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Álgebra Booleana. Temas : Clases y elementos. Diagrama Venn. Aplicación a circuitos conmutadores. Operación Y. Operación O. Tabla de certeza. Diagramas lógicos. Álgebra de Bool. Clases y elementos. Diagrama Venn. Aplicación a circuitos conmutadores. Operación Y. Operación O. Tabla de certeza. Diagramas lógicos. Términos mínimos y términos máximos. Complemento. Representación del valor de un conmutador. Álgebra booleana binaria. Producto lógico. Tabla de certeza. Mecanización de un diagrama lógico. Operación Y. Operación O. Adición algebraica. Circuito conmutador. Circuito gatillo. ..


 

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Introducción

El padre del álgebra Booleana fue George Boole (1815-1864), matemático inglés y especialista en lógica. En la primavera de 1847 escribió un artículo titulado "Análisis matemático de la lógica".

Más adelante (1854) Boole redactó un trabajo mucho más maduro sobre su sistema de lógica, titulado "Una investigación de las leyes del pensamiento", en el que establecía las teorías matemáticas de la lógica. No consideró a la lógica como una rama de la matemática, pero puntualizó que existe una estrecha analogía entre los símbolos del álgebra y aquellos que él había establecido para representar formas lógicas.

El álgebra Booleana permaneció casi ignorada hasta que se descubrió un nuevo campo de aplicación en las computadoras electrónicas. El álgebra Booleana se ha convertido en un tema importante que debe ser comprendido para entender los circuitos computadores electrónicos.

Clases y elementos

Podemos pensar lógicamente que en nuestro universo hay dos divisiones; todas las cosas de interés en un tema se hallan en una división, y todas las otras cosas que no son de interés se encuentran en la otra división. Estas dos divisiones se llaman, respectivamente, la clase universal (1) y la clase nula (0).

Nos preguntamos ahora; ¿qué es lo que integra la clase universal? Sabemos que la clase nula está formada por todas las cosas que no entran en discusión. Pero la clase universal está compuesta por todas las cosas llamadas elementos, que son de interés. Tales elementos pueden agruparse entre sí formando muchas combinaciones.

En la lógica Booleana, dichas combinaciones se denominan clases y no deben confundirse con la clase nula y la clase universal. Estas clases son una parte de la clase universal. Cada clase depende de sus elementos y de los posibles estados en que pueden estar sus elementos (estable, no estable, o ambos).

El álgebra Booleana es el álgebra basada sobre la lógica Booleana y que comprende todos los elementos que tienen solamente dos estados estables posibles y no estados inestables.

Para determinar el número de clases o combinaciones de elementos en álgebra Booleana se obtiene el valor numérico de 2n , donde n es igual al número de elementos que a veces se llaman variables. Se deberá observar que si no hay elementos entonces 2n =20 =1. Esto significa que cuando no existen elementos hay una clase, la clase nula. Además, puesto que no hay elementos no existe la clase universal.

 Diagrama Venn

El diagrama Venn es una imagen topográfica de la lógica, formada por la clase universal dividida en clases que dependen del número n de elementos. Consideremos todos los submarinos y todas las fuentes sonoras que se hallan bajo el agua y que no son submarinos. La representación del diagrama Venn está en la figura 3-1 A.

Estas dos clases no tienen miembros en común, si no hay bajo el agua fuente sonora que sea un miembro de una de ellas. La combinación de estas dos clases comprende el total de la clase universal.

Consideremos ahora que la clase universal contiene otras clases, como son todas las fuentes sonoras de potencia atómica. El diagrama Venn de este esquema lógico Se muestra en la figura 3-1 B. Examinando este diagrama vemos que hay cuatro áreas. Entonces, la clase universal está dividida ,en cuatro clases, como sigue;

(1) Submarinos y no atómicos.
(2) Submarinos y atómicos.
(3) Atómicos y no submarinos.
(4) No submarinos y no atómicos.

La figura 3-1 C muestra estas clases separadamente como áreas sombreadas, con x igual a los submarinos e igual a las fuentes sonoras de potencia atómica. Usando x e y tenemos:

Fig.. 3-1. Diagrama Venn.

(1) x y no y.
(2) x e y.
(3) y y no x.
(4) no x y no y.

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