CURSO DE MATEMÁTICAS

Capítulo 18. Construcciones Geométricas y Figuras Sólidas.

Muchos cálculos navales comprenden trabajos que requieren la construcción o subdivisión de figuras geométricas. Por ejemplo, los materiales deben cortarse en formas deseadas, deben dibujarse líneas perpendiculares, etcétera. Además de esto, algunas tareas navales requieren habilidad para reconocer diversas figuras sólidas y calcular sus volúmenes y áreas superficiales.

CONSTRUCCIONES

Desde el punto de vista de la geometría, una CONSTRUCCIÓN implicará tanto el proceso de construir una figura como el de subdividirla en partes más pequeñas. Algunas construcciones típicas se indican a continuación:

1. Dividir una línea en segmentos iguales.
2. Levantar la perpendicular bisectriz de una línea.
3. Trazar una perpendicular de un punto a una línea. .
4. Bisectar un ángulo.
5. Construcción de un ángulo.
6. Determinar el centro de un círculo.
7. Construcción de una elipse.

Divisiones iguales sobre una línea

Una línea podrá dividirse en cualquier número deseado de segmentos iguales por el método que se indica en la figura 18-1.

Figura 18-1. División de una línea en segmentos iguales.

Supongamos que la línea AB (figura 18-1) se divide en siete segmentos iguales. Se dibuja la línea AC con cualquier ángulo conveniente con AB y se marcan siete espacios de longitud apropiada, digamos de 1/2 cm, sobre ella.
Se extiende AC, si es necesario, para lograr siete intervalos de la longitud elegida sobre ella. Esto produce los puntos a, b, c, d, e, f y g, según se muestra en la figura 18-1. Se dibuja una línea desde g a B, luego se dibujan líneas paralelas a gB, comenzando en cada uno de los puntos a, b, c, d, e y f. Los segmentos de AB cortados por estas líneas son de longitudes iguales.
A menudo es necesario trazar un número determinado de líneas sobre una hoja de material en blanco. Esto puede hacerse por un método basado en el desarrollo anterior. Por ejemplo, supongamos que la hoja de papel en la figura 18-2 debe dividirse en 24 espacios iguales.

18-2. División de una hoja de papel en espacios iguales.

La regla de 12 cm se apoya sobre el papel en un ángulo en el cual los extremos de la regla coincidan con el borde superior e inferior del papel, Hay 24 espacios, cada uno de 1/2 cm de ancho, en una regla de 12 cm, Por tanto, marcamos el papel para cada división de la regla de 1/2 cm. Después sacamos la regla, trazarnos una línea a través de cada una de las marcas sobre el papel, paralelas a los bordes superior e inferior de éste.

Bisectriz perpendicular a una línea.

Bisectar una línea o un ángulo significa dividirlo en dos partes iguales. Una línea podrá ser bisectada satisfactoriamente midiéndola, o por el método geométrico. Si el instrumento de medida no alcanza para la longitud total de la línea se procede corno sigue:

1. Se comienza en un extremo, se mide alrededor de la mitad de la longitud de la línea y se hace una marca.
2. Se comienza en el otro extremo, se mide exactamente la misma distancia que antes y se hace una segunda marca.
3. La bisectriz de la línea cae entre estas dos marcas.

El método geométrico para bisectar una línea no depende de medidas. Se basa en el hecho de que todos los puntos igualmente distantes de los extremos de una línea recta caen sobre la perpendicular bisectriz de la línea.
La bisección geométrica de una línea requiere el uso de un compás que es un instrumento para dibujar círculos y comparar distancias. Si debe bisectarse una línea AB, como en la figura 18-3, el compás se abre hasta una distancia mayor que la mitad de AB. Luego se dibuja un pequeño arco por encima del centro aproximado de la línea y otro por debajo, usando A como centro del arco. (Ver figura 18-3.)
Se dibujan dos pequeños arcos, uno encima y otro debajo del centro aproximado de la línea AB, usando ahora B como centro de los arcos.
Los dos arcos por encima de la línea AB se extienden hasta que se cortan formando el punto C, y los dos arcos por debajo de la línea AB se extienden para formar el punto D. La línea que une los puntos C y D es la perpendicular bisectriz de la línea AB.

