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Ecuaciones lineales o de primer grado. Polinomios. Teorema del resto. División de Ruffini. Ejercicios de aplicación.


 

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ECUACIONES

Introducción.

Ver temas relacionados : División algebraica. División de monomios y polinomios.

MÉTODO O REGLA DE RUFFINI

Este método se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de primer grado.

Se presenta tres casos:

1º Cuando el divisor es de forma (x ± b)

2º Cuando el divisor es de la forma (ax ± b)

3º Cuando el divisor es de la forma (axn ± b)

1er. Caso. Forma del divisor: x ± b

1. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea horizontal. Completando previamente, si fuese necesario.

2. Se ecribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y un lugar abajo del primer coeficiente del dividendo.

3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente, es igual al primer coeficiente del dividendo.

4. Para obtener los coeficientes del cociente, se separa la última columna, la cual costituye el resto.

Ejemplo:

2do. Caso. Forma del divisor: a . x ± b

1. Se transforma el divisor a la primera forma, sacando en factor común el primer coeficiente del divisor:

2. Se divide entre operando como el primer caso.

3. Los coeficientes del cociente obtenido son divididos entre el coeficiente de "x" del divisor.

4. El resto obtenido no se altera.

Ejemplo: 18x5 - 29x3 - 5x2 - 12x - 16 ÷ 3x + 2

Procedimiento:

Factorizando el denominador:

3er. Caso. Forma del divisor: a . xn ± b

La resolución sólo es posible por el método de Ruffini cuando los exponentes de la variable del dividendo
son multiplos enteros de la variable del divisor.

El procedimiento se explica a travéz del siguiente ejemplo:

6x36 + 17x27 - 16x18 + 17x9 + 12 ÷ 3x9 + 1

Procedimiento:

1. Se observa que los coeficientes de la variable del dividendo sean múltiplos del exponente de la variable del divisor.

2. Se factoriza el divisor:

3. Se divide como en el primer caso.

4. Cada uno de los coeficientes del cociente obtenido, se divide entre coeficiente de "x" del divisor.

Recordemos que el valor numérico de un polinomio (y, en general, de cualquier expresión algebraica) se calcula sustituyendo la/s variable/s por números (que, en principio, se nos proporcionan) y realizando las cuentas indicadas, con lo que obtenemos un número que es el llamado valor numérico del polinomio para esos valores de la variable. Por ejemplo:

Observemos que el valor numérico del polinomio p(x) en x = -2 [p(-2)], coincide con el resto de dividir dicho polinomio entre x+2 (dividir por Ruffini el polinomio donde queremos sustituir, poniendo como divisor el valor que vamos a sustituir). Esto NO es una casualidad, sino que es una propiedad que cumplen todos los polinomios de una variable y que se llama Teorema del Resto:

"El resto dividir un polinomio p(x) entre un binomio de la forma x-a es igual que el valor numérico de p(x) para x=a, es decir, p(a)":

¿Por qué es tan importante esta propiedad de los polinomios?

-Para empezar, nos proporciona otra forma de calcular valores numéricos de polinomios de una variable, que es bastante más cómoda puesto que consiste en realizar una división por Ruffini, mientras que el otro procedimiento nos obliga a realizar una operación combinada con potencias, productos y sumas/restas.

-Pero además, tiene otras aplicaciones. Veamos otra en un ejemplo:

Como el resto de la división es cero o, lo que es lo mismo, al calcular p(1) hemos obtenido como valor numérico 0, al aplicar la prueba de la división hemos conseguido descomponer el polinomio en dos factores. Por tanto, hemos conseguido escribir el polinomio de forma que la operación más importante no sea la suma, sino el producto, y esto tiene la misma importancia y las mismas aplicaciones (y muchas más) que conseguir descomponer un número en factores primos.

Llegados a este punto es importante responder a las dos siguientes cuestiones:

a) ¿cuáles son los polinomios primos (esto es, los que no se pueden descomponer)?

b) ¿cómo localizar los números en los que el valor numérico del polinomio es 0?

