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FRACCIONES COMUNES.


 

 


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FRACCIONES COMUNES. TIPOS DE FRACCIONES. REGLAS FUNDAMENTALES DE FRACCIONES. NÚMEROS MIXTOS

En páginas anteriores del presente curso se ha dado énfasis a los enteros (números enteros). En éste desviaremos nuestra atención hacia los números que no son enteros. El tipo más simple de número no entero es una FRACCIÓN COMÚN. Las fracciones comunes y los números enteros comprenden un grupo de números llamados NÚMEROS RACIONALES; este grupo es un subgrupo del grupo de los números reales.

La recta numérica puede utilizarse para mostrar las relaciones entre enteros y fracciones. Por ejemplo, si el intervalo entre 0 y 1 se marca para formar tres espacios iguales (tercios), cada espacio así formado es un tercio del intervalo total. Si nos desplazamos a lo largo de la recta numérica de 0 a 1 cubriremos dos de los tres "tercios" cuando alcanzamos la segunda marca. Entonces, la posición de la segunda marca representa el número 2/3 (ver figura 4-1).

Figura. 4-1. Enteros y fracciones en la recta numérica.

Los números 2 y 3 en la fracción 2/3 se denominan de forma tal que se pueda distinguirlos entre sí; 2 es el NUMERADOR y 3 es el DENOMINADOR. En general, el número ubicado encima de la línea divisoria en una fracción es el numerador y el número que está debajo de la línea es el denominador. El numerador y el denominador son los TÉRMINOS de la fracción. La palabra "numerador" se relaciona con el vocablo "enumerar". Enumerar significa “decir cuánto” así pues, el numerador nos dice cuántas partes fraccionales hay en la fracción indicada. Por otra parte, denominar significa “dar un nombre" o “decir de qué tipo"; entonces, el denominador nos dice qué tipos de partes tenemos (mitades, tercios, cuartos, etcétera).

Las tentativas para definir la palabra "fracción", en matemáticas, conducen generalmente a establecer algo similar a lo que sigue: Una fracción es una división indicada.

Toda división puede indicarse colocando el dividendo sobre el divisor y trazando una línea entre ellos. Por esta definición, todo número que pueda escribirse como la relación de dos enteros (un entero sobre el otro) puede considerarse como una fracción. Esto nos conduce a otra definición: Todo número que pueda expresarse como la relación de dos enteros es un número RACIONAL. Observe que todo entero es un número racional, porque podemos escribir cualquier entero como el numerador de una fracción que tenga 1 en su denominador. Por ejemplo, 5 es lo mismo que 5/l. De la definición resulta evidente que toda fracción común es también un número racional.

TIPOS DE FRACCIONES

Las fracciones se clasifican a menudo como propias o impropias. Una fracción propia es aquella en la cual el numerador es numéricamente más pequeño que el denominador. Una fracción impropia tiene el numerador mayor que su denominador.

1) Fracciones propias: Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.

Ejemplo :

2) Fracciones impropias: Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Las fracciones impropias son las que dan origen a los números mixtos.

3) Fracciones homogéneas: Dos o más fracciones son homogéneas cuando tienen el mismo denominador.

4) Fracciones heterogéneas: Dos o más fracciones son heterogéneas cuando tienen distintos denominadores.

5) Fracciones equivalentes: Una fracción es equivalente a otra fracción si la segunda resulta de multiplicar o dividir al numerador y al denominador de la primera por un mismo número.

6) Fracción irreductible: Cuando el numerador y denominador son primos entre sí (primos relativos).

Ejemplo : 3/7

7) Fracciones iguales a la unidad: Cuando tienen numerador y denominador iguales.

