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Ecuaciones de primer grado con una incógnita

 

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Estos ejemplos y otros análogos nos permiten enunciar la siguiente:

PROPIEDAD I. - Si a ambos miembros de una ecuación se les suma un mismo número o una misma expresión entera con respecto a la incógnita se obtiene una ecuación equivalente.

5. Pasaje de términos. - COROLARIO. Si en una ecuación se pasa un término de un miembro al otro con signo contrario, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Efectivamente: Si un número o una expresión entera es término de una ecuación y se suma a ambos miembros de la misma, dicho número o expresión con signo contrario, al simplificar, este término desaparece del miembro en el cual figuraba y aparece en el otro con signo contrario, obteniéndose una ecuación equivalente a la dada de acuerdo con la propiedad I.

EJEMPLO I. - Sea la ecuación 3 x - 2 = 5 x - 4 cuya única raíz es x= 1.

Para pasar el término - 2 del 1er. término al 2°, se suma a ambos miembros de la ecuación el contrario de dicho número que es + 2, y se tiene:

3 x - 2 + 2 = 5 x - 4 + 2

y simplificando queda

3 x = 5 x - 4 + 2 cuya raíz es x = 1 (n° 4)

EJEMPLO II. - Sea la ecuación de 5 x -7 = x - 19 cuya única raíz es x = - 3. Para pasar el término x del 2° miembro al 1°, se suma a ambos miembros de la ecuación el contrario de dicho término que es - x, se tiene:

5 x -7 + (- x) = x - 19 + (- x)

simplificando queda

5 x - 7 - x = - 19 cuya raíz es x = - 3 (n° 4)

6. Propiedad II. - Consideremos la ecuación 8 x - 4 = 20 cuya única raíz es x = 3.

Multiplicado a ambos miembros por un mismo número, distinto de cero, por ejemplo 2, se tiene:

(8 x - 4) 2 = 20 X 2

o sea   16 x - 8 = 40 cuya única raíz es x = 3

o que nos dice que esta ecuación es equivalente a la dada.

Análogamente, dividiendo ambos miembros por un mismo número distinto de cero, por ejemplo por 4, se tiene:

lo que nos dice que esta ecuación es equivalente también a la dada. Estos ejemplos y otros análogos nos permiten enunciar la  siguiente:

PROPIEDAD II. - Si ambos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente.

7. Pasaje de factores o divisores numéricos de un miembro a otro.

COROLARIO. - Si en una ecuación se pasa un factor o divisor distinto de cero de un miembro· a otro como divisor o factor respectivamente, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Efectivamente: Si un número es factor de todo un miembro de una ecuación y se dividen ambos miembros de la misma por dicho factor, al simplificar éste desaparece del miembro en el cual figuraba y aparece en el otro como divisor, obteniéndose una ecuación equivalente a la dada (n° 3).

EJEMPLO.- Sea la ecuación 2 (3 x-5) = 7 x - 13 cuya raíz es x = 3.

Para pasar del factor 2, del primer miembro al segundo, se dividen ambos miembros de la ecuación por dicho factor, y se tiene:

Por otra parte: Si un número es divisor de todo un miembro de una ecuación y se multiplican ambos miembros de la misma por dicho divisor, al simplificar éste desaparece del miembro en el cual figuraba y aparece en el otro como factor, obteniéndose una ecuación equivalente a la dada (n° 6).

Para pasar el divisor 3 del 2° miembro al 1° se multiplican ambos miembros de la ecuación por dicho divisor y se tiene:

8, Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

DEFINICIÓN. - Se llama grado de una ecuación entera con una incógnita, al grado dado por el mayor exponente con que figura la incógnita en dicha ecuación.

Si consideramos una ecuación de primer grado con una incógnita

En general, dada una ecuación de primer grado con una incógnita se podrá, reduciendo los términos semejantes en ambos miembros, reducirla a una expresión del tipo

ax + b = cx + d siendo, a, b, c y d números reales conocidos.

Los términos b y d en los cuales no figura la incógnita se llaman términos independientes.

9. Regla para resolver ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

DEFINICIÓN. - Resolver una ecuación significa hallar sus raíces.
El procedimiento que se sigue para obtenerlas, consiste en reemplazar sucesivamente la ecuación dada por otras equivalentes, hasta llegar a una de la forma x = m, cuya raíz es m. Siendo esta ecuación equivalente a la propuesta resulta que m es raíz de dicha ecuación.

OBSERVACIÓN. - Como la ecuación x = m tiene por raíz solamente a m, porque si un número es distinto de m no puede ser igual a x y además la ecuación x = m es equivalente a la dada resulta que ésta tiene a m como única raíz.

En general: Toda ecuación de primer grado con una incógnita tiene una sola raíz.

Tratemos de resolver la ecuación entera de primer grado con una incógnita:

ax + b = cx + d

Observando que los términos que contienen la incógnita son semejantes, y que los términos independientes son números conocidos, parece conveniente agrupar a los primeros en un miembro y a los segundos en el otro para poder reducirlos.

En nuestro caso pasando el término cx al primer miembro y el término independiente b al segundo, tendríamos:

ax - cx = d - b

ecuación que es equivalente a la dada por una propiedad anterior.

Reduciendo los términos semejantes se tiene

(a - c) x = d - b

Dividiendo ambos miembros por el coeficiente (a - c) de la incógnita, resulta la ecuación

Observando el procedimiento seguido en esta ecuación general, podemos hacer las siguientes indicaciones:
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
Se transponen, todos los términos que contengan la incógnita a un miembro y los independientes al otro.
Se reduce en ellos los términos semejantes.
Si la incógnita queda afectada por un coeficiente, se pasa éste a otro miembro como divisor.

APLICACIONES. - Tratemos de aplicar las indicaciones anteriores a las siguientes ecuaciones:

 

 


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