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FRACCIONES DECIMALES. DEFINICIÓN Y RELACIÓN FUNDAMENTAL


 

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FRACCIONES DECIMALES. DEFINICIÓN Y RELACIÓN FUNDAMENTAL

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Definición: Se llaman fracciones decimales aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros. Por ejemplo:

Así como en las aplicaciones de la Aritmética de los números naturales se prefiere utilizar la numeraci6n decimal, en las de los números racionales son las fracciones decimales las más usadas, y por esto, a pesar de que todas las proposiciones que corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya estudiadas para las fracciones en general, merecen un estudio especial.

Relaci6n entre las unidades decimales  - Cuando el numerador de la fracción es 1, la fracción se llama unidad fraccionaria decimal. Según que el denominador sea la unidad seguida de 1. 2, 3, ... n, ... ceros, las unidades decimales se llaman de  primer orden, de segundo orden, de tercer orden ... , de enésimo orden, o también: décimos, centésimos, milésimos, …

Tenemos así la siguiente correspondencia entre las unidades enteras y las decimales:

TEOREMA: Una fracción decimal es igual a diez unidades del orden inmediato siguiente.

DEMOSTRACIÓN: Multiplicando numerador y denominador por 10 es:

Por consiguiente;

Una unidad entera = Un décimo
Un centésimo = 10 décimos.
Un centésimo = 10 milésimos.

Descomposición de una fracción decimal en unidades de diversos órdenes - Dada una fracción decimal cualquiera, es fácil descomponerla en suma de unidades decimales, enteras y fraccionarias, de diversos órdenes. Basta descomponer el numerador en suma de unidades enteras de órdenes sucesivos y descomponer la fracción en suma de fracciones.

EJEMPLOS:

o sea: 4 decenas, 5 unidades, 7 décimos, 2 centésimos, 8 milésimos.

Tales sumas de unidades decimales de diversos órdenes se llamarán en lo sucesivo números decimales.

EJERCICIOS: Descomponer en unidades decimales las fracciones:

NOTACIÓN: En la práctica se usa por analogía con los números enteros la notación:

Yen general: Para representar una fracción decimal en forma de número decimal se escribe el numerador, completado por ceros a la izquierda si es necesario, y se separan con una coma a su derecha tantas cifras como ceros tenga el denominador.

Multiplicación y división de una fracción decimal por la unidad seguida de ceros. - Consideremos, para fijar las ideas, el número:

Para multiplicar una fracción por 10, basta suprimir un cero del denominador y resulta:

2,0735 X 10 = 20,735

es decir, basta correr la coma un lugar a la derecha; para multiplicar aquella por 1000, bastará correr la coma tres lugares, y resulta el entero 20735; para multiplicarla por 10000, habría que agregar todavía un cero a la derecha de 20735, resultando 207350, no siendo aplicable la regla.

Pero si el número decimal lo escribimos: 20,735000 ... con suficiente número de ceros a su derecha, basta correr la coma cuatro lugares para multiplicar por 10000, y puede enunciarse con toda generalidad:

REGLA: Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de m ceros, se traslada la coma m lugares hacia la derecha, completando el número con ceros a su derecha si no tiene bastantes cifras en la parte decimal.

Si al correr la coma un lugar a la derecha el número decimal queda multiplicado por 10, recíprocamente el primer número que tiene la coma un lugar a la izquierda respecto a éste es igual a éste dividido por 10.

Por ejemplo:

25,47 X 10 = 254,7

o sea, por definición de división:

254,7 : 10 = 25,47

Análogamente:

0,1035 X 100 = 10,35

luego:

10,35 : 100 = 0,1035

y como el razonamiento es general, resulta:

REGLA: Para dividir un número decimal por la unidad seguida de m ceros, se traslada la coma m lugares hacia la izquierda, completando el número con ceros a la izquierda si no tiene bastantes cifras su parte entera.

