Cilindros circulares
Toda superficie puede considerarse como el resultado de desplazar
una línea recta en una dirección, en ángulo
recto a su longitud. Por ejemplo, supongamos que la barrita
de carbón de la figura 18-13 se desplaza desde la posición
AB a la posición CD marcando el papel. La amplia marca
dejada por el carbón representa una superficie plana.
Se dice que la superficie se ha "generado" moviendo
la línea AB.
Figura 18-13. Superficie generada por una
línea en movimiento.
El movimiento de la línea en la figura
18-13 puede controlarse haciendo que su extremo inferior trace
un camino determinado. Por ejemplo, si la línea AB
se mueve de modo que trace una elipse, como en la figura 18-14
(A), la línea genera una superficie cilíndrica.
Esta superficie, indicada en la figura 18-14 (B), es un cilindro
elíptico.
Figura 18-14. (A) Generación de un
cilindro por una línea; (B) cilindro elíptico;
(C) cilindro circular.
Toda línea de la superficie paralela
a la línea generatriz, tal como CD o EF en la figura
18-14 (B), es un ELEMENTO DEL CILINDRO. Si los elementos son
perpendiculares a las bases el cilindro es un CILINDRO RECTO.
Si las base son círculos el cilindro es un CILINDRO
CIRCULAR. La figura 18-14 (C) ilustra un cilindro recto circular.
La línea O - O' que une los centros de las bases de
un cilindro recto circular es el EJE del cilindro.
ÁREA DE LA SUPERFICIE Y VOLUMEN
El área lateral de un cilindro es el área de
su superficie curva excluyendo el área de sus bases.
La figura 18-15 ilustra un método experimental para
determinar el área lateral de un cilindro circular
recto.
Figura 18-15. Área lateral de un cilindro.
La cartulina de longitud L y ancho A en la figura 18-15 se
arrolla alrededor del cilindro. La altura del cilindro es
A y la circunferencia es L. El área lateral es la misma
que el área original de la cartulina LA. Por tanto,
el área lateral del cilindro se determina multiplicando
su altura por la circunferencia de su base. Escribiéndolo
como fórmula, esto es:
A = Ch
EJEMPLO: Determinar el área lateral de un cilindro
circular recto cuya base tiene un radio de 4 cm y su altura
es de 6 cm. SOLUCIÓN : La circunferencia de la base
es
C = πd
C = 3,14 x 8 cm
= 25,12 cm
|
En consecuencia,
A = 25,12 cm x 6 cm.
= 151 cm2 aproximadamente
|
La fórmula para el volumen de un cilindro
se obtiene por el mismo razonamiento que se uso para los prismas.
El cilindro se considera compuesto por muchas capas circulares,
o discos, cada uno de un espesor unitario. El área
de cada disco multiplicada por el número de ellos es
el volumen del cilindro. Con V representando
el volumen, A representando el área
de cada disco y n representando el número
de discos, la fórmula es como sigue:
V = An
Puesto que el número de discos es el mismo que la
altura del cilindro la fórmula para el volumen de un
cilindro se escribe normalmente:
V = Bh
En esta fórmula B es el área
de la base y h es la altura del cilindro.
EJEMPLO: Determinar el volumen de un cilindro circular con
una base de radio 5 cm y una altura de 14 cm.
SOLUCIÓN:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Determinar el área lateral de un cilindro circular
recto con base de 7 cm de diámetro y altura de 4 cm.
2. Determinar el volumen del cilindro en el problema 1.
Respuestas:
1. 88 cm2
2. 154 cm3
Pirámides regulares y conos circulares rectos
Una PIRÁMIDE es una figura sólida cuyas caras
laterales son triángulos. (Ver figura 18-16.) Una PIRÁMIDE
REGULAR tiene sus caras laterales iguales.
Figura 18-16. (A) Pirámide irregular;
(B) Pirámide regular.
Una pirámide regular con gran número
de caras laterales tendrá como base un polígono
de muchos lados. Si el número de lados es muy grande
el polígono de la base no se distingue de un círculo
y la superficie formada por la gran cantidad de caras laterales
se transforma en una superficie suavemente curvada. La figura
sólida así formada es un CONO CIRCULAR RECTO.
(Ver figura 18-17.)
Figura 18-17. Cono circular recto.
APOTEMA
La apotema de una pirámide regular
es la distancia perpendicular desde el vértice al centro
de cualquier lado de la base.
Por ejemplo, la longitud de la línea AV en la figura
18-18 (A) es la apotema. La apotema de un cono circular recto
es la longitud de cualquier línea recta que une el
vértice con la circunferencia de la base. Esta línea
es perpendicular a la tangente de la base en el punto donde
la apotema intersecta la base. (Ver figura 18-18 [B].) Las
líneas AV, BV y CV en la figura 18-18 (B) son todas
apotemas.
