CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)


   

 

Construcciones Geométricas y Figuras Sólidas.


 

 


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Cilindros circulares

Toda superficie puede considerarse como el resultado de desplazar una línea recta en una dirección, en ángulo recto a su longitud. Por ejemplo, supongamos que la barrita de carbón de la figura 18-13 se desplaza desde la posición AB a la posición CD marcando el papel. La amplia marca dejada por el carbón representa una superficie plana. Se dice que la superficie se ha "generado" moviendo la línea AB.

Figura 18-13. Superficie generada por una línea en movimiento.

El movimiento de la línea en la figura 18-13 puede controlarse haciendo que su extremo inferior trace un camino determinado. Por ejemplo, si la línea AB se mueve de modo que trace una elipse, como en la figura 18-14 (A), la línea genera una superficie cilíndrica. Esta superficie, indicada en la figura 18-14 (B), es un cilindro elíptico.

Figura 18-14. (A) Generación de un cilindro por una línea; (B) cilindro elíptico; (C) cilindro circular.

Toda línea de la superficie paralela a la línea generatriz, tal como CD o EF en la figura 18-14 (B), es un ELEMENTO DEL CILINDRO. Si los elementos son perpendiculares a las bases el cilindro es un CILINDRO RECTO. Si las base son círculos el cilindro es un CILINDRO CIRCULAR. La figura 18-14 (C) ilustra un cilindro recto circular. La línea O - O' que une los centros de las bases de un cilindro recto circular es el EJE del cilindro.

ÁREA DE LA SUPERFICIE Y VOLUMEN

El área lateral de un cilindro es el área de su superficie curva excluyendo el área de sus bases. La figura 18-15 ilustra un método experimental para determinar el área lateral de un cilindro circular recto.

Figura 18-15. Área lateral de un cilindro.

La cartulina de longitud L y ancho A en la figura 18-15 se arrolla alrededor del cilindro. La altura del cilindro es A y la circunferencia es L. El área lateral es la misma que el área original de la cartulina LA. Por tanto, el área lateral del cilindro se determina multiplicando su altura por la circunferencia de su base. Escribiéndolo como fórmula, esto es:

A = Ch

EJEMPLO: Determinar el área lateral de un cilindro circular recto cuya base tiene un radio de 4 cm y su altura es de 6 cm. SOLUCIÓN : La circunferencia de la base es

C = πd
C = 3,14 x 8 cm
   = 25,12 cm

En consecuencia,

A = 25,12 cm x 6 cm.
    = 151 cm2 aproximadamente

La fórmula para el volumen de un cilindro se obtiene por el mismo razonamiento que se uso para los prismas. El cilindro se considera compuesto por muchas capas circulares, o discos, cada uno de un espesor unitario. El área de cada disco multiplicada por el número de ellos es el volumen del cilindro. Con V representando el volumen, A representando el área de cada disco y n representando el número de discos, la fórmula es como sigue:

V = An

Puesto que el número de discos es el mismo que la altura del cilindro la fórmula para el volumen de un cilindro se escribe normalmente:

V = Bh

En esta fórmula B es el área de la base y h es la altura del cilindro.

EJEMPLO: Determinar el volumen de un cilindro circular con una base de radio 5 cm y una altura de 14 cm.

SOLUCIÓN:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Determinar el área lateral de un cilindro circular recto con base de 7 cm de diámetro y altura de 4 cm.
2. Determinar el volumen del cilindro en el problema 1.

Respuestas:

1.  88 cm2
2. 154 cm3

Pirámides regulares y conos circulares rectos

Una PIRÁMIDE es una figura sólida cuyas caras laterales son triángulos. (Ver figura 18-16.) Una PIRÁMIDE REGULAR tiene sus caras laterales iguales.

Figura 18-16. (A) Pirámide irregular; (B) Pirámide regular.

Una pirámide regular con gran número de caras laterales tendrá como base un polígono de muchos lados. Si el número de lados es muy grande el polígono de la base no se distingue de un círculo y la superficie formada por la gran cantidad de caras laterales se transforma en una superficie suavemente curvada. La figura sólida así formada es un CONO CIRCULAR RECTO. (Ver figura 18-17.)

Figura 18-17. Cono circular recto.

APOTEMA

La apotema de una pirámide regular es la distancia perpendicular desde el vértice al centro de cualquier lado de la base.
Por ejemplo, la longitud de la línea AV en la figura 18-18 (A) es la apotema. La apotema de un cono circular recto es la longitud de cualquier línea recta que une el vértice con la circunferencia de la base. Esta línea es perpendicular a la tangente de la base en el punto donde la apotema intersecta la base. (Ver figura 18-18 [B].) Las líneas AV, BV y CV en la figura 18-18 (B) son todas apotemas.

