El origen y significado de la
palabra "decimal" se examinaron en el capítulo
1 de este curso, donde también explicamos el concepto
del valor de la posición y el uso del número
10 como base de nuestro sistema de numeración. Otro
término que se usa con frecuencia para denominar la
base de un sistema numérico es RAÍZ. Por ejemplo,
2 es la raíz del sistema binario y 10 es la raíz
del sistema decimal. La raíz de un sistema numérico
siempre es igual al número de dígitos diferentes
empleados en él. Por ejemplo, el sistema decimal con
raíz 10 tiene diez dígitos: 0 a 9.
FRACCIONES DECIMALES
Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador
es 10 o alguna potencia de 10, tal como 100, 1000 ó
10.000. Entonces 7/10, 12/100 y 215/1.000 son fracciones decimales.
Las fracciones decimales poseen características especiales
que hacen su cálculo mucho más fácil
que con otras fracciones.
Las fracciones decimales completan nuestro sistema de números
decimales. En el estudio de los números enteros encontramos
que podíamos avanzar a la izquierda desde el lugar
de las unidades, decenas, centenas, millares, e indefinidamente
hasta cualquier lugar de mayor valor, pero el desarrollo se
detenía en el lugar de las unidades. Las fracciones
decimales completan este desarrollo, de modo que podemos avanzar
a la derecha de las unidades hasta cualquier número
indefinidamente más pequeño.
La figura 5-1 (A) muestra cómo las fracciones decimales
completan el sistema. Se notará que cuando avanzarnos
de izquierda a derecha el valor de cada lugar es un décimo
del valor del lugar precedente, y que el sistema continúa
en forma ininterrumpida con las fracciones decimales.
La figura 5-1 (B) ilustra nuevamente el sistema, esta vez
usando números. Observe en (A) y en (B) que el lugar
de las unidades es el centro del sistema y que el valor de
la posición avanza hacia la derecha o hacia la izquierda
por potencias de diez. Decenas a la izquierda están
equilibradas por décimos a la derecha, centenas por
centésimos, millares por milésimos, etcétera.
Note que 1/10 es un lugar a la derecha del digito de las
unidades, 1/100 es dos lugares a la derecha, y así
por el estilo. (Ver figura 5-1.)
Figura 5-1. Valor de la posición incluyendo
decimales.
Si se coloca una marca después del dígito de
las unidades podemos determinar cuándo un digito decimal
está en los décimos, centésimos o milésimos,
contando los lugares a la derecha de esa marca. En algunas
naciones europeas la marca es una coma, pero en los países
de habla inglesa se emplea un punto decimal.
Entonces, 3/10 se escribe 0,3. Para escribir 3/ 100 es necesario
mostrar que 3 está en el segundo lugar a la derecha
de la coma decimal, de modo que se coloca un cero en el primer
lugar. Así, 3/100 se escribe 0,03. En forma similar,
3/1000 puede escribirse colocando ceros en los dos primeros
lugares a la derecha de la coma decimal. Así pues,
3/1000 se escribe 0,003. En el número 0,3 podemos decir
que 3 está en el primer lugar decimal; en 0,03, el
3 se halla en el segundo lugar decimal, y en 0,003, el 3 está
en el tercer lugar decimal. Con frecuencia las fracciones
decimales se llaman simplemente decimales cuando se las escribe
en esta forma abreviada.
Notación decimal
Toda fracción decimal puede escribirse en la forma
abreviada por un simple proceso mecánico. Se comienza
con el dígito de la derecha en el numerador y se cuenta
hacia la izquierda tantos lugares como ceros hay en el denominador.
Se coloca la coma decimal a la izquierda del último
dígito contado. Entonces puede descartarse el denominador.
Si no hay tantos dígitos como lugares para colocar
ceros es preciso agregarlos a la izquierda del último
dígito del numerador.
Entonces, en 23/10000, comenzando por el digito 3, contamos
cuatro lugares a la izquierda, agregando dos ceros al contar,
y colocamos la coma decimal en el extremo izquierdo. (Ver
figura 5-2.) Cualquiera de las formas se lee "veintitrés
diez milésimos".
Figura 5-2. Conversión de una fracción
decimal abreviada.
Figura 5-3. Pasos en la conversión
de una fracción decimal a la forma abreviada.
Cuando una fracción decimal se escribe en la forma
abreviada siempre tendrá tantos lugares decimales en
la forma abreviada como ceros hay en el denominador de la
forma fraccionaría.
