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Operaciones con fracciones. Multiplicación. División


 

 


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Operaciones con fracciones. Multiplicación. División. Fracciones Complejas.

Multiplicación

El hecho de que la multiplicación por una fracción no aumenta el producto puede confundir a aquellos que recuerdan la definición de multiplicación presentada al principio de este sitio para números enteros. Se estableció que 4 (5) significa 5 tomado como sumando 4 veces. ¿Cómo es entonces que ½ (4) es 2, un número menor que 4? Evidentemente, nuestro concepto de la multiplicación debe ampliarse.

Consideremos los siguientes productos:

Observe que al disminuir el multiplicador disminuye el producto, hasta que cuando el multiplicador es una fracción el producto es menor que 4 y continúa disminuyendo al disminuir la fracción. La fracción introduce la idea de "parte de": 1/2 (4) significa 1/2 de 4; 1/ 4 (4) significa 1/4 de 4.

La definición de multiplicación establecida para los números enteros puede extenderse para incluir las fracciones. Visto que 4 (5) significa que 5 se usa 4 veces como sumando, podemos decir que con fracciones el numerador del multiplicador nos dice cuántas veces el numerador del multiplicador se usa como sumando. Por el mismo razonamiento, el numerador del multiplicador nos dice cuántas veces el denominador del multiplicando se usa como sumando. Los siguientes ejemplos ilustran el empleo de esta idea:

1. La fración de 1/12 se multiplica por el número 4 de la siguiente forma:

Otra forma de pensar en la multiplicación de 1/2 por 4 es como sigue:

2. La fracción 2/3 se multiplica por 1/2 en la siguiente forma:

A partir de estos ejemplos se deduce una regla general: para determinar el producto de dos o más fracciones se multiplican sus numeradores entre sí y se escribe el resultado como el numerador del producto; se reduce la respuesta a los menores términos.

Usando esta regla con números enteros se escribe cada número entero como una fracción con 1 como denominador. Por ejemplo, 4 x 1/12 se multiplica como sigue:

 

Al utilizar esta regla con números mixtos se vuelve a escribir todos los números mixtos como fracciones impropias antes de aplicar la regla en la siguiente forma:

Un segundo método para multiplicar números mixtos emplea la ley distributiva. Esta ley establece que un multiplicador aplicado a una expresión de dos partes se distribuye entre ambas partes. Por ejemplo, para multiplicar 6 1/3 por 4 podemos volver a escribir 6 1/3 como 6 + 1/3. Entonces el problema puede escribirse como 4 (6 + 1/3) y la multiplicación se efectúa de este modo:

La definición y el procedimiento para multiplicar números fraccionarios es aplicable a la multiplicación de números racionales, teniendo cuidado de operar con los numeradores de acuerdo con la regla de la multiplicación de números enteros.

Luego: Para multiplicar números racionales se suprimen los factores comunes que tengan los numeradores y denominadores de los mismos, luego se pone por numerador del producto al producto de los factores restantes de los numeradores y por denominador al de los factores restantes de los denominadores.

Ejemplo:

SIMPLIFICACIÓN

Los cálculos pueden reducirse en forma considerable dividiendo (SIMPLIFICANDO) los factores comunes al numerador y al denominador. Una fracción constituye una división indicada. Pensando que 6/9 es una división indicada recordamos que podemos simplificar la división representando tanto el divisor como los productos indicados de sus factores y dividiendo luego, o simplificando, los factores iguales. Así,

Dividiendo el factor 3 del numerador por 3 del denominador se obtiene el siguiente resultado simplificando:

Este método es más ventajoso cuando se efectúa antes que cualquier otro cálculo. Consideremos el ejemplo,

El producto en forma factoreada es:

En vez de hacer la multiplicación y luego reducir el resultado 6/30, resulta más simple tachar primero los factores comunes, como sigue:

Asimismo,

Aquí factoreamos mentalmente 6 en 3 x 2 y 4 en la forma 2 X 2. La simplificación representa una herramienta valiosa para acortar las operaciones con fracciones.

La regla general puede aplicarse a números mixtos cambiándolos simplemente a fracciones impropias.

