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Ecuaciones

 

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ECUACIONES: Identidades y ecuaciones - Reglas fundamentales para resolver ecuaciones - Ecuaciones de primer grado. Resolución – Ejemplos - Ecuaciones de segundo grado - Factorización de polinomios de grado dos - Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos - Ecuaciones factorizadas

Como sabemos, una ecuación puede entenderse como una condición que deben cumplir ciertos números. En el lenguaje ordinario, es posible expresar una misma condición con términos diferentes. Otro tanto ocurre en el lenguaje de ecuaciones; puede haber diferentes ecuaciones que expresen una misma condición. Por ejemplo, es lo mismo decir que el doble de un número es 3 que decir que su cuádruple es 6. La ecuación que representa la primera expresión es 2x = 3, mientras que la ecuación que representa la segunda es 4x = 6. Pero parece evidente que no hay nada esencialmente diferente entre una y otra ecuación. En ambos casos, el número que resuelve la ecuación es 3/2, que es el número que cumple cualquiera de las dos expresiones literales. De modo análogo, es lo mismo decir que el doble de un número más uno es cinco que, directamente, decir que el doble de dicho número es cuatro. La traducción, en forma de ecuaciones de estas expresiones es, respectivamente, 2x +1 = 5 y 2x = 4. Nuevamente, comprobamos que x = 2 resuelve cualquiera de las dos ecuaciones. Esta idea de ecuaciones que comparten las mismas soluciones es clave para resolver ecuaciones.

Ecuaciones equivalentes:

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

La resolución de ecuaciones consiste, básicamente, en encontrar otras ecuaciones equivalentes a las dadas que sean más simples y, por tanto, más sencillas de resolver. Por ello, tienen particular importancia las reglas que vamos a estudiar a continuación, ya que permiten obtener ecuaciones equivalentes a la dada.

Regla 1:

Si se suma o resta a ambos miembros de una ecuación un mismo número o una misma expresión donde intervengan las incógnitas de la ecuación, se obtiene una ecuación equivalente.

EJEMPLO:

a) Si a cada miembro de la ecuación 2x - 3 = 7 se le suma el número 3, es decir: 2x - 3+3 = 7 +3 se obtiene la ecuación 2x = 10 equivalente a la primera.

b) Si a cada miembro de la ecuación 2x - 3 = 7 - x se le suma la expresión 3+x, es decir:

(2x - 3) +(3 +x) = (7 - x) +(3 +x)

se obtiene la ecuación 3x = 10 equivalente a la primera.

En particular, si se quiere cambiar de miembro alguno de los terminos que aparecen en una ecuación, basta con sumar el opuesto de dicho término a cada miembro de la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación 2x - 3 = 5 - 3x, para pasar al primer miembro el término -3x del segundo, se suma su opuesto 3x a cada miembro; así resulta la ecuación equivalente (2x - 3) +3x = (5 - 3x) +3x o bien, la ecuación 5x - 3 = 5. Este tipo de transformaciones son frecuentes y se resumen en la siguiente regla:

Regla 2:

Se puede pasar cualquier término de una ecuación de un miembro a otro sin más que cambiarle el signo.

EJEMPLO: En la ecuación 3x - 8 = 2x +4, el sumando 2x pasa del segundo miembro al primero con signo menos, 3x - 8 - 2x = 4 y la ecuación que resulta, x - 8 = 4, es equivalente a la primera.

Regla 3:

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación que resulta es equivalente a la primera.

EJEMPLO: Si cada miembro de la ecuación 4x +5 = 2 - 6x se multiplica por 3, se obtiene la ecuación 3(4x+5) =3(2 - 6x), o bien la ecuación 12x+15 =6 - 18x, que es equivalente a la primera.

La ecuación más sencilla que puede plantearse es una ecuación en la que aparece una única variable elevada a exponente 1; esta ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, con una incógnita. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es la ecuación

5x + 4 = 9 - 2x.

La forma de resolver este tipo de ecuaciones es sencilla. La idea consiste en tratar de poner a un lado de la igualdad todos los términos que contienen a la incógnita y al otro lado a los términos que no la contienen. Ello se consigue aplicando de forma adecuada las reglas estudiadas anteriormente. En el caso anterior, para lograr que todos los términos que tienen x estén en el primer miembro de la ecuación y los demás términos en el segundo miembro aplicamos la Regla 2, de forma que pasamos 2x al primer miembro, sumando, y 4 al segundo miembro, restando. Así se llega a la ecuación equivalente:

5x + 2x = 9 - 4

Ahora podemos operar en cada miembro para obtener una nueva ecuación equivalente:

7x = 5

La ecuación anterior es muy sencilla de resolver. Basta dividir los dos miembros de la ecuación por el número 7 que está multiplicando a la incógnita para obtener

x = 5/7

La ecuación lineal con una incógnita 7x = 5, equivalente a la de origen, tiene una forma peculiar: a un lado del signo igual está la incógnita, en este caso x, multiplicada por un número real, en este caso 7; al otro lado del signo igual está únicamente un número real. Esta forma de la ecuación lineal con una incógnita recibe un nombre especial.

Forma normal de la ecuación lineal con una incognita

Si a y b son dos números reales, una ecuación lineal con una incógnita x de la forma

ax=b

Se dice que está en forma normal.

  • El número a se denomina coeficiente de la incógnita
  • El número b se denomina térrmino del lado derecho de la ecuación

Como hemos visto anteriormente, dada una ecuación lineal con una incógnita es sencillo encontrar una ecuación equivalente a ella que esté en la forma normal. Esto se consigue pasando todos los términos donde aparezca la incógnita a un miembro y todos los términos numéricos a la otra. Luego se divide cada miembro por el coeficiente de la incógnita. Este proceso de aislar una incógnita en uno de los miembros de la ecuación se llama despejar la incógnita. Entonces, la solución de la ecuación lineal con una incógnita en forma normal puede encontrase de manera general en función del coeficiente a y del término del lado derecho b.

Resolución de la ecuación lineal con una incognita en forma normal

Dada la ecuación

ax = b

donde a y b son números reales y x es la incognita, se cumple

Si a 0 la ecuación tiene una única solución

x = b/a

Si a=0 hay que distinguir dos casos:

  • Si b=0, la ecuación tiene infinitas soluciones, ya que cualquier número x cumple 0.x = 0
  • Si b0, no hay solución, ya que ningún número x puede cumplir 0.x = b

 

 

 

 


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