Multiplicación
El hecho de que la multiplicación por una fracción
no aumenta el producto puede confundir a aquellos que recuerdan
la definición de multiplicación presentada al
principio de este sitio para números enteros. Se estableció
que 4 (5) significa 5 tomado como sumando 4 veces. ¿Cómo
es entonces que ½ (4) es 2, un número menor
que 4? Evidentemente, nuestro concepto de la multiplicación
debe ampliarse.
Consideremos los siguientes productos:
Observe que al disminuir el multiplicador disminuye
el producto, hasta que cuando el multiplicador es una fracción
el producto es menor que 4 y continúa disminuyendo
al disminuir la fracción. La fracción introduce
la idea de "parte de": 1/2 (4) significa 1/2 de
4; 1/ 4 (4) significa 1/4 de 4.
La definición de multiplicación
establecida para los números enteros puede extenderse
para incluir las fracciones. Visto que 4 (5) significa que
5 se usa 4 veces como sumando, podemos decir que con fracciones
el numerador del multiplicador nos dice cuántas veces
el numerador del multiplicador se usa como sumando. Por el
mismo razonamiento, el numerador del multiplicador nos dice
cuántas veces el denominador del multiplicando se usa
como sumando. Los siguientes ejemplos ilustran el empleo de
esta idea:
1. La fración de 1/12 se multiplica por
el número 4 de la siguiente forma:
Otra forma de pensar en la multiplicación
de 1/2 por 4 es como sigue:
2. La fracción 2/3 se multiplica por
1/2 en la siguiente forma:
A partir de estos ejemplos se deduce una regla
general: para determinar el producto de dos o más fracciones
se multiplican sus numeradores entre sí y se escribe
el resultado como el numerador del producto; se reduce la
respuesta a los menores términos.
Usando esta regla con números enteros
se escribe cada número entero como una fracción
con 1 como denominador. Por ejemplo, 4 x 1/12 se multiplica
como sigue:
Al utilizar esta regla con números mixtos
se vuelve a escribir todos los números mixtos como
fracciones impropias antes de aplicar la regla en la siguiente
forma:
Un segundo método para multiplicar números
mixtos emplea la ley distributiva. Esta ley establece que
un multiplicador aplicado a una expresión de dos partes
se distribuye entre ambas partes. Por ejemplo, para multiplicar
6 1/3 por 4 podemos volver a escribir 6 1/3 como 6 + 1/3.
Entonces el problema puede escribirse como 4 (6 + 1/3) y la
multiplicación se efectúa de este modo:
La definición y el procedimiento para
multiplicar números fraccionarios es aplicable a la
multiplicación de números racionales, teniendo
cuidado de operar con los numeradores de acuerdo con la regla
de la multiplicación de números enteros.
Luego: Para multiplicar números racionales
se suprimen los factores comunes que tengan los numeradores
y denominadores de los mismos, luego se pone por numerador
del producto al producto de los factores restantes de los
numeradores y por denominador al de los factores restantes
de los denominadores.
Ejemplo:
SIMPLIFICACIÓN
Los cálculos pueden reducirse en forma considerable
dividiendo (SIMPLIFICANDO) los factores comunes al numerador
y al denominador. Una fracción constituye una división
indicada. Pensando que 6/9 es una división indicada
recordamos que podemos simplificar la división representando
tanto el divisor como los productos indicados de sus factores
y dividiendo luego, o simplificando, los factores iguales.
Así,
Dividiendo el factor 3 del numerador por 3 del
denominador se obtiene el siguiente resultado simplificando:
Este método es más ventajoso cuando
se efectúa antes que cualquier otro cálculo.
Consideremos el ejemplo,
El producto en forma factoreada es:
En vez de hacer la multiplicación y luego
reducir el resultado 6/30, resulta más simple tachar
primero los factores comunes, como sigue:
Asimismo,
Aquí factoreamos mentalmente 6 en 3 x
2 y 4 en la forma 2 X 2. La simplificación representa
una herramienta valiosa para acortar las operaciones con fracciones.
La regla general puede aplicarse a números
mixtos cambiándolos simplemente a fracciones impropias.
