CURSO DE MATEMÁTICAS

Operaciones con fracciones

OPERACIONES CON FRACCIONES

Tenemos en cuenta, por lo explicado en números denominados, que los números deben ser de la misma denominación para ser sumados. Podemos sumar gramos a gramos, litros a litros, pero ,o litros a gramos. Si pensamos libremente en fracciones como números denominados se verá que la regla de similitud se aplica también a las fracciones. Podemos sumar octavos a octavos, cuartos a cuartos, pero no octavos a cuartos. Para sumar 1/5 cm a 2/5 cm simplemente sumamos los numeradores y mantenemos el denominador sin cambiar. La denominación es quintos; como en los números denominados sumamos 1 quinto a 2 quintos para obtener 3 quintos o 3/5.

• Suma: La definición y el procedimiento para sumar números fraccionarios del mismo o de distinto denominador es aplicable a la suma de números racionales, teniendo cuidado de operar con los numeradores de acuerdo con las reglas de la suma de números enteros.
• Resta: La definición y el procedimiento para restar números fraccionarios del mismo o distinto denominador es aplicable a la resta de números racionales, teniendo cuidado de operar con los numeradores de acuerdo con la regla de la resta de números enteros.

Ejemplos de aplicación :

Para sumar números racionales del mismo denominador se forma una fracción de ese denominador, cuyo numerador sea la suma de los numeradores de los sumandos; y cuando tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se procede como en el caso anterior.

Fracciones iguales y desiguales

Hemos demostrado que las fracciones semejantes se suman simplemente sumando los numeradores y manteniendo el denominador. Entonces,

En forma similar podemos restar fracciones semejantes restando los numeradores.

Los ejemplos siguientes mostrarán cómo las fracciones pueden dividirse dividiendo el numerador del dividendo por el numerador del divisor.

.SOLUCIÓN:

Podemos establecer el problema como una pregunta: "¿Cuántas veces 1/8 aparece en 3/8, o cuántas veces puede tomarse 1/8 de 3/8?"

Vemos que 1/8 puede restarse de 3/8 tres veces. Por tanto,

3/8 ÷ 1/8 = 3

Cuando los denominadores de las fracciones son desiguales se dice que las fracciones son desiguales. La adición, la sustracción o la división no pueden realizarse directamente en fracciones desiguales. La aplicación apropiada de la regla fundamental permite, sin embargo, cambiar su forma de modo que ellos se transformen en fracciones semejantes; entonces se pueden aplicar todas las reglas para las fracciones iguales.

Mínimo común denominador

Para convertir fracciones desiguales a fracciones iguales es necesario hallar un COMÚN DENOMINADOR y generalmente resulta ventajoso encontrar el MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR (MCD). Esto no es nada más que el mínimo común múltiplo de los denominadores.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Si un número es un múltiplo de dos o más números diferentes se lo llama COMÚN MÚLTIPLO. Así, 24 es un múltiplo común de 6 y 2. Hay muchos múltiplos comunes de estos números. Los números 36, 48 y 54, por nombrar unos pocos, son también múltiplos comunes de 6 y 2.

El más pequeño de los múltiplos comunes de un grupo de números se llama MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Que se abrevia MCM. El mínimo común múltiplo de 6 y 2 es 6. Para encontrar el mínimo común múltiplo de un grupo de números se separa primero cada uno de los números en sus factores primos.

Supongamos que deseamos hallar el MCM de 14, 24 y 30. Separando estos números en sus factores primos tenemos

El MCM contiene cada uno de los diversos factores primos mostrados. Cada factor primo se usa el número más grande de veces que aparece en cualquiera de los números. Observe que 3, 5 y 7 aparecen cada uno una sola vez en cualquiera de los números. Por otro lado, 2 aparece tres veces en un número, Obtenemos el siguiente resultado:

Así, pues, 840 es el mínimo común múltiplo de 14, 24 y 30.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El número más grande que puede ser dividido en cada uno de los dos o más números dados sin un resto se llama MÁXIMO COMÚN DIVISOR de los números dados. Esto se abrevia MCD. También se llama a veces el MÁXIMO FACTOR COMÚN.

