CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA) ONLINE


   

 

Números decimales

 

Custom Search

www.sapiensman.com


Página Inicio. Página Anterior Página Siguiente

Curso de Matemáticas


www.tecnoficio.com - Información para el estudiante y el trabajador de oficios técnicos.

www.sapienstrade.com - Shopping Mall

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

El origen y significado de la palabra "decimal" se examinaron en el capítulo 1 de este curso, donde también explicamos el concepto del valor de la posición y el uso del número 10 como base de nuestro sistema de numeración. Otro término que se usa con frecuencia para denominar la base de un sistema numérico es RAÍZ. Por ejemplo, 2 es la raíz del sistema binario y 10 es la raíz del sistema decimal. La raíz de un sistema numérico siempre es igual al número de dígitos diferentes empleados en él. Por ejemplo, el sistema decimal con raíz 10 tiene diez dígitos: 0 a 9.

FRACCIONES DECIMALES

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es 10 o alguna potencia de 10, tal como 100, 1000 ó 10.000. Entonces 7/10, 12/100 y 215/1.000 son fracciones decimales. Las fracciones decimales poseen características especiales que hacen su cálculo mucho más fácil que con otras fracciones.

Las fracciones decimales completan nuestro sistema de números decimales. En el estudio de los números enteros encontramos que podíamos avanzar a la izquierda desde el lugar de las unidades, decenas, centenas, millares, e indefinidamente hasta cualquier lugar de mayor valor, pero el desarrollo se detenía en el lugar de las unidades. Las fracciones decimales completan este desarrollo, de modo que podemos avanzar a la derecha de las unidades hasta cualquier número indefinidamente más pequeño.

La figura 5-1 (A) muestra cómo las fracciones decimales completan el sistema. Se notará que cuando avanzarnos de izquierda a derecha el valor de cada lugar es un décimo del valor del lugar precedente, y que el sistema continúa en forma ininterrumpida con las fracciones decimales.

La figura 5-1 (B) ilustra nuevamente el sistema, esta vez usando números. Observe en (A) y en (B) que el lugar de las unidades es el centro del sistema y que el valor de la posición avanza hacia la derecha o hacia la izquierda por potencias de diez. Decenas a la izquierda están equilibradas por décimos a la derecha, centenas por centésimos, millares por milésimos, etcétera.

Note que 1/10 es un lugar a la derecha del digito de las unidades, 1/100 es dos lugares a la derecha, y así por el estilo. (Ver figura 5-1.)

Figura 5-1. Valor de la posición incluyendo decimales.

Si se coloca una marca después del dígito de las unidades podemos determinar cuándo un digito decimal está en los décimos, centésimos o milésimos, contando los lugares a la derecha de esa marca. En algunas naciones europeas la marca es una coma, pero en los países de habla inglesa se emplea un punto decimal.

Entonces, 3/10 se escribe 0,3. Para escribir 3/ 100 es necesario mostrar que 3 está en el segundo lugar a la derecha de la coma decimal, de modo que se coloca un cero en el primer lugar. Así, 3/100 se escribe 0,03. En forma similar, 3/1000 puede escribirse colocando ceros en los dos primeros lugares a la derecha de la coma decimal. Así pues, 3/1000 se escribe 0,003. En el número 0,3 podemos decir que 3 está en el primer lugar decimal; en 0,03, el 3 se halla en el segundo lugar decimal, y en 0,003, el 3 está en el tercer lugar decimal. Con frecuencia las fracciones decimales se llaman simplemente decimales cuando se las escribe en esta forma abreviada.

Notación decimal

Toda fracción decimal puede escribirse en la forma abreviada por un simple proceso mecánico. Se comienza con el dígito de la derecha en el numerador y se cuenta hacia la izquierda tantos lugares como ceros hay en el denominador. Se coloca la coma decimal a la izquierda del último dígito contado. Entonces puede descartarse el denominador. Si no hay tantos dígitos como lugares para colocar ceros es preciso agregarlos a la izquierda del último dígito del numerador.

Entonces, en 23/10000, comenzando por el digito 3, contamos cuatro lugares a la izquierda, agregando dos ceros al contar, y colocamos la coma decimal en el extremo izquierdo. (Ver figura 5-2.) Cualquiera de las formas se lee "veintitrés diez milésimos".

Figura 5-2. Conversión de una fracción decimal abreviada.

Figura 5-3. Pasos en la conversión de una fracción decimal a la forma abreviada.

Cuando una fracción decimal se escribe en la forma abreviada siempre tendrá tantos lugares decimales en la forma abreviada como ceros hay en el denominador de la forma fraccionaría.