Entonces,
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar los siguientes productos usando
la regla general y simplificando cuando es posible:
El problema que sigue ilustra la multiplicación
de fracciones en un caso práctico,
EJEMPLO: Determinar la distancia entre las líneas
de centro del primero y quinto remaches que unen las dos planchas
metálicas exhibidas en la figura 4-7 (A).
SOLUCIÓN: La distancia entre centros, entre dos remaches
adyacentes, es 4 1/2 veces el diámetro de uno de ellos.
Entonces,
Entre el primero y quinto remaches hay 4 espacios.
Por tanto, la distancia total, D, se determina como sigue:
La distancia es 11 1/4 pulgadas.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Figura 4-7. Aplicación de la multiplicación
de fracciones para determinar el espacio de remaches.
Determinar la distancia entre centros de los dos remaches
ilustrados en la figura 4-7 (B).
División
Hay dos métodos usados comúnmente para efectuar
la división con fracciones. Uno es el método
del común denominador y el otro es el método
recíproco.
MÉTODO DEL COMÚN DENOMINADOR
El método del común denominador constituye
una adaptación del método de fracciones semejantes.
La regla es la siguiente: Se convierte el dividendo y el divisor
a fracciones semejantes y se divide el numerador del dividendo
por el numerador del divisor. Este método puede demostrarse
con números enteros, transformándolos primero
en fracciones con denominador 1. Por ejemplo, 12 ÷
4 puede escribirse como sigue:
Si el dividendo y el divisor son fracciones,
como 1/3 dividido por 1/4, se procede como sigue:
MÉTODO RECÍPROCO
La palabra "recíproco" denota
una relación intercambiable. Se emplea en matemáticas
para escribir una relación específica entre
dos números. Decimos que dos números son recíprocos
uno de otro si su producto es 1. En el ejemplo 4xl/4=1 las
fracciones 4/1 y 1/4 son recíprocas. Observe la intercambiabilidad:
4 es el recíproco de 1/4 y 1/4 es el recíproco
de 4.
¿Cuál es el recíproco
de 3/7? Debe ser un número que cuando se lo multiplique
por 3/7 dé como producto 1. Por tanto,
Vemos que 7/3 es el único número
que cumpliría con este requisito. Observe que el numerador
y el denominador de 3/7 se intercambiaron simplemente para
obtener el recíproco. Si conocemos un número
podemos siempre determinar su recíproco dividiendo
1 por el número. Note este principio en los siguientes
ejemplos:
1. ¿Cuál es el recíproco
de 7?
Advierta que en este ejemplo el proceso de simplificación
no presenta la forma usual que resulta cuando se divide un
número por sí mismo. Por ejemplo, cuando 7 anula
a 7, el cociente 1 podría mostrarse al lado de cada
uno de los 7. Sin embargo, visto que 1 como factor tiene el
mismo efecto, ya sea que se escriba o simplemente se sobreentienda,
los 1 no necesitan escribirse.
2. ¿Cuál es el recíproco de 3/8?
Otra manera de expresar este concepto, es el de números
racionales inversos: Dado un número racional distinto
de cero, se llama inverso del mismo al número racional
del mismo signo cuyo numerador y denominador sean respectivamente
denominador y numerador del primero.
Los ejemplos anteriores nos conducen a las reglas para determinar
el recíproco de cualquier número: el recíproco
de un número es la fracción formada cuando 1
se divide por el número (si el resultado final es un
número entero, puede considerarse como una fracción
cuyo denominador es l). Una regla simplificada, totalmente
mecánica, que no implica razonamientos, puede establecerse
como sigue: para determinar el recíproco de un número
se lo expresa como una fracción y luego se invierte
la fracción.
Cuando el numerador de una fracción es 1, el recíproco
es un número entero. Cuanto más pequeña
sea la fracción mayor será el recíproco.
Por ejemplo, el recíproco de l/l.000 es 1.000. Además,
el recíproco de todo número entero es una fracción
propia. Entonces el recíproco de 50 es 1/50.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Escriba el recíproco de cada uno de los siguientes
números:
El método recíproco de división usa
la asociación de la multiplicación y la división.