Para determinar el MCD de un grupo de números se separan los números en sus factores primos igual que para el MCM. El MCD es el producto de solamente aquellos factores que aparecen en todos los números. Note en el ejemplo de la sección anterior que 2 es el divisor común mayor de 14, 24 y 30.

Determinar el MCD de 650, 900 y 700. El procedimiento es como sigue:

650 = 2 . 5² . 13 
900 = 2² . 3² . 5²
700 = 2² . 5² . 7
MCD = 2 . 5² = 50

Advierta que 2 y 5² son factores de cada número. El divisor común mayor es 2 x 25 = 50.

Empleo del MCD

Consideremos el ejemplo:

Los números 2 y 3 son primos ambos; de modo que el MCD es 6

Entonces, la suma de 1/2 y 1/3 se realiza como sigue:

Posibilidad de la resta de números fraccionarios en el caso en que el minuendo es menor que el sustraendo. El procedimiento anterior nos dice que la resta de números racionales se reduce fundamentalmente a hallar la diferencia entre números enteros, y como esta operación es siempre posible, la primera también lo es, vale decir: Dados dos números fraccionarios cualesquiera, existe siempre otro número fraccionario que es la diferencia entre los dados.

Ejemplo:

Suma algebraica: La suma algebraica de números racionales es una sucesión de sumas y restas de tales números, pueden efectuarse reduciendo a común denominador si es necesario y aplicando luego los procedimientos anteriores para sumar o restar fracciones. Así,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En cada uno de los siguientes grupos, convertir las fracciones a fracciones semejantes con denominadores comunes mínimos:

Adición

Se ha demostrado que al sumar fracciones semejantes sumamos los numeradores. Para sumar fracciones no semejantes éstas primero deben cambiar de modo que tengan denominadores comunes. Aplicamos estas mismas reglas para sumar números mixtos. Se recordará que un número mixto constituye una suma indicada. Así, 2 1/3 es realmente 2 + 1/3. La suma puede realizarse en cualquier orden. Los ejemplos siguientes muestran la aplicación« de estas reglas:

Aquí cambiamos 8/7 al número mixto 11/7.

Entonces

Primero transformamos las fracciones de modo que éstas sean semejantes y tengan el mínimo común denominador y luego procederemos como antes.

Puesto que 11/8 es igual a 13/8 la respuesta final se determina como sigue:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS

Sumar y reducir las sumas a los términos más simples:

Los siguientes ejemplos muestran una aplicación practica de la suma de fracciones:

EJEMPLO:
Determinar la longitud total de la pieza de metal exhibida en la figura 4-5 (A).

SOLUCIÓN:
Indicamos primero la suma como sigue:

Transformamos en fracciones semejantes y sumamos los numeradores,

La longitud total es 3 1/2 pulgadas.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Determinar la distancia desde el centro del primer agujero hasta el centro del último agujero en la plancha metálica ilustrada en la figura 4-5 (B).
Respuesta: 2  7/16 pulgadas.

Sustracción

La regla de similitud se aplica en la sustracción de fracciones tanto como en la adición. Algunos ejemplos mostrarán que los probables casos nuevos pueden ser resueltos usando ideas desarrolladas antes.

EJEMPLO: Sustraer 1 1/3 de 5 2/3.

Vemos que los números enteros se restan de los números enteros; las fracciones de las fracciones.

EJEMPLO: Sustraer 1/8 de 4/5.

Convirtiendo a fracciones semejantes con MCD, tenemos

EJEMPLO: Sustraer 11/12 de 3 2/3

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Restar el número menor del mayor y reducir la diferencia a los términos más simples:

Los siguientes problemas ilustran la sustracción de fracciones en situaciones prácticas.

EJEMPLO: ¿Cuál es la longitud de la dimensión marcada X en el bulón que se ilustra en la figura 4-6 (A)?
SOLUC1ÓN: Longitud total de las partes conocidas.

Restando estas sumas de la longitud total.

La respuesta es 1 15/64 pulgadas.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la longitud de la dimensión marcada Y en el bulón de la figura 4-6 (B).

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