 Entonces,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Determinar los siguientes productos usando la regla general y simplificando cuando es posible:

El problema que sigue ilustra la multiplicación de fracciones en un caso práctico,

EJEMPLO: Determinar la distancia entre las líneas de centro del primero y quinto remaches que unen las dos planchas metálicas exhibidas en la figura 4-7 (A).

SOLUCIÓN: La distancia entre centros, entre dos remaches adyacentes, es 4 1/2 veces el diámetro de uno de ellos.

Entonces,

Entre el primero y quinto remaches hay 4 espacios. Por tanto, la distancia total, D, se determina como sigue:

La distancia es 11 1/4 pulgadas.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Figura 4-7. Aplicación de la multiplicación de fracciones para determinar el espacio de remaches.

Determinar la distancia entre centros de los dos remaches ilustrados en la figura 4-7 (B).

División

Hay dos métodos usados comúnmente para efectuar la división con fracciones. Uno es el método del común denominador y el otro es el método recíproco.

MÉTODO DEL COMÚN DENOMINADOR

El método del común denominador constituye una adaptación del método de fracciones semejantes. La regla es la siguiente: Se convierte el dividendo y el divisor a fracciones semejantes y se divide el numerador del dividendo por el numerador del divisor. Este método puede demostrarse con números enteros, transformándolos primero en fracciones con denominador 1. Por ejemplo, 12 ÷ 4 puede escribirse como sigue:

Si el dividendo y el divisor son fracciones, como 1/3 dividido por 1/4, se procede como sigue:

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MÉTODO RECÍPROCO

La palabra "recíproco" denota una relación intercambiable. Se emplea en matemáticas para escribir una relación específica entre dos números. Decimos que dos números son recíprocos uno de otro si su producto es 1. En el ejemplo 4xl/4=1 las fracciones 4/1 y 1/4 son recíprocas. Observe la intercambiabilidad: 4 es el recíproco de 1/4 y 1/4 es el recíproco de 4.

¿Cuál es el recíproco de 3/7? Debe ser un número que cuando se lo multiplique por 3/7 dé como producto 1. Por tanto,

Vemos que 7/3 es el único número que cumpliría con este requisito. Observe que el numerador y el denominador de 3/7 se intercambiaron simplemente para obtener el recíproco. Si conocemos un número podemos siempre determinar su recíproco dividiendo 1 por el número. Note este principio en los siguientes ejemplos:

1. ¿Cuál es el recíproco de 7?

Advierta que en este ejemplo el proceso de simplificación no presenta la forma usual que resulta cuando se divide un número por sí mismo. Por ejemplo, cuando 7 anula a 7, el cociente 1 podría mostrarse al lado de cada uno de los 7. Sin embargo, visto que 1 como factor tiene el mismo efecto, ya sea que se escriba o simplemente se sobreentienda, los 1 no necesitan escribirse.

2. ¿Cuál es el recíproco de 3/8?

Otra manera de expresar este concepto, es el de números racionales inversos: Dado un número racional distinto de cero, se llama inverso del mismo al número racional del mismo signo cuyo numerador y denominador sean respectivamente denominador y numerador del primero.

Los ejemplos anteriores nos conducen a las reglas para determinar el recíproco de cualquier número: el recíproco de un número es la fracción formada cuando 1 se divide por el número (si el resultado final es un número entero, puede considerarse como una fracción cuyo denominador es l). Una regla simplificada, totalmente mecánica, que no implica razonamientos, puede establecerse como sigue: para determinar el recíproco de un número se lo expresa como una fracción y luego se invierte la fracción.