En cualquier problema de división debemos determinar
la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Qué número
multiplicado por el divisor reproduce el dividendo? Por ejemplo,
si el problema es dividir 24 por 6 debemos determinar el factor
que multiplicado por 6 dé 24. La experiencia nos dice
que el número que buscamos es 1/6 de 24. Entonces podemos
volver a escribir el problema como sigue:
En el ejemplo 1 1/2 : 3 podríamos escribir 3 X ? =
1 1/2. El numerador que buscamos debe ser 1/3 de 1 1/2. Entonces
podemos hacer la división tomando un tercio de 1 1/2;
es decir, multiplicamos 1 1/2 por el recíproco de 3.
La regla para la división por el método
recíproco es: Multiplicar el dividendo por el recíproco
del divisor. Esto a veces se establece en forma abreviada
como sigue: Invertir el divisor y multiplicar.
Los siguientes ejemplos de casos que surgen
en división con fracciones serán resueltos por
el método recíproco y por el método del
común denominador. El método del común
denominador muestra con mayor claridad el proceso de la división
y resulta más fácil para el principiante. El
método recíproco es más oscuro para usar
pero tiene la ventaja de la velocidad y la posibilidad de
simplificar los factores semejantes, lo que abrevia el cálculo.
Es el método sugerido una vez familiarizado con los
principios.
Otros ejemplos:
Verificación de la posibilidad de división
de números enteros cuando el dividendo no es múltiplo
del divisor.
El Procedimiento seguido anteriormente nos dice que la división
de números racionales se transforma en una multiplicación,
y como esta operación es siempre posible, la primera
también lo es, vale decir: dados en un cierto orden
dos números racionales cualesquiera, siendo el segundo
distinto de cero, existe siempre otro número racional
que es el cociente del primero por el segundo.
Entonces como los números enteros son también
números racionales, la imposibilidad de encontrar el
cociente de dos números enteros cuando el valor absoluto
del dividendo no es múltiplo del valor absoluto del
divisor, ha desaparecido con la creación de los números
racionales.
Fracciones complejas
Cuando en una fracción el numerador, el denominador
o ambos están formados a su vez por fracciones, la
expresión resultante se llama fracción compleja.
CONVENCIONES. La posibilidad de poder hallar el cociente
exacto de dos números enteros en todos los casos en
que el divisor no es cero, y la circunstancia de que ese cociente
sea una fracción, nos conducen a convenir en: Sustituir
el signo ( :) de dividir por la raya de frac¬ción
para indicar la división de un número entera
por otro, y recí¬procamente, con la expresión
formada al escribir un número entero y debajo otro
distinto de cero, separados ambos por un raya de fracción,
se indica el cociente exacto del primer número entero
por el se¬gundo. Las expresiones así obtenidas
se llaman fracciones de términos enteros.
La siguiente expresión es una fracción compleja:
Esto se leería "tres quintos sobre
tres cuartos" o "tres quintos dividido tres cuartos".
Toda fracción compleja puede simplificarse escribiéndola
como un problema de división en la forma que sigue:
Similarmente,
Las fracciones complejas pueden contener también
una operación indicada en el numerador, en el denominador
o en ambos. Entonces,
es una fracción compleja. Para simplificar
tal fracción simplificamos el numerador y el denominador
y procedemos como sigue:
Los números mixtos aparecen en fracciones
complejas generalmente con el signo más.
Así pues,
que se escribirá:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS
Simplificar las siguientes fracciones complejas:
Las fracciones complejas pueden surgir en electrónica
cuando es necesario determinar la resistencia total de varias
resistencias en paralelo, conforme se muestra en la figura
4-8. La regla es: La resistencia total de un circuito paralelo
es 1 dividido por la suma de los recíprocos de las
resistencias separadas. Escrito como una fórmula esto
nos da la siguiente expresión:
FIGURA 4-8. Aplicación de las fracciones
complejas para calcular la resistencia eléctrica.
EJEMPLO: Determinar la resistencia total del
circuito paralelo en la figura 4-8 (A). Sustituyendo los valores
3, 4 y 6 por las letras R1, R2, y R3.,
tenemos lo siguiente:
El MCD de las fracciones 1/3, 1/4 y 1/6 es 12.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la resistencia total del circuito paralelo de la
figura 4-8 (B).
Respuesta. 1 1/4 ohms.
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