La figura 5-3 muestra la fracción 24358/100000 y lo que significa cuando se la convierte a la forma abreviada. Se ha presentado esta figura para ilustrar que cada dígito de una fracción decimal conserva cierta posición en la secuencia del digito y tiene un valor particular.

Por la regla fundamental de las fracciones es evidente que 5/10 = 50/100 = 500/1000. Escribiendo los mismos valores en la forma abreviada tenemos 0,5 = 0,50 = 0,500. En otras palabras, el valor de un decimal no cambia agregando ceros a la derecha del número.

Esto no es cierto para los números enteros. Entonces 0,3 ; 0,30 ; 0,300 son iguales, pero 3 ; 30 y 300 no son iguales. Advierta asimismo que los ceros directamente después de la coma decimal cambian los valores. Así, 0,3 no es igual ni a 0,03 ni a 0,003.

(Nota de traducción: Los párrafos que siguen son válidos únicamente para los países de, habla inglesa.)

A menudo aparecen decimales como 0.125. Si bien el cero a la izquierda del punto decimal no es necesario, con frecuencia resulta útil. Esto es particularmente cierto en una expresión tal como 32 : 0.1. En esta expresión el punto inferior del símbolo de la división no debe confundirse con el punto decimal; el cero actúa como un espaciador efectivo. Si existe alguna duda concerniente a la claridad de una expresión tal como .125 se debe escribirla 0.125.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 4, transforme las fracciones en decimales. En los problemas 5 a 8, escriba los números dados como decimales:

Escribe un número decimal que esté entre:
a) 5 y 6 b) 4,5 y 4,7 c) 2,1 y 2,2 d) 0,015 y 0,016 e) 0,009 y 0,01 f) 0,0425 y 0,04251

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 5 < 5,5 < 6 b) 4,5 < 4,6 < 4,7
c) 2,1 < 2,15 < 2,2 d) 0,015 < 0,0155 < 0,016
e) 0,009 < 0,0095 < 0,01 f ) 0,0425 < 0,042505 < 0,04251

Lectura de decimales

Para leer una fracción decimal leemos su numerador y denominador como al leer fracciones comunes. Para leer 0,305 leemos "trescientos cinco milésimos”. El denominador siempre es 1 con tantos ceros como lugares decimales. Así, el denominador para 0,14 es 1 con dos ceros o 100. Para 0,003 es 1000; para 0,101 es 1000 y para 0,3 es 10. El denominador también puede determinarse contando los lugares del decimal. Para 0,13 podemos pensar: “décimos, centésimos" y la fracción es centésimos. En el ejemplo 0,1276, podemos pensar "décimos, centésimos, milésimos, diez milésimos”. Vemos que el denominador es 10000 y leemos la fracción "mil doscientos setenta y seis diez milésimos”.

Un número entero con una fracción en forma de decimal se llama DECIMAL MIXTO. Los decimales mixtos se leen de la misma manera que los números mixtos. Leemos el número entero seguido por la preposición "y" y luego leemos el decimal. Entonces, 160,32 se lee "ciento sesenta y treinta y dos centésimos”.

La preposición "y", en este caso como en los números mixtos, significa más. El número 3,2 significa tres más dos décimos.

También es posible hallar decimales complejos. Un DECIMAL COMPLEJO contiene una fracción común. El número 0,3 1/3 es un decimal complejo y se lee "tres décimos y un tercio". El número 0,87 1/2 significa 87 1/2 centésimos. La fracción común en cada caso forma una parte del último lugar, o lugar a la derecha.

En la práctica no se emplea el procedimiento anterior cuando se dictan números. En cambio, se dictan directamente los dígitos por su orden colocando la coma decimal en el lugar apropiado. Por ejemplo, el número 216,003 se lee "dos uno seis coma cero cero tres". El número 0,05 se lee "cero coma cero cinco".

DECIMALES EQUIVALENTES

Las fracciones decimales pueden transformarse en fracciones equivalentes de términos mayores o menores, como en el caso de las fracciones comunes. Si cada fracción decimal vuelve a escribirse en su forma de fracción común el cambio a los términos superiores se realiza multiplicando numerador y denominador por 10 ó 100, o por alguna potencia mayor de 10. Por ejemplo, si deseamos convertir 5/10 a centésimos debemos hacerlo multiplicando numerador y denominador por 10. En la forma decimal podrá hacerse lo mismo agregando simplemente un cero.

Así pues,

0,5 = 0,50

El agregar un cero a un decimal tiene el mismo efecto que multiplicar la fracción común del decimal por 10/10. Esta es una aplicación de la regla fundamental de las fracciones. Agregando dos ceros se tiene el mismo efecto que multiplicando la forma de fracción común del decimal por 100/100; agregando tres ceros se logra el mismo efecto que multiplicando por 1000/1000, etcétera.

