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Ecuaciones de primer grado con una incógnita


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11. Posibilidad de la introducción de raíces extrañas con la supresión de denominadores. Habíamos visto  que si se multiplican ambos miembros de una ecuación por un mismo número, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Veamos ahora que sucede cuando se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión entera respecto de la incógnita.

EJEMPLO 1. - Sea la ecuación 3 x - 4 = 5 cuya raíz es x = 3

Multiplicando ambos miembros por la expresión x + 2 resulta

(3 x - 4) (x + 2) = 5 (x + 2)

Veamos si la raíz x = 3 de la ecuación dada es raíz de la ecuación obtenida. Reemplazando x por 3 en dicha ecuación y efectuando las operaciones, se tiene:

lo que nos dice que x = 3 es raíz de la ecuación obtenida.

Se comprende, además, que x = - 2 que anula al factor x + 2 que figura en ambos miembros sea raíz de la (1) puesto que para ese valor:

luego la ecuación (3 x - 4) (x + 2) = 5 (x + 2) tiene dos raíces x = 3 y x = - 2 siendo la primera la raíz de la ecuación dada

EJEMPLO II. - Consideremos ahora la ecuación

6 - 2 x = 7 - x cuya única raíz es x = - 1

Multiplicando ambos miembros por x + 1 resulta

(6 - 2 x) (x + 1) = (7 - x) (x + 1) cuya única raíz es x = - 1

Los ejemplos anteriores y otros análogos nos permiten enunciar la siguiente:

PROPIEDAD III. - Si se multiplican los dos miembros de una ecuación por una expresión entera, se obtiene una ecuación con las mismas raíces que la dada pero que puede admitir, además, nuevas raíces.

EJEMPLO. - Sea, por ejemplo, la ecuación

3 x - 4 = 5  [I] , cuya raíz es x = 3

y (3 x - 4) (x + 2) = 5 (x + 2) [II] la ecuación que se obtiene multiplicando ambos miembros por x + 2. Las raíces de esta ecuación son x = 3 y x = - 2: Puede observarse que efectivamente el valor x = - 2 es el que anula a la expresión entera por la que se ha multiplicado, puesto que x + 2 para x = - 2 es igual a – 2 + 2 = 0 y que para ese mismo valor de x es

3 x - 4 = 3 (- 2) - 4 = - 10 ≠ 5

luego x = - 2 es raiz de la [II] pero no de la [I].

12. Ecuaciones fraccionarias con una incógnita. Habíamos definido las ecuaciones enteras de primer grado ; veremos ahora qué se entiende por ecuación fraccionaria de primer grado.

DEFINICIÓN. - Se dice que una ecuación fraccionaria es de primer grado cuando quitados sus denominadores y reducidos sus términos semejantes, se obtiene una ecuación entera de primer grado equivalente a la dada.

13. Regla práctica para resolver ecuaciones fraccionarias con una incógnita.  Sea por ejemplo la ecuación

Siendo mínimo común múltiplo (7 x, x, 2 x) = x, multiplicando ambos miembros de la ecuación por 28 x para suprimir los denominadores literales y numéricos, queda

y como esta ecuación es entera y de primer grado, se resuelve de acuerdo con la regla correspondiente , lo que nos da:

Como al multiplicar por 28 x ambos miembros de la ecuación dada, puede suceder que la ecuación que resulta tenga raíces que no lo sean de la propuesta, vamos a verificar si es x = 2 la raíz buscada

Reemplazando en la ecuación a la incógnita x por 2 , se tiene:

que es igual al segundo miembro, luego x = 2 es raíz de la ecuación dada. Observando que el procedimiento seguido en este ejemplo es general, se deduce la siguiente:

REGLA. - Para resolver una ecuación fraccionaria:

1°) Se suprimen los denominadores, para lo cual se multiplican ambos miembros de la misma por el mínimo común múltiplo de los denominadores en que figure la incógnita y se hacen todas las simplificaciones posibles.
2°) Si la ecuación entera obtenida es de primer grado se la resuelve (Regla nro. 9).
3°) Se verifica la raíz obtenida, desechándola si no satisface a la ecuación dada.

 

 


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