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NÚMEROS CON SIGNO


 

 


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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

Para explicar las reglas de la multiplicación de números con signo recalcamos que la multiplicación de los números enteros puede pensarse como una adición simplificada. Deben examinarse dos tipos de problemas de multiplicación; el primer tipo comprende números con signos desiguales, y el segundo, números con signos iguales.

SIGNOS DESIGUALES

Consideremos el ejemplo 3(-4), en el cual el multiplicando es negativo. Esto significa que debemos sumar - 4 tres veces; es decir, 3 (- 4) es igual a (- 4) + (- 4) + (- 4), que es igual a - 12. Por ejemplo, si tenemos tres deudas de $ 4 debemos $ 12 en total.

Cuando el multiplicador es negativo, como en -3(7), debernos restar 7 tres veces. Entonces, -3(7) es igual a - (7) - (7) - (7), que es igual a - 21. Por ejemplo, si se gastaron 7 bombas en un primer disparo, 7 en el segundo y 7 en el tercero, hay un gasto de 21 bombas en total. Entonces, la regla es como sigue: El producto de dos números con signo distinto es negativo.

La ley de los signos para signos desiguales se establece a veces como sigue: Menos por más es menos; más por menos es menos. Así, un problema tal como 3(-4) puede reducirse a los dos pasos siguientes:

1. Multiplicar los signos y escribir el signo de la respuesta antes de escribir los números.

2. Multiplicar los números como si no tuvieran signos. Usando el procedimiento sugerido, el signo de la respuesta para 3(-4) es menos. El producto de 3 y 4 es 12 y la respuesta final es -12. Cuando hay más de dos números a multiplicar los signos se toman por pares hasta determinar el signo final.

SIGNOS IGUALES

Cuando ambos factores son positivos, como en 4(5), el signo del producto es positivo. Sumarnos + 5 cuatro veces, como sigue:

4(5) = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

Cuando ambos factores son negativos, como en -4(-5), el signo del producto es positivo. Extraemos - 5 cuatro veces.

Recuerde que extraer 5 negativo es lo mismo que sumar 5 positivo. Por ejemplo, supongamos que alguien debe $ 20 a una persona y le paga (o disminuye la deuda) $ 5 por vez. Éste anula la deuda de $ 20 dándole cuatro monedas positivas de $ 5 o un total de $ 20 positivos.

La regla desarrollada en el ejemplo anterior es como sigue: El producto de dos números con signo semejante es positivo.

Sabiendo que el producto de dos números negativos o de dos números positivos es positivo, podemos sacar en conclusión que el producto de cualquier número par de números negativos es positivo. Similarmente, el producto de cualquier número impar de números negativos es negativo.

La regla de los signos puede combinarse como sigue: menos por más es menos; más por menos es menos; menos por menos es más; más por más es más. El empleo de esta regla combinada puede ilustrarse como sigue: Tomando los signos por 4(-2) . (-5) . (6) . (-3) = -720

pares, el signo positivo no indicado del 4 por el signo menos del 2 produce un menos. Este menos por el menos del 5 produce un más. Este más por el más no indicado del 6 produce un más. Este más por el menos del 3 produce un menos, de modo que la respuesta final es negativa. El producto de los números, dejando a un lado sus signos, es 720; por tanto, la respuesta final es - 720.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS. Multiplicar como se ha indicado:

1. 5(-8) = ?
2. - 7(3) (2) = ?
3. 6(- 1) (-4) = ?
4. -2(3) (-4) (5) (-6) = ?

Respuestas.,

1. -40                       3. 24
2. -42                       4. -720

División

Visto que la división es la inversa de la multiplicación, podemos desarrollar rápidamente las reglas para la división de números con signo comparándolas con las reglas correspondientes de la multiplicación, como en los siguientes ejemplos:

1. La división que comprende dos signos distintos se relaciona con la multiplicación con signos distintos, como sigue:

Entonces, la regla para la división con signos desiguales es: El cociente de dos números con signos distintos es negativo.

2. La división que comprende dos números con signos iguales se relaciona con la multiplicación con signos iguales, como sigue:

Así pues, la regla para la división con signos iguales es: El cociente de dos números con signos iguales es positivo.

Los ejemplos que siguen muestran la aplicación de las reglas para dividir números con signo.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS: Multiplicar y dividir conforme se ha indicado:

Casos especiales

A menudo surgen dos casos especiales en los que pueden usarse con ventajas las reglas de los signos. El primer caso es en la simplificación de la sustracción; el segundo, en el cambio de signos del numerador y denominador cuando se indica la división en forma de fracción.

