en algunos tipos de expresiones complicada que comprenden
fracciones. He aquí un ejemplo de este tipo de cambio
de signo.
En la primera expresión del ejemplo anterior
el signo del numerador es positivo (se sobreentiende) y el
signo de la fracción es negativo. Cambiando ambos signos
obtenemos la segunda ,expresión. Para obtener la tercera
expresión a partir de la segunda cambiamos el signo
del numerador y el signo del denominador. Observe que el cambio
de signos en cada caso comprende un par de ellos. Esto nos
lleva a la ley de signos para las fracciones: Dos de los
tres signos de una fracción pueden cambiarse sin alterar
el valor de la misma.
AXIOMAS Y LEYES
Un axioma es una verdad evidente por sí misma: una
verdad universalmente aceptada, que no requiere prueba. Por
ejemplo, la afirmación de que "una línea
recta es la distancia más corta entre dos puntos"
constituye un axioma en la geometría plana. Tendemos
a aceptar la verdad de un axioma sin demostración,
porque todo lo axiomático es, por su propia naturaleza,
evidentemente cierto. Por otro lado, una ley (en el sentido
matemático) es el resultado de definir ciertas cantidades
y relaciones y luego desarrollar conclusiones lógicas
de esa definición.
Axiomas de igualdad
Los cuatro axiomas de igualdad que conciernen a la aritmética
y al álgebra se establecen corno sigue:
1. Si la misma cantidad se suma a dos cantidades iguales
los resultados son iguales. Esto se establece a veces en la
siguiente forma: si una igualdad se suma a otra igualdad el
resultado es otra igualdad. Por ejemplo, sumando la misma
cantidad (3) a ambos lados de la siguiente ecuación,
obtenemos dos sumas que son iguales:
2. Si la misma cantidad se resta de dos cantidades
iguales las cantidades resultantes son iguales. Esto a veces
se establece como sigue: si una igualdad se sustrae de otra
igualdad el resultado es otra igualdad. Por ejemplo, restando
2 a ambos lados de la siguiente ecuación obtenemos
resultados iguales:
3. Si dos cantidades iguales se multiplican
por la misma cantidad los productos resultantes son iguales.
Esto se establece a veces como sigue: Si una igualdad se multiplica
por otra igualdad los productos son iguales. Por ejemplo,
ambos lados de la siguiente ecuación se multiplican
por -3 y se obtienen resultados iguales:
4. Si dos cantidades iguales se dividen por
la misma cantidad los cocientes resultantes son iguales. Esto
se establece a veces como sigue: Si una igualdad es dividida
por otra igualdad el resultado es otra igualdad. Por ejemplo,
ambos lados de la siguiente ecuación son divididos
por 3 y los cocientes resultantes son iguales:
Los axiomas son asimismo útiles cuando
se emplean letras para representar números, Si sabemos
que 5x = -30, por ejemplo, entonces dividiendo ambos 5x y
- 30 por 5 llegamos a la conclusión de que x = - 6.
Leyes para la combinación de los números
Los números se combinan de acuerdo con las siguientes
leyes básicas:
1. Las leyes asociativas de la adición y la multiplicación.
2. Las leyes conmutativas de la adición y la multiplicación.
3. Ley distributiva.
LEY ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN
La palabra "asociativa" sugiere asociación
o agrupamiento. Esta ley establece que la suma de tres o más
sumandos es la misma independientemente de la manera como
ellos se agrupan. Por ejemplo, 6 + 3 + 1 es lo mismo que 6
+ (3 + 1) ó (6 + 3) + ó (6 + 1) + 3.
Esta ley puede aplicarse a la sustracción cambiando
de signo en forma tal que todos los signos negativos son tratados
como signos numéricos en vez de operacionales. Es decir,
algunos de los sumandos pueden ser signos negativos. Por ejemplo,
6 - 4 - 2 puede volverse a escribir como 6 + (- 4) + (- 2).
Por la ley asociativa es lo mismo que:
6 + [(-4) + (-2)] ó [6 + (-4)] + (-2)
Sin embargo, 6 - 4 - 2 no es lo mismo que 6 - (4 - 2); los
términos deben expresarse como sumandos antes de aplicar
las leyes asociativas de la adición.
LEY ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN
Esta ley establece que el producto de tres o más
factores es el mismo independientemente de la forma como éstos
se hallan agrupados. Por ejemplo, 6 . 3 . 2 es lo mismo que
(6 . 3) . 2 ó 6 . (3 . 2) ó (6 . 2) .3. Los
signos negativos no requieren un tratamiento especial en la
aplicación de esta ley. Por ejemplo, 6 . (-4). (-2)
es lo mismo que [6 . (-4)] . (-2) ó 6 [(-4) . (-2)].
LEY CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN
La palabra "conmutar" significa cambiar, sustituir
o mover de un lugar a otro. La ley conmutativa de la adición
establece que la suma de dos o más sumandos es la misma
independientemente del orden en el cual éstos se hallan
dispuestos. Por ejemplo, 4 + 3 + 2 es lo mismo que 4 + 2 +
3 ó 2 + 4 + 3.
Esta ley puede aplicarse a la sustracción cambiando
los signos de modo que todos los signos negativos se transformen
en signos numéricos y todos los signos de operación
sean positivos. Por ejemplo, 5 -3 -2 se cambia a 5 + (-3)
+ (-2), que es lo mismo que 5 + (-2) + (-3) ó (-3)
+ 5 + (-2).
LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
Esta ley establece que el producto de dos o más factores
es el mismo independientemente del orden en que se disponen
los factores. Por ejemplo, 3 . 4 . 5 es lo mismo que 5 . 3
. 4 ó 4 . 3 . 5. Los signos negativos no requieren
tratamiento especial en la aplicación de esta ley.
Por ejemplo, 2 . (-4) . (-3) es lo mismo que (-4 ) . (-3)
. 2 ó (-3) . 2 . (-4).
LEY DISTRIBUTIVA
Esta ley combina las operaciones de adición y multiplicación.
La palabra "distributiva" se refiere a la distribución
de un multiplicador común entre los términos
de una expresión aditiva. Por ejemplo:
Para verificar la ley distributiva notamos que 2 (3 + 4 +
5) es lo mismo que 2 (12) ó 24. Además, 6 +
8 + 10 es 24. Para la aplicación de la ley distributiva
donde aparecen signos negativos se recomienda el siguiente
procedimiento:
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