Reducción a términos de menor valor

Cuando se trabaja con fracciones decimales la reducción a términos de menor valor se conoce como REDONDEAR o simplemente REDONDEO. Si se desea reducir 6,3000 a términos de menor valor simplemente se reducen tantos ceros finales como es necesario, ya que esto equivale a dividir ambos términos de la fracción por la misma potencia de 10. Entonces vemos que 6,300 es lo mismo que 6,30 ó 6,3.

Con frecuencia es preciso reducir un número tal como 6,427 a un grado de menor precisión. Por ejemplo, supongamos que 6,427 debe redondearse a la centésima inmediata. La cuestión a decidir es si 6,427 está más cercano a 6,42 ó 6,43.

La mejor forma de decidir este problema es comparando las fracciones 420/1000, 427/1000 y 430/1000. Resulta evidente que 427/1000 está más cerca de 430/1000, y 430/1000 es equivalente a 43/100; por tanto decimos que 6,427 redondeado a la centésima inmediata es 6,43.

Se puede desarrollar una regla mecánica para redondear a partir del análisis anterior. Puesto que el dígito en el lugar de los décimos no queda afectado cuando redondeamos 6,427 a la centésima, podemos limitar nuestra atención a los dígitos de la centésima y milésima. Entonces la decisión se reduce al problema de si 27 está aún más cercano a 20 o a 30. Observe que 26 se halla en la mitad entre 20 y 30. Es claro entonces que cualquier otro mayor que 25 estará más cerca de 30 que de 20.

En todo número entre 20 y 30, si el dígito en el lugar de los milésimos es mayor que 5 el numero formado por los dígitos de la centésima y milésima es mayor que 25. De modo que podemos redondear el 27 en nuestro problema original a 30, en lo que concierne a los dígitos de la centésima y milésima. Este resultado puede resumirse como sigue: Cuando se redondea a la centésima, si el dígito en el lugar de los milésimos es mayor que 5 se aumenta el dígito en el lugar de los centésimos en 1 y se saca el dígito de los milésimos.

El dígito en el lugar de los milésimos puede ser cualquiera de los diez dígitos, de 0 a 9. Si estos diez dígitos se separan en dos grupos, uno compuesto por los cinco más pequeños (0 a 4) y el otro integrado por los cinco mayores, entonces 5 se considera como uno de los dígitos mayores. Por tanto, la regla general para redondear se establece como sigue: si el dígito en el lugar decimal a eliminar es 5 o mayor se aumenta el dígito en el siguiente lugar decimal a la izquierda en 1. Si el dígito a eliminar es menor que 5 se dejan los dígitos sin cambiar. Los siguientes ejemplos ilustran la regla para redondear:

1. 0,1414 redondeado a la milésima es 0,141.
2. 3,147 redondeado al décimo es 3,1.
3. 475 redondeado al centenar inmediato es 500.

Note con cuidado que la respuesta para el ejemplo 2 no es 3,2. Algunos alumnos cometen el error de tratar el proceso de redondeo como un tipo de reacción en cadena, en el cual primero redondean 3,147 a 3,15 y luego redondean 3,15 a 3,2. El error de este método es evidente cuando observamos que 147/1000 está más cerca de 100/1000 que lo está de 200/1000.

Los problemas del siguiente tipo son a veces confusos: reducir 2,998 a la centésima inmediata.

Para eliminar el número final debemos aumentar el número siguiente en 1. El resultado final es 3,00. Conservamos los ceros para mostrar que la respuesta se ha llevado a la centésima más cercana.

PRACTICA DE PROBLEMAS:

Redondear como se indica:

- Aproxima a las diezmilésimas:

a) 3,2859499 → 3,2859
b) 2,6005573 → 2,6006
c) 0,0064795 → 0,0065
d) 0,0082009 → 0,0082

- Escribe una aproximación de cada uno de estos números con un error menor que cinco milésimas:

Aproximando a las centésimas, cometeremos un error menor de cinco milésimas.

a) 2,8649 → 2,86
b) 5,00932 → 5,01
c) 0,02994 → 0,03
d) 4,305186 → 4,31

- Supón que para aproximar números decimales nos limitamos a suprimir todas las cifras que quedan a la derecha de las centésimas. ¿Qué puedes decir, en general, del error cometido?

El error es menor de una centésima.

Convertir decimales a fracciones comunes

Todo decimal puede reducirse a una fracción común. Para hacer esto escribimos el numerador y el denominador totalmente y reducimos a los términos de menor valor. Por ejemplo, para transformar 0,12 en fracción común escribimos totalmente la fracción

pero en ésta los términos son los mínimos, de modo que la fracción no puede ser reducida.

