FRACCIONES COMUNES
En páginas anteriores del presente curso se ha dado
énfasis a los enteros (números enteros). En
éste desviaremos nuestra atención hacia los
números que no son enteros. El tipo más simple
de número no entero es una FRACCIÓN COMÚN.
Las fracciones comunes y los números enteros comprenden
un grupo de números llamados NÚMEROS RACIONALES;
este grupo es un subgrupo del grupo de los números
reales.
La recta numérica puede utilizarse para mostrar las
relaciones entre enteros y fracciones. Por ejemplo, si el
intervalo entre 0 y 1 se marca para formar tres espacios iguales
(tercios), cada espacio así formado es un tercio del
intervalo total. Si nos desplazamos a lo largo de la recta
numérica de 0 a 1 cubriremos dos de los tres "tercios"
cuando alcanzamos la segunda marca. Entonces, la posición
de la segunda marca representa el número 2/3 (ver figura
4-1).
Figura. 4-1. Enteros y fracciones en la recta
numérica.
Los números 2 y 3 en la fracción 2/3 se denominan
de forma tal que se pueda distinguirlos entre sí; 2
es el NUMERADOR y 3 es el DENOMINADOR. En general, el número
ubicado encima de la línea divisoria en una fracción
es el numerador y el número que está debajo
de la línea es el denominador. El numerador y el denominador
son los TÉRMINOS de la fracción. La palabra
"numerador" se relaciona con el vocablo "enumerar".
Enumerar significa “decir cuánto” así
pues, el numerador nos dice cuántas partes fraccionales
hay en la fracción indicada. Por otra parte, denominar
significa “dar un nombre" o “decir de qué
tipo"; entonces, el denominador nos dice qué tipos
de partes tenemos (mitades, tercios, cuartos, etcétera).
Las tentativas para definir la palabra "fracción",
en matemáticas, conducen generalmente a establecer
algo similar a lo que sigue: Una fracción es una división
indicada.
Toda división puede indicarse colocando el dividendo
sobre el divisor y trazando una línea entre ellos.
Por esta definición, todo número que pueda escribirse
como la relación de dos enteros (un entero sobre el
otro) puede considerarse como una fracción. Esto nos
conduce a otra definición: Todo número que pueda
expresarse como la relación de dos enteros es un número
RACIONAL. Observe que todo entero es un número racional,
porque podemos escribir cualquier entero como el numerador
de una fracción que tenga 1 en su denominador. Por
ejemplo, 5 es lo mismo que 5/l. De la definición resulta
evidente que toda fracción común es también
un número racional.
TIPOS DE FRACCIONES
Las fracciones se clasifican a menudo como propias o impropias.
Una fracción propia es aquella en la cual el numerador
es numéricamente más pequeño que el denominador.
Una fracción impropia tiene el numerador mayor que
su denominador.
Números mixtos
Cuando el numerador de una fracción impropia se divide
por su numerador se produce un resto junto con el cociente,
a no ser que el numerador sea un múltiplo exacto del
denominador. Por ejemplo, 7/5 es igual a 1 más un resto
2. Este resto puede indicarse como un dividendo con 5 como
divisor, de este modo:
La expresión 1 + 2/5 es un NÚMERO
MIXTO. Los números mixtos se escriben por lo general
sin indicar el signo más; vale decir, 1 + 2/5 es lo
mismo que
Cuando se escribe un número mixto como 1 2/5 debe
cuidarse de asegurar que hay un espacio entre el 1 y el 2;
de lo contrario 1 2/5 podría confundirse con 12/5.
Fracciones de medidas
Las fracciones de medidas se producen en problemas tales
como el que sigue: si se pagaron $ 200 por una alfombra para
camarote a razón de $ 300 el metro, ¿cuántos
metros se compraron? Si se hubieran gastado $ 600 podríamos
determinar el número de metros dividiendo simplemente
el costo por metro por la cantidad gastada. Puesto que 600/300
es 2, dos metros se comprarían con $ 600. El mismo
razonamiento se aplica cuando se gasta $ 200, pero en este
caso sólo podemos indicar la cantidad comprada como
lo señala la división 200/300. La figura 4-2
muestra un diagrama tanto para él gasto de $ 600 como
para el de $ 200.
Figura 4-2. Medición de fracciones.