La figura 5-3 muestra la fracción 24358/100000 y
lo que significa cuando se la convierte a la forma abreviada.
Se ha presentado esta figura para ilustrar que cada dígito
de una fracción decimal conserva cierta posición
en la secuencia del digito y tiene un valor particular.
Por la regla fundamental de las fracciones es evidente que
5/10 = 50/100 = 500/1000. Escribiendo los mismos valores en
la forma abreviada tenemos 0,5 = 0,50 = 0,500. En otras palabras,
el valor de un decimal no cambia agregando ceros a la derecha
del número.
Esto no es cierto para los números enteros. Entonces
0,3 ; 0,30 ; 0,300 son iguales, pero 3 ; 30 y 300 no son iguales.
Advierta asimismo que los ceros directamente después
de la coma decimal cambian los valores. Así, 0,3 no
es igual ni a 0,03 ni a 0,003.
(Nota de traducción: Los párrafos que siguen
son válidos únicamente para los países
de, habla inglesa.)
A menudo aparecen decimales como 0.125. Si bien el cero
a la izquierda del punto decimal no es necesario, con frecuencia
resulta útil. Esto es particularmente cierto en una
expresión tal como 32 : 0.1. En esta
expresión el punto inferior del símbolo de la
división no debe confundirse con el punto decimal;
el cero actúa como un espaciador efectivo. Si existe
alguna duda concerniente a la claridad de una expresión
tal como .125 se debe escribirla 0.125.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, transforme las fracciones en decimales.
En los problemas 5 a 8, escriba los números dados como
decimales:
Lectura de decimales
Para leer una fracción decimal leemos su numerador
y denominador como al leer fracciones comunes. Para leer 0,305
leemos "trescientos cinco milésimos”. El
denominador siempre es 1 con tantos ceros como lugares decimales.
Así, el denominador para 0,14 es 1 con dos ceros o
100. Para 0,003 es 1000; para 0,101 es 1000 y para 0,3 es
10. El denominador también puede determinarse contando
los lugares del decimal. Para 0,13 podemos pensar: “décimos,
centésimos" y la fracción es centésimos.
En el ejemplo 0,1276, podemos pensar "décimos,
centésimos, milésimos, diez milésimos”.
Vemos que el denominador es 10000 y leemos la fracción
"mil doscientos setenta y seis diez milésimos”.
Un número entero con una fracción en forma
de decimal se llama DECIMAL MIXTO. Los decimales mixtos se
leen de la misma manera que los números mixtos. Leemos
el número entero seguido por la preposición
"y" y luego leemos el decimal. Entonces, 160,32
se lee "ciento sesenta y treinta y dos centésimos”.
La preposición "y", en este caso como en
los números mixtos, significa más. El número
3,2 significa tres más dos décimos.
También es posible hallar decimales complejos. Un
DECIMAL COMPLEJO contiene una fracción común.
El número 0,3 1/3 es un decimal complejo y se lee "tres
décimos y un tercio". El número 0,87 1/2
significa 87 1/2 centésimos. La fracción común
en cada caso forma una parte del último lugar, o lugar
a la derecha.
En la práctica no se emplea el procedimiento anterior
cuando se dictan números. En cambio, se dictan directamente
los dígitos por su orden colocando la coma decimal
en el lugar apropiado. Por ejemplo, el número 216,003
se lee "dos uno seis coma cero cero tres". El número
0,05 se lee "cero coma cero cinco".
DECIMALES EQUIVALENTES
Las fracciones decimales pueden transformarse en fracciones
equivalentes de términos mayores o menores, como en
el caso de las fracciones comunes. Si cada fracción
decimal vuelve a escribirse en su forma de fracción
común el cambio a los términos superiores se
realiza multiplicando numerador y denominador por 10 ó
100, o por alguna potencia mayor de 10. Por ejemplo, si deseamos
convertir 5/10 a centésimos debemos hacerlo multiplicando
numerador y denominador por 10. En la forma decimal podrá
hacerse lo mismo agregando simplemente un cero.
Así pues,
0,5 = 0,50
El agregar un cero a un decimal tiene el mismo efecto que
multiplicar la fracción común del decimal por
10/10. Esta es una aplicación de la regla fundamental
de las fracciones. Agregando dos ceros se tiene el mismo efecto
que multiplicando la forma de fracción común
del decimal por 100/100; agregando tres ceros se logra el
mismo efecto que multiplicando por 1000/1000, etcétera.