Cuando el numerador de una fracción es 1, el recíproco es un número entero. Cuanto más pequeña sea la fracción mayor será el recíproco. Por ejemplo, el recíproco de l/l.000 es 1.000. Además, el recíproco de todo número entero es una fracción propia. Entonces el recíproco de 50 es 1/50.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Escriba el recíproco de cada uno de los siguientes números:

El método recíproco de división usa la asociación de la multiplicación y la división. En cualquier problema de división debemos determinar la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Qué número multiplicado por el divisor reproduce el dividendo? Por ejemplo, si el problema es dividir 24 por 6 debemos determinar el factor que multiplicado por 6 dé 24. La experiencia nos dice que el número que buscamos es 1/6 de 24. Entonces podemos volver a escribir el problema como sigue:

En el ejemplo 1 1/2 : 3 podríamos escribir 3 X ? = 1 1/2. El numerador que buscamos debe ser 1/3 de 1 1/2. Entonces podemos hacer la división tomando un tercio de 1 1/2; es decir, multiplicamos 1 1/2 por el recíproco de 3.

La regla para la división por el método recíproco es: Multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor. Esto a veces se establece en forma abreviada como sigue: Invertir el divisor y multiplicar.

Los siguientes ejemplos de casos que surgen en división con fracciones serán resueltos por el método recíproco y por el método del común denominador. El método del común denominador muestra con mayor claridad el proceso de la división y resulta más fácil para el principiante. El método recíproco es más oscuro para usar pero tiene la ventaja de la velocidad y la posibilidad de simplificar los factores semejantes, lo que abrevia el cálculo. Es el método sugerido una vez familiarizado con los principios.

Otros ejemplos:

Verificación de la posibilidad de división de números enteros cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.

El Procedimiento seguido anteriormente nos dice que la división de números racionales se transforma en una multiplicación, y como esta operación es siempre posible, la primera también lo es, vale decir: dados en un cierto orden dos números racionales cualesquiera, siendo el segundo distinto de cero, existe siempre otro número racional que es el cociente del primero por el segundo.

Entonces como los números enteros son también números racionales, la imposibilidad de encontrar el cociente de dos números enteros cuando el valor absoluto del dividendo no es múltiplo del valor absoluto del divisor, ha desaparecido con la creación de los números racionales.

Fracciones complejas

Cuando en una fracción el numerador, el denominador o ambos están formados a su vez por fracciones, la expresión resultante se llama fracción compleja.

CONVENCIONES. La posibilidad de poder hallar el cociente exacto de dos números enteros en todos los casos en que el divisor no es cero, y la circunstancia de que ese cociente sea una fracción, nos conducen a convenir en: Sustituir el signo ( :) de dividir por la raya de frac¬ción para indicar la división de un número entera por otro, y recí¬procamente, con la expresión formada al escribir un número entero y debajo otro distinto de cero, separados ambos por un raya de fracción, se indica el cociente exacto del primer número entero por el se¬gundo. Las expresiones así obtenidas se llaman fracciones de términos enteros.

 

La siguiente expresión es una fracción compleja:

Esto se leería "tres quintos sobre tres cuartos" o "tres quintos dividido tres cuartos". Toda fracción compleja puede simplificarse escribiéndola como un problema de división en la forma que sigue:

Similarmente,

Las fracciones complejas pueden contener también una operación indicada en el numerador, en el denominador o en ambos. Entonces,

es una fracción compleja. Para simplificar tal fracción simplificamos el numerador y el denominador y procedemos como sigue:

Los números mixtos aparecen en fracciones complejas generalmente con el signo más.

Así pues,

que se escribirá:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS

Simplificar las siguientes fracciones complejas:

Las fracciones complejas pueden surgir en electrónica cuando es necesario determinar la resistencia total de varias resistencias en paralelo, conforme se muestra en la figura 4-8. La regla es: La resistencia total de un circuito paralelo es 1 dividido por la suma de los recíprocos de las resistencias separadas. Escrito como una fórmula esto nos da la siguiente expresión:

FIGURA 4-8. Aplicación de las fracciones complejas para calcular la resistencia eléctrica.

EJEMPLO: Determinar la resistencia total del circuito paralelo en la figura 4-8 (A). Sustituyendo los valores 3, 4 y 6 por las letras R1, R2, y R3., tenemos lo siguiente:

El MCD de las fracciones 1/3, 1/4 y 1/6 es 12.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la resistencia total del circuito paralelo de la figura 4-8 (B).
Respuesta. 1 1/4 ohms.

 

 


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