Números mixtos

Cuando el numerador de una fracción impropia se divide por su numerador se produce un resto junto con el cociente, a no ser que el numerador sea un múltiplo exacto del denominador. Por ejemplo, 7/5 es igual a 1 más un resto 2. Este resto puede indicarse como un dividendo con 5 como divisor, de este modo:

La expresión 1 + 2/5 es un NÚMERO MIXTO. Los números mixtos se escriben por lo general sin indicar el signo más; vale decir, 1 + 2/5 es lo mismo que

 

Cuando se escribe un número mixto como 1 2/5 debe cuidarse de asegurar que hay un espacio entre el 1 y el 2; de lo contrario 1 2/5 podría confundirse con 12/5.

Fracciones de medidas

Las fracciones de medidas se producen en problemas tales como el que sigue: si se pagaron $ 200 por una alfombra para camarote a razón de $ 300 el metro, ¿cuántos metros se compraron? Si se hubieran gastado $ 600 podríamos determinar el número de metros dividiendo simplemente el costo por metro por la cantidad gastada. Puesto que 600/300 es 2, dos metros se comprarían con $ 600. El mismo razonamiento se aplica cuando se gasta $ 200, pero en este caso sólo podemos indicar la cantidad comprada como lo señala la división 200/300. La figura 4-2 muestra un diagrama tanto para él gasto de $ 600 como para el de $ 200.

Figura 4-2. Medición de fracciones.

Fracciones partitivas

La diferencia entre fracciones de medida y fracciones partitivas se explica de este modo: las fracciones de medida resultan cuando determinamos cuántas piezas de determinado tamaño pueden cortarse de una pieza mayor. Las fracciones partitivas resultan cuando cortamos un número de trozos de igual tamaño de una pieza grande y luego determinamos el tamaño de cada una de las piezas menores. Por ejemplo, si deben cortarse cuatro trozos iguales de caño de una tira de 3 metros, ¿cuál es el tamaño de cada pedazo?. Si el problema se hubiera planteado como que 3 trozos iguales deben cortarse de un caño de 6 metros podríamos determinar el tamaño de cada trozo de caño dividiendo el número de longitudes iguales por la longitud total. Entonces, puesto que 6/3 es 2, cada trozo tendría 2 metros de largo. por este mismo razonamiento en el ejemplo anterior dividimos la longitud total por el número de partes iguales para obtener el tamaño de las piezas individuales; esto es, 3/4 metro. Los caños de 3 y 6 metros, divididos, se muestran en la figura 4-3.

FIGURA 4-3. Fracciones partitivas.

Expresando relaciones

Cuando una fracción se emplea para expresar una relación el numerador y el denominador toman un significado individual. En este caso, 3/4 significa 3 de 4, o 3 partes de 4, o la relación de 3 a 4. Por ejemplo, si 1 de cada 3 hombres de una división está en libertad será correcto establecer que 1/3 de la división se halla en libertad. Observe que ninguna de estas formas de expresar las relaciones nos dice en realidad el número de hombres: la relación en sí es el hecho importante.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Hay que hacer notar que todo número dividido por sí mismo es 1. Por ejemplo, l/l, 2/2, 3/3, 4/4 y todo otro número formado de esta manera tendrá valor 1. Además, todo número multiplicado por 1 es equivalente al número dado. Por ejemplo, 1 por 2 es 2, 1 por 3 es 3, 1 por 1/2 es 1/2, etcétera.

Estos hechos se utilizan para cambiar la forma de una fracción a una forma equivalente que es más conveniente para usar en un problema particular.

Por ejemplo, si 1 en la forma 2/2 se multiplica por 3/5, el producto aún tendrá el valor de 3/5 pero estará en una forma diferente, como sigue:

La figura 4-4 muestra que 3/5 de la línea a es igual a 6/10 de la línea b, donde la línea a es igual a la línea b. La línea a está marcada en quintos y la línea b está marcada en décimos. Es fácil ver que 6/10 y 3/5 miden la misma longitud.

Figura 4-4. Fracciones equivalentes.

