Triángulos 3-4-5
El triángulo mostrado en la figura 19-14 tiene sus
lados en la relación 3 a 4 a 5. Todo triángulo
con sus lados en esta relación es un triángulo
rectángulo.
Constituye un error común suponer que un triángulo
es del tipo 3-4-5 porque dos lados están en relación
3 a 4 ó quizás 4 a 5. En la figura 19-15 se
muestran dos ejemplos de triángulos que tienen dos
de sus lados en la relación establecida, pero no el
tercer lado.
Figura 19-13. Determinación de los
elementos desconocidos en un triángulo de 45° -
90°
Figura 19-14. Triángulo 3-4-5.
Figura 19-15. Triángulos que pueden
confundirse con el triángulo 3-4-5.
Esto puede ser porque el triángulo no
es rectángulo, como en la figura 19-15 (A). Por otra
parte, aun cuando el triángulo es un triángulo
rectángulo su lado mayor es de 4 unidades de largo,
en cuyo caso el tercer lado no puede medir 5 unidades. (Ver
figura 19-15 (B))
Es interesante notar que el tercer lado en la figura 19-15
(B) es √7. Se trata de una coincidencia verdaderamente
fortuita en la cual un lado de un triángulo rectángulo
es la raíz cuadrada de la suma de los otros dos lados.
Relacionados con el triángulo básico 3-4-5 están
todos los triángulos cuyos lados se hallan en la relación
3 a 4 a 5, pero no mayores (proporcionalmente) que estas longitudes
básicas. Por ejemplo, el triángulo ilustrado
en la figura 19-16 es un triángulo 3- 4-5.
Figura 19-16. Triángulo con lados
múltiplos de 3, 4 y 5.
Los triángulos 3-4-5 son muy útiles
para calcular distancias. Sí los datos pueden adaptarse
para fijarse en una configuración 3-4-5 no es necesario
usar tablas o calcular la raíz cuadrada (teorema de
Pitágoras).
EJEMPLO: Un observador encima de una torre vertical de 40
metros sabe que la base de la torre está a 30 metros
de un blanco. ¿Cuál es su distancia al blanco?
(línea directa de visión).
SOLUCIÓN: En la figura 19-17 se observa que la longitud
buscada, AB, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo
cuyos lados más cortos tienen 30 y 40 metros. Visto
que estos lados se hallan en la relación 3 a 4 y el
ángulo C es de 90°, el triángulo es del
tipo 3-4-5. En consecuencia, el lado AB representa el lado
de 5 unidades del triángulo. La relación 30
a 40 a 50 el equivalente a 3-4-5, y entonces el lado AB mide
50 unidades de largo.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sin referirse a las tablas o al teorema de Pitágoras,
resolver los siguientes problemas:
1. Un observador se encuentra en la punta de una torre vertical
de 30 metros. Calcular su distancia a un blanco que está
en tierra a 40 metros de la base de la torre.
Figura 19-17. Resolución de problemas
con un triángulo 3-4-5.
2. Un cable de retención de 15 metros de largo se
estira desde el tope de un mástil hasta un punto sobre
cubierta que dista 9 metros de la base del mástil.
Calcular la altura de este último.
Respuestas:
1. 50 metros 2.
12 metros
TRIANGULOS OBLICUOS
En el Capítulo
17 de este curso se definieron los triángulos oblicuos
como triángulos que no contienen ángulos rectos.
Una aproximación natural a la resolución de
problemas que implican triángulos oblicuos es construir
líneas perpendiculares y formar triángulos rectángulos
que subdividan el triángulo original. Entonces, el
problema se resuelve por los métodos usuales para triángulos
rectángulos.
División en triángulos rectángulos
El triángulo oblicuo ABC en la figura 19-18
se ha dividido en dos triángulos rectángulos
trazando una línea BD perpendicular a AC. La longitud
de AC se determina como sigue:
1. Determinar la longitud de AD
Figura 19-18. Determinación de las
partes desconocidas en un triángulo oblicuo.
Precaución: Una consideración
poco cuidadosa de este problema llevaría al estudiante
desprevenido a representar la relación AC/AB como el
coseno de 40°. Este error se evita sólo teniendo
en cuenta que las relaciones trigonométricas se basan
en triángulos RECTÁNGULOS.
2. Para determinar la longitud de DC, primero
se calcula BD.
3. Determinar la longitud de DC.
4. Sumar AD y DC para determinar AC.
26,8 + 6,01 = 32,81
AC = 32,8 (aproximadamente)
Resolución por ecuaciones simultáneas
Un problema típico en trigonometría es la determinación
de la altura de un punto tal como B en la figura 19-19.
Figura 19-19. Cálculo de cantidades
desconocidas por medio de triángulos oblicuángulos.
Supongamos que el punto B sea la cima de una
colina y el punto D es inaccesible. En tal caso las únicas
mediciones posibles sobre tierra son las mostradas en la figura
19-19. Si h representa BD y x
representa CD podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones
simultáneas:
Resolviendo estas dos ecuaciones para h
en téminos de x resulta
Visto que las dos cantidades son iguales a h
deben ser iguales entre sí; tenemos, pues,
Sabiendo el valor de x es posible
ahora calcular h como sigue:
Figura 19-20. (A) Triángulo oblicuo
con todos los ángulos agudos; (B) triángulo
obtuso.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Determinar la longitud del lado BC en la
figura 19-20 (A).
2. Determinar la altura del punto B por encima de la línea
AD en la figura 19-20 (B).
Respuestas:
1. 21,3 metros
2.
41,7 metros
Figura 19-21. (A) Triángulo oblicuo
agudo con su designación normal; (B) triángulo
obtuso con su designación normal.
Ley de los senos
La ley de los senos permite una aproximación directa
a la solución de triángulos oblicuos evitando
la necesidad de subdividirlos en triángulos rectángulos.
Sea el triángulo de la figura 19-21 (A) representante
de cualquier triángulo oblicuo con todos sus ángulos
agudos.
Las letras usadas en la figura 19-21 son las normales. La
letra minúscula a se usa para el lado
opuesto al ángulo A; la letra minúscula b
es opuesta al ángulo B; la minúscula c
es opuesta al ángulo C.
La ley de los senos establece que en todo triángulo,
sea éste agudo, corno en la figura 19-21 (A), u obtuso,
como en la figura 19-21 (B), es cierta la siguiente relación:
EJEMPLO: En la figura 19-21 (A) el ángulo A es de
15° y el ángulo C es de 85°. Si BC mide 20
unidades, determinar la longitud de AB.
SOLUCIÓN : Por la ley de los senos,
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