Perpendicular de una línea en cualquier punto

La figura 18-4 muestra una línea AB con un punto C entre A y B. Desde el punto C se levanta una perpendicular a AB como sigue:

Figura 18-3. Bisección geométrica de una línea.

Figura 18-4. Levantando una perpendicular a un punto.

1. Usando cualquier punto conveniente por encima de la línea (tal como 0) como centro, se dibuja un círculo con radio OC. Este círculo corta a AB en C y en D.
2. Se dibuja la línea DO y se la extiende para que intersecte al círculo en E.
3. Se dibuja la línea EC. Esta línea es perpendicular a AB en C.

Bisección de un ángulo

Sea un ángulo a bisectar el ángulo AOB en la figura 18-5. Usando O como centro y cualquier radio conveniente se dibuja un arco que intersecte OA y un segundo arco que intersecte OB. Se designan estas intersecciones C y D.
Utilizando C y D como centros y cualquier radio conveniente se dibujan dos arcos que se crucen en el centro de las líneas OA y OB. Una línea que partiendo de O atraviese la intersección de estos dos arcos es la bisectriz del ángulo AOB.

Figura 18-5. Bisección de un ángulo.

Ángulos especiales

Por métodos geométricos pueden construirse diversos ángulos especiales, de modo que en estos casos no es necesario un instrumento para medir ángulos.

Figura 18-6. Construción de un ángulo recto por el método 3-4-5 .

La figura 18-6 ilustra un método para construir un ángulo recto DCE, inscribiendo un triángulo rectángulo en un semicírculo. Pero es preciso otro método para aquellas situaciones en las cuales no resulta conveniente dibujar un círculo. El método ilustrado aquí emplea un triángulo rectángulo que tiene sus lados en la proporción 3 a 4 a 5. Se usa con frecuencia para establecer los cimientos de edificios. El procedimiento es así:

1. Se estira una cuerda como se indica en la figura 18-6, formando la línea AC. La longitud de AC es 3 m.
2. Una segunda cuerda se estira cruzando la línea AC en A, directamente por encima del punto que se supone es la esquina del cimiento. Entre A y D, en esta línea, hay 4 m.
3. Se une C y D con una tercera cuerda de 5 m de largo. Cuando se separan AC y AD de modo que la línea CD quede tirante, el ángulo DAC es un ángulo recto.
Un ángulo de 60° se construye como se indica en la figura 18-7. Con AB como radio y A y B como centros, se dibujan arcos que intersecten en C. Cuando A y B se unen en C por medio de líneas rectas los tres ángulos del triángulo ABC son de 60°.
Los ángulos especiales explicados antes se usan para construir ángulos de 45° y 30°. El ángulo de 90° se bisecta para formar dos ángulos de 45°, y un ángulo de 60° se bisecta para formar dos ángulos de 30°.

Determinación del centro de un círculo

A veces es preciso determinar el centro de un círculo del cual se ha dado sólo un arco o un segmento (ver figura 18-8).
Desde cualquier punto del arco, tal como A, se dibujan dos cuerdas que intersecten el arco en dos puntos cualesquiera, tales como B y C Con los puntos A, B y C como centros, se emplea cualquier radio conveniente y se dibujan pequeños arcos que intersecten para formar las bisectrices perpendiculares a las cuerdas AC y AB. Uniendo la intersección de los arcos sobre cada lado de AC se obtiene la línea MP, y uniendo los arcos sobre cada lado de AB se obtiene la línea NQ. La intersección de MP y NQ es el punto O, centro del círculo.

