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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

 

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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR DETERMINANTES.

Para este método, primero recordemos algunos conceptos sobre determinantes.

Un determinante, es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los elementos, son los valores de las coeficientes de las ecuaciones que forman el sistema.

El tamaño del determinante lo da el número de las filas y columnas, Así hay determinantes de 2 x 2; 3 x 3; 4 x 4, etc. Las filas son horizontales y las columnas son las verticales.

 

Resolver un determinante, es hallar el valor del mismo, según el tamaño, la forma de resolución es muy particular.

Determinante de 2 x 2: para resolver un determinante de 2 x 2, la solución es como se indica a continuación.

Donde D es el valor del determinante.

Ecuaciones por determinantes.

Para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, se utilizan determinantes de 2 x 2. Kramer propuso una técnica para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando determinantes, en su honor se le llama regla de Kramer.

 

Solución: se organizan los determinantes para cada incógnita de la siguiente manera:

 

como el denominador es cero, las incógnitas no tienen valor, esto nos indica que el sistema No tiene solución; es decir, es un sistema inconsistente.

De esta manera hemos aprendido los métodos de resolver ecuaciones simultáneas de dos incógnitas.

Tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas

Habiendo estudiado lo referentes a dos ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de solución, podemos iniciar el estudio de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyos principios son similares.

EJERCICIOS: ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

EJERCICIOS: ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Resolver los siguientes sistemas por determinantes.

MÉTODO UNO. SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN

El método consiste en que a partir de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se reduzca a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que ya sabemos resolver. Para facilitar el proceso, las ecuaciones se enumeran con el fin de hacer seguimiento en cada paso hasta la obtención del valor de las variables.

como tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, el tercer paso es utilizar uno de los métodos estudiados para resolverlos. Para este ejemplo, vemos que la quinta ecuación solo tiene una incógnita, lo que permite la solución más rápida, ya que solo es despejar y. Entonces:

vemos que las variables se eliminan, lo que indica que el sistema es inconsistente. Condición: No hay solución.

Nota: recordemos que el sistema no puede tener solución, ya que es inconsistente.

MÉTODO DOS. SOLUCIÓN POR DETERMINANTES

Cuando tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, debemos trabajar con determinantes de tercer orden.

Determinantes de tercer orden orden son arreglos de tamaño 3 x 3.

Segunda forma: conocido como el método de «Sarrus» consiste en aumentar las dos primeras filas a continuación de la tercera fila y hacer productos cruzados, veamos:

Tercer forma: el método por cofactor, que explicamos con la siguiente ilustración:

 

Nota: la regla de Sarrus, solo es utilizable para determinantes de 3 x 3, el método de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamaño.

Ecuaciones por determinantes: sabiendo cómo se resuelven determinantes de tercer orden, (3 x 3) ahora vamos a analizar la solución de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

«Kramer» propuso una técnica para resolver este tipo de sistema. Veamos el procedimiento.

Dado el sistema:

como podemos ver para que el sistema tenga solución, el determinante de coeficientes debe ser diferente de cero.

como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, es inconsistente, La única solución que se podría tomar es: x = y = z = 0.

Problemas resueltos:

Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres.

a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

b) Resolver el problema.

Solución:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de excursión, tendremos:

Apartado b:

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.

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Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas.

b) Resolver el sistema.

Solución:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:

Apartado b:

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

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Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes:

a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.

b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.

Solución:

Apartado a:

El sistema expresado en forma matricial, será:

Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definición de igualdad de dos matrices, obtendremos el sistema pedido:

Ver temas relacionados :

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices. Resolución por el método de Gauss-Jordan.

 

 

 

 


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