Fracciones partitivas
La diferencia entre fracciones de medida y
fracciones partitivas se explica de este modo: las fracciones
de medida resultan cuando determinamos cuántas piezas
de determinado tamaño pueden cortarse de una pieza
mayor. Las fracciones partitivas resultan cuando cortamos
un número de trozos de igual tamaño de una pieza
grande y luego determinamos el tamaño de cada una de
las piezas menores. Por ejemplo, si deben cortarse cuatro
trozos iguales de caño de una tira de 3 metros, ¿cuál
es el tamaño de cada pedazo?. Si el problema se hubiera
planteado como que 3 trozos iguales deben cortarse de un caño
de 6 metros podríamos determinar el tamaño de
cada trozo de caño dividiendo el número de longitudes
iguales por la longitud total. Entonces, puesto que 6/3 es
2, cada trozo tendría 2 metros de largo. por este mismo
razonamiento en el ejemplo anterior dividimos la longitud
total por el número de partes iguales para obtener
el tamaño de las piezas individuales; esto es, 3/4
metro. Los caños de 3 y 6 metros, divididos, se muestran
en la figura 4-3.
FIGURA 4-3. Fracciones partitivas.
Expresando relaciones
Cuando una fracción se emplea para expresar
una relación el numerador y el denominador toman un
significado individual. En este caso, 3/4 significa 3 de 4,
o 3 partes de 4, o la relación de 3 a 4. Por ejemplo,
si 1 de cada 3 hombres de una división está
en libertad será correcto establecer que 1/3 de la
división se halla en libertad. Observe que ninguna
de estas formas de expresar las relaciones nos dice en realidad
el número de hombres: la relación en sí
es el hecho importante.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Hay que hacer notar que todo número dividido por sí
mismo es 1. Por ejemplo, l/l, 2/2, 3/3, 4/4 y todo otro número
formado de esta manera tendrá valor 1. Además,
todo número multiplicado por 1 es equivalente al número
dado. Por ejemplo, 1 por 2 es 2, 1 por 3 es 3, 1 por 1/2 es
1/2, etcétera.
Estos hechos se utilizan para cambiar la forma de una fracción
a una forma equivalente que es más conveniente para
usar en un problema particular.
Por ejemplo, si 1 en la forma 2/2 se multiplica por 3/5,
el producto aún tendrá el valor de 3/5 pero
estará en una forma diferente, como sigue:
La figura 4-4 muestra que 3/5 de la línea
a es igual a 6/10 de la línea b, donde la línea
a es igual a la línea b. La línea a está
marcada en quintos y la línea b está marcada
en décimos. Es fácil ver que 6/10 y 3/5 miden
la misma longitud.
Figura 4-4. Fracciones equivalentes.
Las divisiones en una regla muestran fracciones
equivalentes. La división principal de un centímetro
lo dividen dos partes iguales. Una de estas partes representa
1/2. Las marcas menores dividen al centímetro en diez
partes iguales. Se notará que cinco de estas partes
representan la misma distancia que 1/2; es decir, 5/10 es
igual a 1/2. Además, las divisiones más pequeñas
dividen al centímetro en 10 partes iguales. ¿Cuántas
de estas partes son equivalentes a 1/2 centímetro?
La respuesta se encuentra observando que 5/10 es igual a 1/2.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Usando como referencia las divisiones de una regla, complete
los siguientes ejercicios:
Respuestas:
1. 2
3. 4
2. 5
4. 10
Una revisión de los ejercicios anteriores revela que
en cada caso la fracción de la derecha puede ser formada
multiplicando el numerador y el denominador de la fracción
izquierda por el mismo número. En cada caso el número
puede determinarse dividiendo el denominador de la fracción
derecha por el denominador de la fracción izquierda.
Entonces, en el problema 1 ambos términos de 1/5 se
multiplicaron por 2. En el problema 3, ambos términos
de 2/5 se multiplicaron por 4. Se ve que multiplicando ambos
términos de una fracción por el mismo número
no cambia el valor de la fracción.
Visto que 1/2 es igual a 2/4, la inversa también tiene
que ser cierta, es decir, 2/4 debe ser igual a 1 /2. Esto
puede verificarse igualmente por medio de una regla. Hemos
visto antes que 4/8 es lo mismo que 1/2; 12/16 es igual a
3/4, y 2/8 es igual a 1/4. Vemos que dividiendo ambos términos
de una fracción por el mismo número no cambia
el valor de la fracción.
Reglas fundamentales de las fracciones
Los resultados anteriores están combinados para formar
la regla fundamental de las fracciones, que se establece como
sigue: multiplicando o dividiendo ambos términos de
una fracción por el mismo número no cambia el
valor de la fracción. Esta es una de las reglas más
importantes usadas con las fracciones.
Los siguientes ejemplos ilustran cómo se usa la regla
fundamental:
1. Cambiar 1/4 a doceavos. Este problema se plantea en la
siguiente forma:
El primer paso consiste en determinar cuántos 4 están
contenidos en 12. La respuesta es 3, de modo que sabemos que
el multiplicador para ambos términos de la fracción
es 3, como sigue:
2. ¿Qué fracción con numerador
6 es igual a 3/4?
