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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES


 

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Matemáticas: Sistemas de ecuaciones.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR DETERMINANTES.

MÉTODO DOS. SOLUCIÓN POR DETERMINANTES

Cuando tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, debemos trabajar con determinantes de tercer orden.

Determinantes de tercer orden orden son arreglos de tamaño 3 x 3.

 

Segunda forma: conocido como el método de «Sarrus» consiste en aumentar las dos primeras filas a continuación de la tercera fila y hacer productos cruzados, veamos:

Tercer forma: el método por cofactor, que explicamos con la siguiente ilustración:

 

Nota: la regla de Sarrus, solo es utilizable para determinantes de 3 x 3, el método de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamaño.

Ecuaciones por determinantes: sabiendo cómo se resuelven determinantes de tercer orden, (3 x 3) ahora vamos a analizar la solución de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

«Kramer» propuso una técnica para resolver este tipo de sistema. Veamos el procedimiento.

Dado el sistema:

como podemos ver para que el sistema tenga solución, el determinante de coeficientes debe ser diferente de cero.

como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, es inconsistente, La única solución que se podría tomar es: x = y = z = 0.

Problemas resueltos:

Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres.

a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

b) Resolver el problema.

Solución:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de excursión, tendremos:

Apartado b:

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.

 

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Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas.

b) Resolver el sistema.

Solución:

Apartado a:

Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:

Apartado b:

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

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Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes:

a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.

b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.

Solución:

Apartado a:

El sistema expresado en forma matricial, será:

Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definición de igualdad de dos matrices, obtendremos el sistema pedido:

Ver temas relacionados :

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices. Resolución por el método de Gauss-Jordan.

 

 


 


 

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