Las divisiones en una regla muestran fracciones equivalentes. La división principal de un centímetro lo dividen dos partes iguales. Una de estas partes representa 1/2. Las marcas menores dividen al centímetro en diez partes iguales. Se notará que cinco de estas partes representan la misma distancia que 1/2; es decir, 5/10 es igual a 1/2. Además, las divisiones más pequeñas dividen al centímetro en 10 partes iguales. ¿Cuántas de estas partes son equivalentes a 1/2 centímetro? La respuesta se encuentra observando que 5/10 es igual a 1/2.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Usando como referencia las divisiones de una regla, complete los siguientes ejercicios:

Respuestas:
1. 2                         3. 4
2. 5                         4. 10

Una revisión de los ejercicios anteriores revela que en cada caso la fracción de la derecha puede ser formada multiplicando el numerador y el denominador de la fracción izquierda por el mismo número. En cada caso el número puede determinarse dividiendo el denominador de la fracción derecha por el denominador de la fracción izquierda. Entonces, en el problema 1 ambos términos de 1/5 se multiplicaron por 2. En el problema 3, ambos términos de 2/5 se multiplicaron por 4. Se ve que multiplicando ambos términos de una fracción por el mismo número no cambia el valor de la fracción.
Visto que 1/2 es igual a 2/4, la inversa también tiene que ser cierta, es decir, 2/4 debe ser igual a 1 /2. Esto puede verificarse igualmente por medio de una regla. Hemos visto antes que 4/8 es lo mismo que 1/2; 12/16 es igual a 3/4, y 2/8 es igual a 1/4. Vemos que dividiendo ambos términos de una fracción por el mismo número no cambia el valor de la fracción.

Reglas fundamentales de las fracciones. Propiedades.

Si el numerador y el denominador son multiplicados o divididos por un mismo número, el quebrado no varía.   Los resultados anteriores están combinados para formar la regla fundamental de las fracciones, que se establece como sigue: multiplicando o dividiendo ambos términos de una fracción por el mismo número no cambia el valor de la fracción. Esta es una de las reglas más importantes usadas con las fracciones.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se usa la regla fundamental:

1. Cambiar 1/4 a doceavos. Este problema se plantea en la siguiente forma:

El primer paso consiste en determinar cuántos 4 están contenidos en 12. La respuesta es 3, de modo que sabemos que el multiplicador para ambos términos de la fracción es 3, como sigue:

2. ¿Qué fracción con numerador 6 es igual a 3/4?

SOLUCIÓN: 

Vemos que 6 contiene 3 dos veces; por tanto, necesitamos duplicar el numerador de la fracción derecha para hacerla equivalente al numerador de la fracción que hemos visto. Multiplicamos ambos términos de 3/4 por 2, obteniendo 8 como denominador de la nueva fracción, de la siguiente forma:

3. Cambiar 6/16 a octavos.

SOLUCIÓN :

Observamos que el denominador de la fracción que estamos tratando es 1/2, tan grande como el denominador de la fracción original. Por consiguiente, la nueva fracción estará formada dividiendo ambos términos de la fracción original por 2, como sigue:

De varias fracciones homogéneas, es mayor la que tiene mayor numerador.

De varias fracciones heterogéneas que tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

Ejemplo :

El mcm de dos o más fracciones irreductibles es igual al mcm de los numeradores dividido entre el MCD de los denominadores.

El MCD de dos o más fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores dividido entre el m.c.m. de los denominadores.

Reducción a los términos de menor valor

A menudo conviene transformar una fracción a otra equivalente con los términos de menor valor posible; vale decir, con el numerador y denominador más pequeños posibles. Este proceso se llama REDUCCIÓN. Así, 6/30 reducido a los menores términos es 1/5. La reducción puede realizarse determinando el factor más grande común tanto al numerador como al denominador y dividiendo ambos términos por él.

Dividiendo ambos términos del ejemplo anterior por 6 se reduce la fracción a los mínimos términos. En los cálculos las fracciones deben reducirse a los términos menores cuando es posible.