Una forma de controlar si una fracción decimal puede reducirse a términos de menor valor es considerar la formación del denominador decimal. El denominador es siempre 10 o una potencia de 10. La observación nos indica que los factores primos de 10 son 5 y 2. Entonces, el numerador debe ser divisible por 5, por 2 o por ambos, o la fracción no puede ser reducida.

EJEMPLO: Reducir el decimal 0,0625 a una fracción común y reducir a los términos de menor valor.

Los decimales complejos se convierten a fracciones comunes escribiendo primero totalmente el numerador y el denominador y reduciendo luego la fracción compleja resultante en la forma usual. Por ejemplo, para reducir 0,12 1/21 primero escribimos

Escribiendo el numerador como fracción impropia tenemos

y aplicando el método recíproco de división resulta

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Transformar los siguientes decimales en fracciones comunes con los mínimos términos:

Transformación de fracciones comunes en decimales

La única diferencia entre una fracción decimal y una fracción común es que la fracción decimal tiene en el denominador 1 con cierto número de ceros (en otras palabras, una potencia de 10). Entonces, una fracción común puede convertirse a decimal si es factible reducirla a una fracción que tenga una potencia de 10 como denominador.

Si el denominador de la fracción común en sus términos de menor valor está formado por factores primos 2 ó 5 o por ambos, la fracción puede transformarse en un decimal exacto. Si existe algún otro factor primo, la fracción no puede convertirse en forma exacta. La verdad de esto es evidente cuando consideramos el denominador de la nueva fracción. Siempre debe ser 10 o una potencia de 10, y sabemos que los factores de este número son siempre 2 y 5.

El método para convertir una fracción común a decimal se ilustra como sigue:

EJEMPLO: Convertir 3/4 a decimal.

Advierta que la fracción original podría haber sido escrita como 3000/4000, en cuyo caso el resultado hubiera sido 0,750. Por otro lado, si la fracción original se hubiera vuelto a escribir como 30/40, la división resultante de 4 en 30 no hubiese sido posible sin un resto. Cuando el denominador en la fracción original tiene solamente 2 y 5 como factores, de modo que sabemos que no hay resto, la fracción se volverá a escribir con los ceros suficientes para completar la división sin resto.

La observación de los resultados en el ejemplo anterior nos lleva a una forma abreviada en el método de conversión. Observando que el factor 1/100 forma parte de la respuesta en la forma de un decimal, podemos introducir la coma decimal como paso final sin escribir la fracción 1/100. Entonces, la regla para transformar fracciones en decimales es como sigue:

1. Agregar al numerador de la fracción original los ceros suficientes, de modo que la división sea exacta (sin resto).
2. Dividir el denominador original por el nuevo numerador formado con el agregado de los ceros.
3. Colocar la coma decimal en la respuesta de manera que el número de lugares decimales en la respuesta sea el mismo que el número de ceros agregados al numerador original.
Si debe transformarse un número mixto en forma de fracción común se convierte solamente la parte fraccionaria y luego se escriben las dos partes juntas. Esto se ilustra como sigue:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Convertir las siguientes fracciones comunes y números mixtos a la forma decimal:

Decimales indeterminados

Conforme se estableció antes, si el denominador de una fracción común contiene algún factor primo que no sea, 2 ó 5, la fracción no puede convertirse totalmente a decimal. Cuando se transforman tales fracciones de acuerdo con la regla anterior, el decimal resultante nunca será completo. Consideremos la fracción 1/3. Aplicando la regla tenemos:

La división podría continuar de modo indefinido. Toda fracción común que no puede convertirse exactamente produce un decimal que no termina nunca y en el cual sus dígitos tarde o temprano se repiten. En el ejemplo anterior el dígito que se repite es 3. En la fracción 5/11 tenemos

Los dígitos que se repiten son 4. y 5.

Cuando una fracción común produce un decimal que se repite en esta forma se hace necesario seleccionar arbitrariamente un punto en el cual cese la repetición. Esto puede hacerse en dos formas. Podemos escribir la fracción decimal redondeando hasta un punto deseado. Por ejemplo, para redondear a centésimos el decimal producido por 1/3 llevamos la división hasta los milésimos, vemos que este número es menor que 5 y cortamos. Así pues, 1/3 redondeado a centésimos es 0,33.

El otro método consiste en llevar la división al número deseado de lugares decimales y convertir el resto de la división incompleta a forma fraccionaria - es decir, escribir el resultado de un decimal complejo. Por ejemplo, 1/3 llevado a los milésimos sería,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS

Transformar las siguientes fracciones comunes en decimales con tres lugares y representar la división incompleta como fracción común:

Temas relacionados :

Ver temas relacionados:

 

 

 


Si esta información te resulta útil, compártela :

 

 

INICIO : Curso de Matemáticas. Elementos Básicos. Álgebra. Geometría.


Volver arriba