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Matemáticas: Ecuaciones.


 

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Las ecuaciones son de suma importancia en las matemáticas y otras ciencias, desde los babilonios, pasando por los egipcios y los griegos,, ...hasta nuestra época, las ecuaciones han sido el pan de cada día para resolver problemas donde se requiere saber el valor de una «incógnita».

Las ecuaciones son igualdades, que se hacen verdaderas para valores específicos, por ejemplo si: 2x +5 = 9 ; para que esta igualdad sea verdadera, el valor de x debe ser 2 y no otro.

Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita que hagan verdadera dicha igualdad. A su vez las soluciones pueden ser reales o imaginarias; según el caso, por ejemplo

Siendo i el símbolo de Imaginario. (Recordemos los números imaginarios del curso de matemáticas básica).

Existen diferentes clases de ecuaciones, según el grado del polinomio que la describe, según el número de variables, según los coeficientes.

Según el grado existen ecuaciones de primer grado, segundo grado, etc. Según el número de variables; ecuaciones de una variable, ecuciones de dos variables, etc.

Según los coeficientes, ecuaciones de coeficientes enteros, de coeficientes racionales, coeficientes reales, etc.

Para resolver ecuaciones, se utiliza los principios de operaciones opuestas, ya que cuando a una ecuación se le suma y resta la misma cantidad a uno de sus términos, ésta no se altera, igual si se multiplica y divide uno de sus términos. Otra forma es sumar o restar a los dos términos de la ecuación la misma cantidad, este no se altera.

En general, a medida que avancemos en el estudio de ecuaciones vamos adquiriendo mucha destreza en su forma de solución.

Objetivo general

. Que los estudiantes identifiquen claramente las ecuaciones, su clasificación, su resolución y la forma de plantearla de situaciones descriptivas.

Objetivos específicos

. Reconocer claramente las ecuaciones de primero, segundo y más grados, de una, dos y tres incóginitas.

. Resolver ecuaciones de primero, segundo y más grados, con una, dos y tres incógnitas. . Solucionar problemas que involucren ecuaciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para analizar las ecuaciones, es necesario conceptualizar algunos términos que son comunes en las ecuaciones.

Constante: son términos que toman valores fijos. En álgebra se usan por lo general las primeras letras del alfabeto; a, b, c,... todos los números se consideran constantes, por ejemplo en la expresión:

los términos a, b, y c trabajan como constantes.

Variable: se consideran a los símbolos que pueden cambiar, generalmente las variables se simbolizan con las últimas letras del alfabeto; x, y, z, w,... por ejemplo, la expresión : ax 2 + bx + cy = k , x y y trabajan como variables.

A manera de ejercicio, identifique las variables y las constantes en las siguientes expresiones:

Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar, en una incógnita, dos incógnitas, tres incógnitas, etc., para el caso de éste curso trabajaremos con ecuaciones de una, dos y tres incógnitas. Es de anotar que el término incógnita es equivalente a variable, en el contexto que estamos trabajando.

En la resolución de una ecuación se pueden aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto numérico que se esté considerando. Pero no siempre una ecuación tiene solución en un conjunto numérico dado.

Si tenemos la ecuación: x +5 = 3. Esta no tiene solución en los Naturales; pero si tiene solución en los enteros, racionales, reales.

La ecuación: x2 - 2 = 0 . No tiene solución en el conjunto de los enteros (Z), pero Si tiene solución en el conjunto de los reales (R) para el caso del presente texto, si no se dice otra cosa, la solución o soluciones, estarán en el conjunto de los Reales.

Leyes de uniformidad: es pertinente recordar las leyes de uniformidad para la suma y producto de número reales.

Estas leyes se pueden extender a la resta y división, salvo para casos con denominador cero.

Para el caso de la potencia y raíz:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

estas ecuaciones son de la forma: ax + b = c , donde a, b, y c son las constantes y x la variable. el valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero.

Estudiaremos los diferentes casos.

Sean las ecuaciones:

Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque la incógnita (variables) tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto significa que éste tipo de cuaciones tienen «una sola» solución.

Resolución: la resolución de ecuaciones, ha tenido diversos aportes desde la antiguedad hasta nuestros días. Vamos a analizar algunos métodos de resolución para éste tipo de ecuaciones.

Método Egipcio: (la Regula falsa)

En algunos libros Egipcios y Chinos, se ha encontrado un método para resolver ecuaciones, llamado la Regla falsa o falsa posición. El método, consiste que a partir de la ecuación dada, se da una solución tentativa inicial y la vamos ajustando según la ecuación dada.

Este método a pesar de ser muy rudimentario, es muy efectivo en muchos casos, para este tipo de ecuaciones.

Método axiomático

Es el método utilizado actualmente, el cual utiliza las propiedades algebráicas y las leyes de uniformidad; ya estudiadas, todo esto derivado de los «Axiomas de campo».

Toda ecuación de primer grado se puede escribir de la forma:

ax + b = c , en donde a, b, c son constantes y a ≠ 0 .

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