Elipses

Una elipse de longitud y ancho específicos se construye como sigue:

1. Dibujar el eje mayor, AB, y el eje menor, CD, según se muestra en la figura 18-9.
2. Sobre una tira de papel o una regla se marca un punto (designado a en la figura) y a partir de este punto se mide 1/2 de la longitud del eje menor y se hace una segunda marca (b en la figura 18-9). Desde el punto a se mide una mitad de la longitud del eje mayor y se hace una tercera marca (c en la figura).
3. Se coloca la regla sobre los ejes de modo que b caiga sobre el eje mayor y c caiga sobre el eje menor. Se marca el papel con un punto al lado del punto a. Se vuelve a ubicar la regla manteniendo b sobre el eje mayor y c sobre el eje menor y se hace un punto sobre la nueva posición de a.
4. Después de localizar puntos suficientes para ver el modelo elíptico se unen los puntos con una curva suave.

Figuras sólidas

Las figuras planas explicadas en el Capítulo 17 de este curso se combinan para formar figuras sólidas. Por ejemplo, tres rectángulos y dos triángulos pueden combinarse como se muestra en la figura 18-10. Las superficies planas de la figura sólida son SUS CARAS; las caras superior e inferior son las BASES y las caras que forman los lados son las CARAS LATERALES.

Figura 18-10. Partes de un sólido.

Algunas figuras sólidas no tienen ninguna cara plana y otras poseen una combinación de superficies curvas y superficies planas. Ejemplos de sólidos con superficies curvas incluyen los cilindros, conos y esferas.

Prismas

El sólido mostrado en la figura 18-10 es un PRISMA. Un prisma es un sólido con tres o más caras laterales que se intersectan en líneas paralelas.

TIPOS DE PRISMAS

El nombre de un prisma depende del polígono de su base. Si las bases son triángulos, como en la figura 18-10, la figura es un prisma TRIANGULAR. Un prisma RECTANGULAR tiene rectángulos por bases.
Si las bases de un prisma son perpendiculares a los planos que forman sus caras laterales el prisma es RECTO.
Un PARALELEPIPEDO es un prisma con paralelogramos por bases. Puesto que las bases son paralelas entre sí, significa que éstas cortan a las caras laterales formando paralelogramos. Por tanto, en un paralelepípedo todas las caras son paralelogramos. Si un paralelepípedo es un prisma recto y sus bases son rectángulos, es un sólido rectangular.
Un CUBO es un sólido rectangular en el cual las seis caras son cuadrados.

PARTES DE UN PRISMA

Las partes de un prisma se ilustran en la figura 18-10. La línea formada por la unión de dos caras de un prisma es una ARISTA. Si las dos caras que forman una arista son áreas laterales, la arista así formada es una ARISTA LATERAL.

ÁREA DE LA SUPERIFICIE Y VOLUMEN

El ÁREA DE LA SUPERFICIE de un prisma es la suma de las áreas de todas sus caras, incluyendo las bases. El VOLUMEN de un prisma se considera como la suma de los volúmenes de muchas capas finas, cada una de un espesor de 1 unidad y una forma que duplica la forma de la base. (Ver figura 18-11.)

Figura 18-11. Volumen de un prisma.

Las capas que forman el prisma en la figura 18-11 tienen todas la misma área de la base. Por tanto, el volumen del prisma se determina multiplicando el área de la base por el número de capas. Visto que cada capa tiene 1 cm de espesor, el número de capas es igual a la altura del prisma en centímetros. La fórmula resultante para el volumen de un prisma, usando B para representar el área de la base y h para representar la altura, es como sigue:

V = Bh

Cuando un prisma tiene aristas laterales que no son perpendiculares a las bases, la altura del prisma es la distancia perpendicular entre las bases (ver figura 18-12). La fórmula para el volumen permanece igual, aun cuando el prisma no es recto.

Figura 18-12. Altura en un prisma que no es recto.