Reducción a términos de menor valor
Cuando se trabaja con fracciones decimales la reducción
a términos de menor valor se conoce como REDONDEAR
o simplemente REDONDEO. Si se desea reducir 6,3000 a términos
de menor valor simplemente se reducen tantos ceros finales
como es necesario, ya que esto equivale a dividir ambos términos
de la fracción por la misma potencia de 10. Entonces
vemos que 6,300 es lo mismo que 6,30 ó 6,3.
Con frecuencia es preciso reducir un número tal como
6,427 a un grado de menor precisión. Por ejemplo, supongamos
que 6,427 debe redondearse a la centésima inmediata.
La cuestión a decidir es si 6,427 está más
cercano a 6,42 ó 6,43.
La mejor forma de decidir este problema es comparando las
fracciones 420/1000, 427/1000 y 430/1000. Resulta evidente
que 427/1000 está más cerca de 430/1000, y 430/1000
es equivalente a 43/100; por tanto decimos que 6,427 redondeado
a la centésima inmediata es 6,43.
Se puede desarrollar una regla mecánica para redondear
a partir del análisis anterior. Puesto que el dígito
en el lugar de los décimos no queda afectado cuando
redondeamos 6,427 a la centésima, podemos limitar nuestra
atención a los dígitos de la centésima
y milésima. Entonces la decisión se reduce al
problema de si 27 está aún más cercano
a 20 o a 30. Observe que 26 se halla en la mitad entre 20
y 30. Es claro entonces que cualquier otro mayor que 25 estará
más cerca de 30 que de 20.
En todo número entre 20 y 30, si el dígito
en el lugar de los milésimos es mayor que 5 el numero
formado por los dígitos de la centésima y milésima
es mayor que 25. De modo que podemos redondear el 27 en nuestro
problema original a 30, en lo que concierne a los dígitos
de la centésima y milésima. Este resultado puede
resumirse como sigue: Cuando se redondea a la centésima,
si el dígito en el lugar de los milésimos es
mayor que 5 se aumenta el dígito en el lugar de los
centésimos en 1 y se saca el dígito de los milésimos.
El dígito en el lugar de los milésimos puede
ser cualquiera de los diez dígitos, de 0 a 9. Si estos
diez dígitos se separan en dos grupos, uno compuesto
por los cinco más pequeños (0 a 4) y el otro
integrado por los cinco mayores, entonces 5 se considera como
uno de los dígitos mayores. Por tanto, la regla general
para redondear se establece como sigue: si el dígito
en el lugar decimal a eliminar es 5 o mayor se aumenta el
dígito en el siguiente lugar decimal a la izquierda
en 1. Si el dígito a eliminar es menor que 5 se dejan
los dígitos sin cambiar. Los siguientes ejemplos ilustran
la regla para redondear:
1. 0,1414 redondeado a la milésima es 0,141.
2. 3,147 redondeado al décimo es 3,1.
3. 475 redondeado al centenar inmediato es 500.
Note con cuidado que la respuesta para el ejemplo 2 no es
3,2. Algunos alumnos cometen el error de tratar el proceso
de redondeo como un tipo de reacción en cadena, en
el cual primero redondean 3,147 a 3,15 y luego redondean 3,15
a 3,2. El error de este método es evidente cuando observamos
que 147/1000 está más cerca de 100/1000 que
lo está de 200/1000.
Los problemas del siguiente tipo son a veces confusos: reducir
2,998 a la centésima inmediata.
Para eliminar el número final debemos aumentar el
número siguiente en 1. El resultado final es 3,00.
Conservamos los ceros para mostrar que la respuesta se ha
llevado a la centésima más cercana.
PRACTICA DE PROBLEMAS:
Redondear como se indica:
Convertir decimales a fracciones comunes
Todo decimal puede reducirse a una fracción común.
Para hacer esto escribimos el numerador y el denominador totalmente
y reducimos a los términos de menor valor. Por ejemplo,
para transformar 0,12 en fracción común escribimos
totalmente la fracción
pero en ésta los términos son los mínimos,
de modo que la fracción no puede ser reducida.
Una forma de controlar si una fracción decimal puede
reducirse a términos de menor valor es considerar la
formación del denominador decimal. El denominador es
siempre 10 o una potencia de 10. La observación nos
indica que los factores primos de 10 son 5 y 2. Entonces,
el numerador debe ser divisible por 5, por 2 o por ambos,
o la fracción no puede ser reducida.
EJEMPLO: Reducir el decimal 0,0625 a una fracción
común y reducir a los términos de menor valor.