Si no puede hallarse con facilidad el factor común mayor puede extraerse cualquier factor común y repetir el proceso hasta que la fracción tenga sus términos más pequeños: Entonces, 18/48 se dividiría primero por 2 y luego por 3.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Reducir las siguientes fracciones a los términos de menor valor.


Fracciones impropias

Si bien las fracciones "impropias" son en realidad "muy apropiadas" matemáticamente, por lo general es costumbre cambiarlas a número mixto. Un recipiente podría contener 1 1/2 tazas de leche, pero podría no contener 3/2 tazas de leche.

Puesto que una fracción es una división indicada conocemos ya un método para la reducción de fracciones impropias a números mixtos. La fracción impropia 8/3 puede considerarse la división de 8 por 3. Esta división se efectúa como sigue:

La exactitud de esto puede verificarse en otra forma: Si 1 es igual a 3/3, entonces 2 es igual a 6/3. Entonces:

Estos ejemplos nos llevan a la siguiente conclusión, que se establece corno una regla: Para cambiar una fracción impropia a número mixto se divide el numerador por el denominador y se escribe la parte fraccionaria del cociente con los términos de menor valor.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Transformar las siguientes fracciones a números mixtos:

Operaciones con números mixtos

Temas relacionados : Posibilidad de la división de números enteros en todos los casos. Potenciación de fracciones. Potencia n-sima. Ejercicios. Suma de fracciones y de números mixtos. Suma de fracciones aplicando en mínimo común denominador. Reducción de números mixtos a fracciones. Suma de números mixtos. Resta de fracciones y de numeros mixtos. Resta de fracciones aplicando el mínimo común denominador. Resta de números mixtos reduciéndolos o no a fracción impropia. Multiplicación de fracciones y de números mixtos.División de fracciones y de números mixtos.

Generalmente, en los cálculos los números mixtos son engorrosos. Así como es posible transformar cualquier fracción impropia a número mixto, también resulta factible cambiar cualquier número mixto a fracción impropia. El problema puede reducirse a determinar una fracción equivalente y sumar.

EJEMPLO: Cambiar 2 1/5 a fracción impropia.

SOLUCIÓN:
Paso 1: Escribir 2 1/5 como número entero más una fracción, 2 + 1/5
Paso 2: Transformar 2 a fracción equivalente con denominador 5, como sigue:

EJEMPLO: Escribir 5 2/9 como fracción impropia.

En cada uno de estos ejemplos observe que el multiplicador empleado en el paso 2 es el mismo número de la parte fraccional del número mixto original. Esto nos lleva a la siguiente conclusión, que se establece como una regla: para transformar un número mixto en una fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador de la parte fraccionaría y se suma el numerador a este producto. El resultado es el numerador de la fracción impropia, su denominador es el mismo que el denominador de la parte fraccionaria del número mixto original.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Convertirlos siguientes números mixtos a fracciones impropias:

Fracciones negativas

Una fracción precedida por un signo menos es negativa. Toda fracción negativa equivale a una fracción positiva multiplicada por - 1. Por ejemplo:

El número -2/5 se lee “menos dos quintos".

Sabemos que el cociente de dos números con signos desiguales es negativo. Por tanto,

Esto indica que una fracción negativa equivale a una fracción con un numerador negativo o un denominador negativo.

Un signo menos puede ser transportado dentro de una fracción. Puede colocarse antes del numerador, antes del denominador o antes de la fracción misma. Así,

El mover el signo menos del numerador al denominador, o viceversa, es equivalente a multiplicar los términos de la fracción por -1. Esto se muestra en los ejemplos siguientes:

Una fracción puede considerarse que tiene tres signos asociados con ella: el signo del numerador, el signo del denominador y el signo que precede a la fracción. Dos cualesquiera de estos signos pueden cambiarse sin modificar el valor de la fracción. Entonces,

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