SUSTRACCIÓN

Las reglas para la sustracción pueden simplificarse usando las leyes de los signos si cada expresión a sustraer se considera como multiplicada por un signo negativo. Por ejemplo, 4 -(- 5) es lo mismo que 4 + 5, ya que menos por menos es más. Este resultado también establece una base para la regla que gobierna la extracción.

La regla de los paréntesis, como generalmente se establece, es: Los paréntesis precedidos por un signo menos pueden eliminarse si se cambian los signos de todos los términos dentro del paréntesis. Esto se ilustra a continuación:

12 - (3 - 2 + 4) = 12 - 3 + 2 - 4

La razón del cambio de signos es evidente cuando el signo negativo que precede al paréntesis se considera un multiplicador para la total expresión dentro del paréntesis.

DIVISIÓN EN FORMA FRACCIONARIA

Número fraccionario o quebrado es aquel número que está constituido por una o más partes de la unidad.

NOTACIÓN
Una fracción se denota por:

donde:
a es el numerador
b es el denominador

La división se indica a menudo escribiendo el dividendo como numerador y el divisor como denominador de una fracción. En álgebra, toda fracción se considera que posee tres signos. El numerador tiene un signo, el denominador tiene un signo, y la fracción misma, tomada como conjunto, tiene un signo. En muchos casos, uno o más de estos signos puede ser positivo, y entonces no se lo indica. Por ejemplo, en la siguiente fracción el signo del numerador y el signo del denominador son ambos positivos y el signo de la fracción es negativo

Las fracciones con más de un signo negativo siempre son reducibles a una forma más simple con un signo negativo. Por ejemplo, el signo del numerador y el signo del denominador, o ambos, pueden ser negativos. Observamos que menos dividido por menos da el mismo resultado que más dividido por más. Por tanto, podemos cambiar a la forma menos complicada con el signo más (que se sobreentiende) para numerador y denominador, como sigue:

Visto que - 15 dividido por - 5 es 3 y que 15 dividido por 5 también es 3, sacamos en conclusión que el cambio de signo no altera la respuesta final. El mismo razonamiento puede aplicarse en el caso siguiente, en el cual el signo mismo de la fracción es negativo:

Cuando la fracción posee un signo negativo, como en este ejemplo, ella puede encerrarse temporariamente entre paréntesis, para propósitos de trabajo con el numerador y denominador solamente. El signo de la fracción se aplica separadamente al resultado, como sigue:

Todo esto puede hacerse mentalmente.

Si una fracción posee un signo negativo en una de las tres posiciones de los signos, este signo puede moverse a otra posición. Tal ajuste constituye una ventaja en algunos tipos de expresiones complicada que comprenden fracciones. He aquí un ejemplo de este tipo de cambio de signo.

En la primera expresión del ejemplo anterior el signo del numerador es positivo (se sobreentiende) y el signo de la fracción es negativo. Cambiando ambos signos obtenemos la segunda ,expresión. Para obtener la tercera expresión a partir de la segunda cambiamos el signo del numerador y el signo del denominador. Observe que el cambio de signos en cada caso comprende un par de ellos. Esto nos lleva a la ley de signos para las fracciones: Dos de los tres signos de una fracción pueden cambiarse sin alterar el valor de la misma.

AXIOMAS Y LEYES

Un axioma es una verdad evidente por sí misma: una verdad universalmente aceptada, que no requiere prueba. Por ejemplo, la afirmación de que "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos" constituye un axioma en la geometría plana. Tendemos a aceptar la verdad de un axioma sin demostración, porque todo lo axiomático es, por su propia naturaleza, evidentemente cierto. Por otro lado, una ley (en el sentido matemático) es el resultado de definir ciertas cantidades y relaciones y luego desarrollar conclusiones lógicas de esa definición.

