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Trigonometría Numérica


 

 


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TRIGONOMETRÍA

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Triángulos 3-4-5

El triángulo mostrado en la figura 19-14 tiene sus lados en la relación 3 a 4 a 5. Todo triángulo con sus lados en esta relación es un triángulo rectángulo.
Constituye un error común suponer que un triángulo es del tipo 3-4-5 porque dos lados están en relación 3 a 4 ó quizás 4 a 5. En la figura 19-15 se muestran dos ejemplos de triángulos que tienen dos de sus lados en la relación establecida, pero no el tercer lado.

Figura 19-13. Determinación de los elementos desconocidos en un triángulo de 45° - 90°

Figura 19-14. Triángulo 3-4-5.

Figura 19-15. Triángulos que pueden confundirse con el triángulo 3-4-5.

Esto puede ser porque el triángulo no es rectángulo, como en la figura 19-15 (A). Por otra parte, aun cuando el triángulo es un triángulo rectángulo su lado mayor es de 4 unidades de largo, en cuyo caso el tercer lado no puede medir 5 unidades. (Ver figura 19-15 (B))

Es interesante notar que el tercer lado en la figura 19-15 (B) es √7. Se trata de una coincidencia verdaderamente fortuita en la cual un lado de un triángulo rectángulo es la raíz cuadrada de la suma de los otros dos lados.
Relacionados con el triángulo básico 3-4-5 están todos los triángulos cuyos lados se hallan en la relación 3 a 4 a 5, pero no mayores (proporcionalmente) que estas longitudes básicas. Por ejemplo, el triángulo ilustrado en la figura 19-16 es un triángulo 3- 4-5.

Figura 19-16. Triángulo con lados múltiplos de 3, 4 y 5.

Los triángulos 3-4-5 son muy útiles para calcular distancias. Sí los datos pueden adaptarse para fijarse en una configuración 3-4-5 no es necesario usar tablas o calcular la raíz cuadrada (teorema de Pitágoras).

EJEMPLO: Un observador encima de una torre vertical de 40 metros sabe que la base de la torre está a 30 metros de un blanco. ¿Cuál es su distancia al blanco? (línea directa de visión).

SOLUCIÓN: En la figura 19-17 se observa que la longitud buscada, AB, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados más cortos tienen 30 y 40 metros. Visto que estos lados se hallan en la relación 3 a 4 y el ángulo C es de 90°, el triángulo es del tipo 3-4-5. En consecuencia, el lado AB representa el lado de 5 unidades del triángulo. La relación 30 a 40 a 50 el equivalente a 3-4-5, y entonces el lado AB mide 50 unidades de largo.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Sin referirse a las tablas o al teorema de Pitágoras, resolver los siguientes problemas:

1. Un observador se encuentra en la punta de una torre vertical de 30 metros. Calcular su distancia a un blanco que está en tierra a 40 metros de la base de la torre.

Figura 19-17. Resolución de problemas con un triángulo 3-4-5.

2. Un cable de retención de 15 metros de largo se estira desde el tope de un mástil hasta un punto sobre cubierta que dista 9 metros de la base del mástil. Calcular la altura de este último.

Respuestas:

1. 50 metros        2. 12 metros

TRIANGULOS OBLÍCUOS

En otra página de este curso se definieron los triángulos oblicuos como triángulos que no contienen ángulos rectos. Una aproximación natural a la resolución de problemas que implican triángulos oblicuos es construir líneas perpendiculares y formar triángulos rectángulos que subdividan el triángulo original. Entonces, el problema se resuelve por los métodos usuales para triángulos rectángulos.

División en triángulos rectángulos
El triángulo oblicuo ABC en la figura 19-18 se ha dividido en dos triángulos rectángulos trazando una línea BD perpendicular a AC. La longitud de AC se determina como sigue:

1. Determinar la longitud de AD

Figura 19-18. Determinación de las partes desconocidas en un triángulo oblicuo.

Precaución: Una consideración poco cuidadosa de este problema llevaría al estudiante desprevenido a representar la relación AC/AB como el coseno de 40°. Este error se evita sólo teniendo en cuenta que las relaciones trigonométricas se basan en triángulos RECTÁNGULOS.

2. Para determinar la longitud de DC, primero se calcula BD.

3. Determinar la longitud de DC.

4. Sumar AD y DC para determinar AC.

26,8 + 6,01 = 32,81
             AC = 32,8 (aproximadamente)

Resolución por ecuaciones simultáneas

Un problema típico en trigonometría es la determinación de la altura de un punto tal como B en la figura 19-19.

Figura 19-19. Cálculo de cantidades desconocidas por medio de triángulos oblicuángulos.

Supongamos que el punto B sea la cima de una colina y el punto D es inaccesible. En tal caso las únicas mediciones posibles sobre tierra son las mostradas en la figura 19-19. Si h representa BD y x representa CD podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

Resolviendo estas dos ecuaciones para h en téminos de x resulta

Visto que las dos cantidades son iguales a h deben ser iguales entre sí; tenemos, pues,

Sabiendo el valor de x es posible ahora calcular h como sigue:

 

Figura 19-20. (A) Triángulo oblicuo con todos los ángulos agudos; (B) triángulo obtuso.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

1. Determinar la longitud del lado BC en la figura 19-20 (A).
2. Determinar la altura del punto B por encima de la línea AD en la figura 19-20 (B).

Respuestas:

1. 21,3 metros                  2. 41,7 metros

Figura 19-21. (A) Triángulo oblicuo agudo con su designación normal; (B) triángulo obtuso con su designación normal.

Ley de los senos

La ley de los senos permite una aproximación directa a la solución de triángulos oblicuos evitando la necesidad de subdividirlos en triángulos rectángulos. Sea el triángulo de la figura 19-21 (A) representante de cualquier triángulo oblicuo con todos sus ángulos agudos.
Las letras usadas en la figura 19-21 son las normales. La letra minúscula a se usa para el lado opuesto al ángulo A; la letra minúscula b es opuesta al ángulo B; la minúscula c es opuesta al ángulo C.
La ley de los senos establece que en todo triángulo, sea éste agudo, corno en la figura 19-21 (A), u obtuso, como en la figura 19-21 (B), es cierta la siguiente relación:

EJEMPLO: En la figura 19-21 (A) el ángulo A es de 15° y el ángulo C es de 85°. Si BC mide 20 unidades, determinar la longitud de AB.

SOLUCIÓN : Por la ley de los senos,

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