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Matemáticas: Ecuaciones. Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas.

 


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Ecuaciones. Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas.

Sistema inconsistente: cuando el sistema no tiene solución alguna, se dice que es inconsistente. Esto ocurre en casos donde la propuesta de equivalencia no se satisface en ningún caso.

Existen diversos métodos de resolver sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

MÉTODO 1. GRÁFICO

Se basa en que en el plano de coordenadas rectángulares, una ecuación de la forma ax +by = c, está representada por una recta, cuyos puntos son parejas cordenadas de número reales; donde el primer componente es x y la segunda y.

Como tenemos dos ecuaciones, deben haber dos rectas. El punto de corte de las rectas indica la solución del sistema.

La solución será: (x,y) punto de corte de las rectas. Cuando las rectas son paralelas, no indica que el sistema no tiene solución (P1 y P2 ). Cuando las rectas coinciden, nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones (M1 y M2).

Este método tiene el inconveniente que la solución no se puede ver exactamente, ya que por visual las coordenadas del punto de corte no son valores exactos; es una aproximación.

MÉTODO 2. ELIMINACIÓN

Es un método algebráico donde se elimina una variable, para hallar el valor de la otra variable. Es el más utilizado y se divide en tres técnicas. Reducción, Igualación y Sustitución.

Reducción

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la reducción consiste en igualar coeficientes de una de las variables;pero con signo contrario, para poder reducir el sistema a una sola variable y así resolverla como ecuación de primer grado con una incógnita.

Obtenido el valor de la variable despejada, ésta se reemplaza en una de las ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra variable.

La nueva ecuación permite despejar y; como 2y = 4, aplicando el método axiomático; entonces:

Esta solución debe satisfacer las dos ecuaciones simultáneamente.

En el ejemplo 1, vemos que fue fácil reducir a y, eliminando x, ya que ésta variable tenía el mismo coeficiente y signos contrarios, pero no siempre es así, en muchos casos es necesario ajustar ésta situación, multiplicando las ecuaciones por valores que permiten obtener coeficientes iguales con signos contrarios en la variable a eliminar.

Solución: primero elegimos la variable a eliminar, cuando es posible, se busca aquella que tenga signos contrarios. Cuando no es posible así, entonces elegimos la que deseemos. Para éte caso elegimos x. Luego para eliminar x, la primera ecuación debe tener coeficiente 3 en la variable x y la segunda puede queda igual, veamos:

Operando el último sistema obtenemos: y = -17

Sabiendo el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra ecuación, veamos.

Verificación, reemplazamos la solución en las ecuaciones originales:

como las igualdades son verdaderas, nos indica que la solución es correcta.

Igualación

Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones dadas, luego «igualar» las expresiones obtenidas en los dos despejes, para que utilizando herramientas matemáticas, se obtenga el valor de la variable en la ecuación de una incógnita obtenida.

Solución: recordemos que debemos despejar la misma variable en las dos ecuaciones, elijamos x, pero antes convertimos los coeficientes a enteros para la primera ecuación:

Sustitución

Si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que se hace es despejar una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y reemplzar la equivalencia de la incógnita en la otra ecuación. Dicho de otra manera, si despejamos la incógnita en la primera ecuación, la reemplazamos en la segunda ecuación o viceversa. Con esto obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya sabemos resolver.

Solución: como lo dice la teoría, despejamos una variable en cualquiera de las ecuaciones, para este caso despejamos x en la primera ecuación:

Tomemos la segunda ecuación:

Verificación: no olvidemos hacer la verificación.

Observación: las técnicas de eliminación se diferencian en hallar el valor de la primera incógnita, la segunda parte del proceso ES SIMILAR; es decir, para hallar el valor de la segunda incógnita el procedimiento es similar en las tres técnicas.

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