Figura 18-18. (A) Altura lateral de una pirámide recta; (B) altura lateral de un cono circular recto.

ÁREA LATERAL

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales. Si la pirámide es regular, sus caras laterales tienen bases iguales; por otro lado, la apotema es la altura de cada cara. Por tanto, el área de cada cara lateral es un medio de la apotema multiplicado por la longitud de uno de los lados del polígono de la base. Puesto que la suma de estos lados es el perímetro de la base, el área total de la pirámide es el producto de un medio de su apotema multiplicado por el perímetro de su base. Usando s para representar la altura de la apotema y P para representar el perímetro de la base, la fórmula es como sigue:

Un cono circular recto puede considerarse como una pirámide regular con un número infinito de caras. Por tanto, empleando C para representar la circunferencia de la base, la fórmula para el área lateral de un cono circular recto es

VOLUMEN

El volumen de una pirámide está determinado por su base y su altura, como en el caso de otras figuras sólidas. Los experimentos muestran que el volumen de cualquier pirámide es 1/3 del producto de su base y su altura. Esto puede establecerse como una fórmula representando V el volumen, B el área de la base y h la altura (altitud), de este modo:

La fórmula para el volumen de una pirámide no depende de ninguna manera del número de caras. Por consiguiente, utilizamos la misma fórmula para el volumen de un cono circular recto. Visto que la base es un círculo, reemplazamos B por π r2 (donde r es el radio de la base). La fórmula para el volumen de un cono circular recto es, pues:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

1. Determinar el área lateral de una pirámide regular con base de 5 lados, de 3 cm de lado, si la apotema es de 12 cm.

2. Determinar el área lateral de un cono circular recto cuya base tiene un diámetro de 6 cm y su apoterna es de 14 cm.

3. Determinar el volumen de una pirámide regular de base cuadrada, de 4 cm de lado, si el vértice está 9 cm por encima de la base.

4. Determinar el volumen de un cono circular recto cuya base tiene un diámetro de 14 cm, si la altura es 21 cm.

Respuestas:

1. 90 cm2   2. 132 cm2   3. 48 cm3   4.1078 cm3

Esferas

Una ESFERA es una figura sólida en la cual todos los puntos de su superficie están a la misma distancia de su centro. En la figura 18 19 el cen¬tro de la esfera es el punto 0.

Figura 18-19. Partes de una esfera

El RADIO de una esfera es un segmento de línea recta que une el centro de la esfera con un punto de la superficie. Las líneas AO, OB, OC, OD, OE y OF en la figura 18-19 son todos radios. El DIÁMETRO de una esfera es una línea recta que une dos puntos de la superficie pasando a través del centro de la esfera. Las líneas AB, CD y EF en la figura 18-19 son diámetros. Una SEMIESFERA es la mitad de una esfera.
Sobre la superficie de una esfera pueden trazarse círculos de diversos támaños. El círculo mayor que es posible dibujar es uno con radio igual al radio de la esfera. Tal círculo es un CÍRCULO MÁXIMO . En la figura 18-19 los círculos AEBF, ACBD y CEDF son círculos máximos.
Sobre la superficie de una esfera la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo trazado de modo tal que pase a través de los dos puntos, Esto explica la importancia de los círculos máximos en la ciencia de la navegación, puesto que la Tierra es aproximadamente una esfera.

AREA DE LA SUPERFICIE

El área de la superficie de una esfera se calcula multiplicando 4 por π por el cuadrado del radio. Escrito como fórmula esto es:

A = 4 π r2

La fórmula para el área de la superficie de una esfera se puede volver a escribir como sigue:

A = ( 2 π r ) ( 2 r )

Cuando la fórmula se factorea en esta forma es fácil ver que el área de la superficie de una esfera es simplemente su circunferencia por su diámetro.

VOLUMEN

El volumen de una esfera cuyo radio es r está dado por la fórmula:

V = 4/3 π r3

Ejemplo: Determinar el volumen de una esfera cuyo diámetro es 42 cm:

SOLUCIÓN

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Calcular el área de la superficie y el volumen de la esfera en cada uno de los siguientes problemas:

1. Radio = 7 cm              2. Radio = 14 cm

Respuestas:

1. Área = 616 cm2 ;  Volumen= 1.437 cm3 (aproximadamente.)

2. Área = 2.464 cm2 ;  Volumen 11.499 cm3 (aproximadamente)

 

 


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