Otro ejemplo nos sirve para intuir la respuesta a la primera pregunta (y seguir comprobando el teorema del Resto):

Por tanto, parece y, en efecto, así es, que podemos afirmar que los polinomios primos son los de primer grado con coeficiente líder 1. Posteriormente descubriremos que, trabajando en el conjunto de los números reales, aparecerán otros polinomios que tampoco se podrán descomponer. Así pues, encontrar los números cuyo valor numérico es cero no sólo nos sirve para descomponer el polinomio en factores, sino que, además, éstos son primos (ya que el divisor de la división de Ruffini siempre es un polinomio de primer grado con coeficiente líder uno). Luego, aún cobra mayor trascendencia, si cabe, dar respuesta a la segunda pregunta planteada.

Para empezar, debemos decir que los números cuyo valor numérico es cero reciben el nombre de raíces o ceros del polinomio. El objetivo consiste, por tanto, en encontrar dichas raíces, o lo que es lo mismo, los valores que hacen que el polinomio valga cero: p(x)=0. Este tipo de expresiones son las que, en adelante, van a centrar nuestra atención: las ecuaciones polinómicas.

Debemos comentar que ésto que hemos planteado, es una de las muchas motivaciones que se pueden utilizar para justificar la importancia que tiene la resolución de ecuaciones. Pero existen otras muchas razones para motivar este tema. Por ejemplo, la resolución de ciertos problemas que no se pueden realizar únicamente mediante operaciones aritméticas o que, aún pudiéndose hacer de esa manera, la utilización del lenguaje algebraico facilita su resolución. Valgan como ejemplos:

-"Calcula el lado de un cuadrado si su hipotenusa mide 5 cm"

-"Calcula un número cuya diferencia con su cuadrado sea igual a -6"

Definiciones generales.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas (contiene una o varias incógnitas o variables, cuyo valor se desconoce).

a) Resolver una ecuación es hallar los valores de la/s variable/s que hacen que la igualdad se cumpla.

b) La expresión que está a la izquierda del signo = es el primer miembro de la ecuación y la que está a la derecha, el segundo miembro.

1. Cuando se resuelve una ecuación, siempre se debe comprobar. La comprobación consiste en reemplazar la/s variable/s por el valor hallado como solución. No se hace transposición de términos, sino que se realiza la cuenta que queda en el primer miembro y la que queda en el segundo, y la ecuación se debe verificar, es decir, no deben encontrarse contradicciones como 2=5, sino verdades del tipo 2=2.

2. Las ecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.

3. Siempre que cumplas la siguiente norma: "Realiza la misma operación en los dos miembros", transformarás una ecuación en otra equivalente. Así pues, si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número, o se los multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, o se los eleva a un mismo exponente o saca una raíz del mismo índice, resulta otra ecuación que es equivalente. Estas propiedades permiten realizar la llamada "transposición de términos", que consiste en trasladar términos de un miembro a otro y que se resumiría, en términos generales, de la siguiente manera:

a) Un término que está sumando en un miembro, puede pasar restando al otro y viceversa.

b) Un factor que multiplica a todo un miembro, puede pasar dividiendo a todo el otro miembro y viceversa.

c) Las potencias y raíces que afectan directamente a la variable pasan al otro miembro con su operación contraria, es decir la raíz y la potencia.

Ahora bien, es importante llamar la atención sobre dos hechos:

-para que la transposición de términos sea menos compleja debemos realizar previamente todas las operaciones que podamos y, por supuesto, cumpliendo las normas.

-la transposición de términos siempre se realiza en el orden inverso al que indican las normas de las operaciones combinadas, esto es, primero se transponen los sumandos, después los factores y, por último, las potencias y raíces.

Temas relacionados : Ecuaciones lineales o de primer grado. Ejemplos. Resolución y comprobación de ecuaciones.


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