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Ecuaciones de primer grado con una incógnita


 

 


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Igualdades. Identidades y ecuaciones. Ejemplos. Clasificación de las ecuaciones. Ecuaciones equivalentes. Definición y ejemplos. Propiedades de las ecuaciones equivalentes en que se basa el procedimiento para resolver ecuaciones enteras con una incógnita: su enunciado y comprobación con ejemplos. Pasaje de términos, y de factores o divisores numéricos, de un miembro a otro de una ecuación. Regla práctica para resolver ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita. Ejercicios de aplicación. Ecuaciones fraccionarias con una incógnita. Su conversión en ecuaciones enteras por supresión de denominadores. Posibilidad de la introducción de raíces extrañas con la supresión de denominadores. Regla práctica para resolver ecuaciones fraccionarias con una incógnita. Ejercicios de aplicación.


1. Igualdades: identidades y ecuaciones. – Definición:
 Se llama igualdad algebraica a la expresión formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual, y que se reduce a una igualdad numérica al menos para algún sistema de valores atribuidos a las letras que en ella figuran.

NOTA. - Los sistemas de valores que convierten a una igualdad algebraica en una numérica se dice que satisfacen o verifican la igualdad.

Ejemplo: La expresión

es una igualdad algebraica, pues se satisface al menos para el sistema de valores a = 2, b = 3, c = 5, x = 6, puesto que

Valor numérico:

y vemos lo que ocurre al asignarles valores cualesquiera a las otras letras que en ella figuran

igualdad se verifica.

Si continuáramos asignando valores cualesquiera a a y a m comprobaríamos, siempre, que la igualdad considerada se verifica, puesto que lo indicado en ella es válido para cualquier valor de a y de m, de acuerdo con la propiedad distributiva que da la multiplicación.

En la segunda igualdad

Si continuáramos asignando valores cualesquiera a x veríamos que la igualdad considerada no se verifica. Los alumnos verán más adelante, al estudiar ecuaciones de 2° grado que los únicos valores de x para los cuales se verifica la igualdad considerada son x = 5 y x = - 2.

 

Los ejemplos tratados nos muestran que las igualdades son de dos tipos diferentes, que se distinguen de acuerdo con las siguientes definiciones:

DEFINICIÓN I. - Se llaman identidades a las igualdades que se verifican para todos los valores asignados a las letras que en ellas figuran.

EJEMPLO: (3 + a) m = 3m + am es una identidad.

DEFINICIÓN II. - Se llaman ecuaciones a las igualdades que sólo se verifican para determinados valores de algunas de sus letras, llamadas incógnitas.

Las incógnitas una ecuación se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, etc.

EJEMPLO: 3 x - 2 = 4 es una ecuación, pues puede demostrarse que sólo se verifica para el valor de la incógnita x = 2.

DEFINICIÓN. - Se llaman raíces de una ecuación, a los valores de las incógnitas que satisfacen a la misma.

EJEMPLO: 2 es la raíz de la ecuaci6n 3 x - 2 = 4

2. Clasificación de las ecuaciones. -

DEFINICION I. – Se dice que una ecuación es entera cuando las incógnitas no figuran en ella como denominador ni con exponente negativo.

Ejemplo:

es una ecuación entera.

DEFINICIÓN II. - Se dice que una ecuación es fraccionaria cuando las incógnitas figuran en alguno de sus términos como denominador o con exponente negativo.

Ejemplo:

es una ecuación fraccionaria

DEFINICIÓN III - Se dice que una ecuación es irracional cuando las incógnitas figuran en alguno de sus términos bajo el signo radical.

Ejemplo:

es una ecuación irracional

3. Ecuaciones equivalentes. -

DEFINICION. - Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas raíces.

EJEMPLO I. - Formemos una ecuación cuya raíz sea x = 4 escribiendo el primer miembro arbitrariamente y el segundo de modo que tome el valor numérico de ese primer miembro para x = 4.

Así, por ejemplo, tendríamos:

3 x - 5 = 7       cuya raíz es x = 4

Formemos del mismo modo una nueva ecuación que tenga la misma raíz x = 4, por ejemplo la

x - 5 = 7 x + 27  

cuya raíz es x = 4

luego

3 x - 5 = 7     y       x - 5 = - 7 x + 27 

tienen la raíz x = 4 común, y como puede demostrarse que es la única raíz de ambas ecuaciones resulta que ellas son equivalentes.

Ejemplo II

OBSERVACIÓN - La definición de ecuaciones equivalentes que se acaba de dar se puedo expresar también así: Dos ecuaciones son equivalentes cuando: 1°) toda raíz de la primera es raíz de la segunda y 2°) cuando toda raíz de la segunda es raíz de la primera.

4. Propiedades de las ecuaciones equivalentes en que se basa la resolución de ecuaciones. - PROPlEDAD I. - Consideremos la ecuación

3 x - 4 = 11                cuya única raíz es x = 5

Sumando un número cualquiera a ambos miembros, por ejemplo 9

lo que nos dice que esta ecuación es equivalente a la dada. Considerando la ecuación dada y sumando a  ambos una expresión entera en x, por ejemplo x - 2, se tiene

lo que nos dice que esta ultima ecuación también es equivalente a la dada.

ECUACIONES: Identidades y ecuaciones - Reglas fundamentales para resolver ecuaciones - Ecuaciones de primer grado. Resolución – Ejemplos - Ecuaciones de segundo grado - Factorización de polinomios de grado dos - Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos - Ecuaciones factorizadas


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