SOLUCIÓN: 
Vemos que 6 contiene 3 dos veces; por tanto,
necesitamos duplicar el numerador de la fracción derecha
para hacerla equivalente al numerador de la fracción
que hemos visto. Multiplicamos ambos términos de 3/4
por 2, obteniendo 8 como denominador de la nueva fracción,
de la siguiente forma:
3. Cambiar 6/16 a octavos.
SOLUCIÓN : 
Observamos que el denominador de la fracción
que estamos tratando es 1/2, tan grande como el denominador
de la fracción original. Por consiguiente, la nueva
fracción estará formada dividiendo ambos términos
de la fracción original por 2, como sigue:
Reducción a los términos de menor
valor
A menudo conviene transformar una fracción
a otra equivalente con los términos de menor valor
posible; vale decir, con el numerador y denominador más
pequeños posibles. Este proceso se llama REDUCCIÓN.
Así, 6/30 reducido a los menores términos es
1/5. La reducción puede realizarse determinando el
factor más grande común tanto al numerador como
al denominador y dividiendo ambos términos por él.
Dividiendo ambos términos del ejemplo
anterior por 6 se reduce la fracción a los mínimos
términos. En los cálculos las fracciones deben
reducirse a los términos menores cuando es posible.
Si no puede hallarse con facilidad el factor
común mayor puede extraerse cualquier factor común
y repetir el proceso hasta que la fracción tenga sus
términos más pequeños: Entonces, 18/48
se dividiría primero por 2 y luego por 3.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Reducir las siguientes fracciones a los términos
de menor valor.
Fracciones impropias
Si bien las fracciones "impropias" son en realidad
"muy apropiadas" matemáticamente, por lo
general es costumbre cambiarlas a número mixto. Un
recipiente podría contener 1 1/2 tazas de leche, pero
podría no contener 3/2 tazas de leche.
Puesto que una fracción es una división indicada
conocemos ya un método para la reducción de
fracciones impropias a números mixtos. La fracción
impropia 8/3 puede considerarse la división de 8 por
3. Esta división se efectúa como sigue:
La exactitud de esto puede verificarse en otra
forma: Si 1 es igual a 3/3, entonces 2 es igual a 6/3. Entonces:
Estos ejemplos nos llevan a la siguiente conclusión,
que se establece corno una regla: Para cambiar una fracción
impropia a número mixto se divide el numerador por
el denominador y se escribe la parte fraccionaria del cociente
con los términos de menor valor.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Transformar las siguientes fracciones a números
mixtos:
Operaciones con números mixtos
Generalmente, en los cálculos los números mixtos
son engorrosos. Así como es posible transformar cualquier
fracción impropia a número mixto, también
resulta factible cambiar cualquier número mixto a fracción
impropia. El problema puede reducirse a determinar una fracción
equivalente y sumar.
EJEMPLO: Cambiar 2 1/5 a fracción impropia.
SOLUCIÓN:
Paso 1: Escribir 2 1/5 como número entero más
una fracción, 2 + 1/5
Paso 2: Transformar 2 a fracción equivalente con denominador
5, como sigue:
EJEMPLO: Escribir 5 2/9 como fracción
impropia.
En cada uno de estos ejemplos observe que el
multiplicador empleado en el paso 2 es el mismo número
de la parte fraccional del número mixto original. Esto
nos lleva a la siguiente conclusión, que se establece
como una regla: para transformar un número mixto en
una fracción impropia se multiplica la parte entera
por el denominador de la parte fraccionaría y se suma
el numerador a este producto. El resultado es el numerador
de la fracción impropia, su denominador es el mismo
que el denominador de la parte fraccionaria del número
mixto original.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Convertirlos siguientes números mixtos
a fracciones impropias:
Fracciones negativas
Una fracción precedida por un signo menos es negativa.
Toda fracción negativa equivale a una fracción
positiva multiplicada por - 1. Por ejemplo:
El número -2/5 se lee “menos dos quintos".
Sabemos que el cociente de dos números con signos
desiguales es negativo. Por tanto,
Esto indica que una fracción negativa
equivale a una fracción con un numerador negativo o
un denominador negativo.
Un signo menos puede ser transportado dentro
de una fracción. Puede colocarse antes del numerador,
antes del denominador o antes de la fracción misma.
Así,
El mover el signo menos del numerador al denominador,
o viceversa, es equivalente a multiplicar los términos
de la fracción por -1. Esto se muestra en los ejemplos
siguientes:
Una fracción puede considerarse que tiene tres signos
asociados con ella: el signo del numerador, el signo del denominador
y el signo que precede a la fracción. Dos cualesquiera
de estos signos pueden cambiarse sin modificar el valor de
la fracción. Entonces,
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