Los decimales complejos se convierten a fracciones comunes
escribiendo primero totalmente el numerador y el denominador
y reduciendo luego la fracción compleja resultante
en la forma usual. Por ejemplo, para reducir 0,12 1/21 primero
escribimos
Escribiendo el numerador como fracción
impropia tenemos
y aplicando el método recíproco
de división resulta
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Transformar los siguientes decimales en fracciones comunes
con los mínimos términos:
Transformación de fracciones comunes en decimales
La única diferencia entre una fracción decimal
y una fracción común es que la fracción
decimal tiene en el denominador 1 con cierto número
de ceros (en otras palabras, una potencia de 10). Entonces,
una fracción común puede convertirse a decimal
si es factible reducirla a una fracción que tenga una
potencia de 10 como denominador.
Si el denominador de la fracción común en sus
términos de menor valor está formado por factores
primos 2 ó 5 o por ambos, la fracción puede
transformarse en un decimal exacto. Si existe algún
otro factor primo, la fracción no puede convertirse
en forma exacta. La verdad de esto es evidente cuando consideramos
el denominador de la nueva fracción. Siempre debe ser
10 o una potencia de 10, y sabemos que los factores de este
número son siempre 2 y 5.
El método para convertir una fracción común
a decimal se ilustra como sigue:
EJEMPLO: Convertir 3/4 a decimal.
Advierta que la fracción original podría haber
sido escrita como 3000/4000, en cuyo caso el resultado hubiera
sido 0,750. Por otro lado, si la fracción original
se hubiera vuelto a escribir como 30/40, la división
resultante de 4 en 30 no hubiese sido posible sin un resto.
Cuando el denominador en la fracción original tiene
solamente 2 y 5 como factores, de modo que sabemos que no
hay resto, la fracción se volverá a escribir
con los ceros suficientes para completar la división
sin resto.
La observación de los resultados en el ejemplo anterior
nos lleva a una forma abreviada en el método de conversión.
Observando que el factor 1/100 forma parte de la respuesta
en la forma de un decimal, podemos introducir la coma decimal
como paso final sin escribir la fracción 1/100. Entonces,
la regla para transformar fracciones en decimales es como
sigue:
1. Agregar al numerador de la fracción original los
ceros suficientes, de modo que la división sea exacta
(sin resto).
2. Dividir el denominador original por el nuevo numerador
formado con el agregado de los ceros.
3. Colocar la coma decimal en la respuesta de manera que el
número de lugares decimales en la respuesta sea el
mismo que el número de ceros agregados al numerador
original.
Si debe transformarse un número mixto en forma de fracción
común se convierte solamente la parte fraccionaria
y luego se escriben las dos partes juntas. Esto se ilustra
como sigue:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Convertir las siguientes fracciones comunes y números
mixtos a la forma decimal:
Decimales indeterminados
Conforme se estableció antes, si el denominador de
una fracción común contiene algún factor
primo que no sea, 2 ó 5, la fracción no puede
convertirse totalmente a decimal. Cuando se transforman tales
fracciones de acuerdo con la regla anterior, el decimal resultante
nunca será completo. Consideremos la fracción
1/3. Aplicando la regla tenemos:
La división podría continuar de
modo indefinido. Toda fracción común que no
puede convertirse exactamente produce un decimal que no termina
nunca y en el cual sus dígitos tarde o temprano se
repiten. En el ejemplo anterior el dígito que se repite
es 3. En la fracción 5/11 tenemos
Los dígitos que se repiten son 4. y
5.
Cuando una fracción común produce un decimal
que se repite en esta forma se hace necesario seleccionar
arbitrariamente un punto en el cual cese la repetición.
Esto puede hacerse en dos formas. Podemos escribir la fracción
decimal redondeando hasta un punto deseado. Por ejemplo, para
redondear a centésimos el decimal producido por 1/3
llevamos la división hasta los milésimos, vemos
que este número es menor que 5 y cortamos. Así
pues, 1/3 redondeado a centésimos es 0,33.
El otro método consiste en llevar la división
al número deseado de lugares decimales y convertir
el resto de la división incompleta a forma fraccionaria
- es decir, escribir el resultado de un decimal complejo.
Por ejemplo, 1/3 llevado a los milésimos sería,
PRÁCTICA DE PROBLEMAS
Transformar las siguientes fracciones comunes
en decimales con tres lugares y representar la división
incompleta como fracción común:
|
. 