Figura 18-18. (A) Altura lateral de una pirámide
recta; (B) altura lateral de un cono circular recto.
ÁREA LATERAL
El área lateral de una pirámide
es la suma de las áreas de sus caras laterales. Si
la pirámide es regular, sus caras laterales tienen
bases iguales; por otro lado, la apotema es la altura de cada
cara. Por tanto, el área de cada cara lateral es un
medio de la apotema multiplicado por la longitud de uno de
los lados del polígono de la base. Puesto que la suma
de estos lados es el perímetro de la base, el área
total de la pirámide es el producto de un medio de
su apotema multiplicado por el perímetro de su base.
Usando s para representar la altura de la
apotema y P para representar el perímetro
de la base, la fórmula es como sigue:
Un cono circular recto puede considerarse como
una pirámide regular con un número infinito
de caras. Por tanto, empleando C para representar la circunferencia
de la base, la fórmula para el área lateral
de un cono circular recto es
VOLUMEN
El volumen de una pirámide está determinado
por su base y su altura, como en el caso de otras figuras
sólidas. Los experimentos muestran que el volumen de
cualquier pirámide es 1/3 del producto de su base y
su altura. Esto puede establecerse como una fórmula
representando V el volumen, B
el área de la base y h la altura (altitud),
de este modo:
La fórmula para el volumen de una pirámide
no depende de ninguna manera del número de caras. Por
consiguiente, utilizamos la misma fórmula para el volumen
de un cono circular recto. Visto que la base es un círculo,
reemplazamos B por π r2
(donde r es el radio de la base). La fórmula
para el volumen de un cono circular recto es, pues:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Determinar el área lateral de una pirámide
regular con base de 5 lados, de 3 cm de lado, si la apotema
es de 12 cm.
2. Determinar el área lateral de un cono circular
recto cuya base tiene un diámetro de 6 cm y su apoterna
es de 14 cm.
3. Determinar el volumen de una pirámide regular de
base cuadrada, de 4 cm de lado, si el vértice está
9 cm por encima de la base.
4. Determinar el volumen de un cono circular recto cuya base
tiene un diámetro de 14 cm, si la altura es 21 cm.
Respuestas:
1. 90 cm2 2. 132 cm2
3. 48 cm3 4.1078 cm3
Esferas
Una ESFERA es una figura sólida en la cual todos los
puntos de su superficie están a la misma distancia
de su centro. En la figura 18 19 el cen¬tro de la esfera
es el punto 0.
Figura 18-19. Partes de una esfera
El RADIO de una esfera es un segmento de línea recta
que une el centro de la esfera con un punto de la superficie.
Las líneas AO, OB, OC, OD, OE y OF en la figura 18-19
son todos radios. El DIÁMETRO de una esfera es una
línea recta que une dos puntos de la superficie pasando
a través del centro de la esfera. Las líneas
AB, CD y EF en la figura 18-19 son diámetros. Una SEMIESFERA
es la mitad de una esfera.
Sobre la superficie de una esfera pueden trazarse círculos
de diversos támaños. El círculo mayor
que es posible dibujar es uno con radio igual al radio de
la esfera. Tal círculo es un CÍRCULO MÁXIMO
. En la figura 18-19 los círculos AEBF, ACBD y CEDF
son círculos máximos.
Sobre la superficie de una esfera la distancia más
corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo
trazado de modo tal que pase a través de los dos puntos,
Esto explica la importancia de los círculos máximos
en la ciencia de la navegación, puesto que la Tierra
es aproximadamente una esfera.
AREA DE LA SUPERFICIE
El área de la superficie de una esfera se calcula
multiplicando 4 por π por el cuadrado
del radio. Escrito como fórmula esto es:
A = 4 π r2
La fórmula para el área de la superficie de
una esfera se puede volver a escribir como sigue:
A = ( 2 π r ) ( 2 r )
Cuando la fórmula se factorea en esta
forma es fácil ver que el área de la superficie
de una esfera es simplemente su circunferencia por su diámetro.
VOLUMEN
El volumen de una esfera cuyo radio es r
está dado por la fórmula:
V = 4/3 π r3
Ejemplo: Determinar el volumen de una esfera
cuyo diámetro es 42 cm:
SOLUCIÓN
PRACTICA DE PROBLEMAS:
Calcular el área de la superficie y el volumen de la
esfera en cada uno de los siguientes problemas:
1. Radio = 7 cm
2. Radio = 14 cm
Respuestas:
1. Área = 616 cm2 ; Volumen= 1.437
cm3 (aproximadamente.)
2. Área = 2.464 cm2 ; Volumen 11.499
cm3 (aproximadamente)
|
. 