Axiomas de igualdad

Los cuatro axiomas de igualdad que conciernen a la aritmética y al álgebra se establecen corno sigue:

1. Si la misma cantidad se suma a dos cantidades iguales los resultados son iguales. Esto se establece a veces en la siguiente forma: si una igualdad se suma a otra igualdad el resultado es otra igualdad. Por ejemplo, sumando la misma cantidad (3) a ambos lados de la siguiente ecuación, obtenemos dos sumas que son iguales:

2. Si la misma cantidad se resta de dos cantidades iguales las cantidades resultantes son iguales. Esto a veces se establece como sigue: si una igualdad se sustrae de otra igualdad el resultado es otra igualdad. Por ejemplo, restando 2 a ambos lados de la siguiente ecuación obtenemos resultados iguales:

3. Si dos cantidades iguales se multiplican por la misma cantidad los productos resultantes son iguales. Esto se establece a veces como sigue: Si una igualdad se multiplica por otra igualdad los productos son iguales. Por ejemplo, ambos lados de la siguiente ecuación se multiplican por -3 y se obtienen resultados iguales:

4. Si dos cantidades iguales se dividen por la misma cantidad los cocientes resultantes son iguales. Esto se establece a veces como sigue: Si una igualdad es dividida por otra igualdad el resultado es otra igualdad. Por ejemplo, ambos lados de la siguiente ecuación son divididos por 3 y los cocientes resultantes son iguales:

Los axiomas son asimismo útiles cuando se emplean letras para representar números, Si sabemos que 5x = -30, por ejemplo, entonces dividiendo ambos 5x y - 30 por 5 llegamos a la conclusión de que x = - 6.

Leyes para la combinación de los números

Los números se combinan de acuerdo con las siguientes leyes básicas:

1. Las leyes asociativas de la adición y la multiplicación.
2. Las leyes conmutativas de la adición y la multiplicación.
3. Ley distributiva.

LEY ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN

La palabra "asociativa" sugiere asociación o agrupamiento. Esta ley establece que la suma de tres o más sumandos es la misma independientemente de la manera como ellos se agrupan. Por ejemplo, 6 + 3 + 1 es lo mismo que 6 + (3 + 1) ó (6 + 3) + ó (6 + 1) + 3.

Esta ley puede aplicarse a la sustracción cambiando de signo en forma tal que todos los signos negativos son tratados como signos numéricos en vez de operacionales. Es decir, algunos de los sumandos pueden ser signos negativos. Por ejemplo, 6 - 4 - 2 puede volverse a escribir como 6 + (- 4) + (- 2). Por la ley asociativa es lo mismo que:

6 + [(-4) + (-2)] ó [6 + (-4)] + (-2)

Sin embargo, 6 - 4 - 2 no es lo mismo que 6 - (4 - 2); los términos deben expresarse como sumandos antes de aplicar las leyes asociativas de la adición.

LEY ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN

Esta ley establece que el producto de tres o más factores es el mismo independientemente de la forma como éstos se hallan agrupados. Por ejemplo, 6 . 3 . 2 es lo mismo que (6 . 3) . 2 ó 6 . (3 . 2) ó (6 . 2) .3. Los signos negativos no requieren un tratamiento especial en la aplicación de esta ley. Por ejemplo, 6 . (-4). (-2) es lo mismo que [6 . (-4)] . (-2) ó 6 [(-4) . (-2)].

LEY CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN

La palabra "conmutar" significa cambiar, sustituir o mover de un lugar a otro. La ley conmutativa de la adición establece que la suma de dos o más sumandos es la misma independientemente del orden en el cual éstos se hallan dispuestos. Por ejemplo, 4 + 3 + 2 es lo mismo que 4 + 2 + 3 ó 2 + 4 + 3.

Esta ley puede aplicarse a la sustracción cambiando los signos de modo que todos los signos negativos se transformen en signos numéricos y todos los signos de operación sean positivos. Por ejemplo, 5 -3 -2 se cambia a 5 + (-3) + (-2), que es lo mismo que 5 + (-2) + (-3) ó (-3) + 5 + (-2).

LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

Esta ley establece que el producto de dos o más factores es el mismo independientemente del orden en que se disponen los factores. Por ejemplo, 3 . 4 . 5 es lo mismo que 5 . 3 . 4 ó 4 . 3 . 5. Los signos negativos no requieren tratamiento especial en la aplicación de esta ley. Por ejemplo, 2 . (-4) . (-3) es lo mismo que (-4 ) . (-3) . 2 ó (-3) . 2 . (-4).

LEY DISTRIBUTIVA

Esta ley combina las operaciones de adición y multiplicación. La palabra "distributiva" se refiere a la distribución de un multiplicador común entre los términos de una expresión aditiva. Por ejemplo:

Para verificar la ley distributiva notamos que 2 (3 + 4 + 5) es lo mismo que 2 (12) ó 24. Además, 6 + 8 + 10 es 24. Para la aplicación de la ley distributiva donde aparecen signos negativos se recomienda el siguiente procedimiento:

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