EJEMPLO: Sea el número 1,035.
1,035 X 10 = 10,35
1,035 X 1000 = 1035
1,035 X 100000 = 103500
1,035 : 10 = 0,1035
1,035 : 100 = 0,01035

EJERCICIOS:

1-8) Escribir en forma de número decimal todas las fracciones decimales de los ejemplos anteriores.

Dividir por 1000 y 10000 los números:

9) 458; 10) 8527; 11) 3000; 12) 100001

Multiplicar por 100 y dividir por 1000 los números:

13) 85,01; 14) 10,0001; 15) 500,1001.

Observación: Los ejemplos

ilustran la siguiente observación:

Una fracción decimal no se altera si se agregan ceros a la derecha de la última cifra decimal.

Las operaciones con fracciones decimales. Suma y resta.

Consideremos el siguiente ejemplo:

0,32 + 0,4 =

Escrito en forma de quebrado:

Reduciendo al común denominador 100, resulta:

Teniendo en cuenta que reducir a un común denominador es lo mismo que igualar las cifras decimales, se obtiene la siguiente disposición de cálculo:

Resumiendo:

REGLA: Para sumar números decimales se colocan en columna de modo que se correspondan las comas y se suman por columnas, comenzando por la derecha y sumando a cada columna las decenas de la anterior, de igual modo que en la suma de los números naturales, colocando en el resultado la coma en correspondencia con las de los sumandos.

Idéntico razonamiento y análoga regla práctica resulta para la resta. Si el sustraendo tuviera más cifras decimales que el minuendo, se agregan ceros a la derecha de éste hasta igualarlo.

Ejemplo:

EJERCICIOS:

Efectuar ejercicios como el siguiente: 34.05 + 34,00 + 0,0002.

Multiplicación. - Consideremos el siguiente ejemplo:

0,32 X 0,5

Expresando los factores en forma de quebrado, resulta:

El numerador resulta de multiplicar las fracciones como si fueran enteros, y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como haya en total en los denominadores. Tenemos así el resultado final:

que justifica la siguiente

REGLA: Un número decimal por un entero o dos números decimales se multiplican como enteros, prescindiendo de las comas, y en el producto se separa a la derecha un número de cifras igual a la suma de los números de cifras decimales de ambos.

EJEMPLOS:

1.° 5,001 X 0,103 = (5001 X 103) : 106 = 515103 : 109 = 0,515103

2.° 0,0027 X 0,00015 - (27 X 15) : 106 = 405 : 109 = 0,000000405

3.° Un metro de tela cuesta $ 8,75.  Calcular el costo de 10,50 m.

8,75 X 10,50 =  (875 X 1050) : 104 - 91,875

Costo: $ 91,90. El producto representa pesos, y el multiplicador es el número abstracto 10,50

EJERCICIOS:

1. ° Calcular el costo de 18,35 m. a $ 7,65 el metro.

2.° Calcular el peso de 815,27 1itros a 3.857 Kg. el litros

3.° Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden: 250,36 y 185,07 metros.

Cociente aproximado. - Consideremos el ejemplo:

Como el cociente entero es 1 por defecto y 2 por exceso, diremos que son cocientes aproximados con error inferior a una unidad.

Reemplacemos 12 enteros por 120 décimos; resulta:

y tendremos que:

Diremos que 1,7 es el cociente aproximado por defecto y 1,8 por exceso con error inferior a un décimo; igualmente diremos 12 unidades = 1200 centésimos, es decir:

Diremos: 1,71 es el cociente aproximado por defecto y 1,72 por exceso, con error inferior a un centésimo; de análoga manera se podría calcular el cociente aproximado con error inferior a una unidad decimal de orden cualquiera. Tenemos, por lo tanto, lo siguiente: El mayor número de unidades decimales de orden n contenido en un. cociente de dos enteros es el ccciente entero que resulta multiplicando el dividendo por la unidad seguida de n ceros.

EJEMPLO: El mayor número de décimos del cociente 23 : 45 está comprendido entre 0,5 y 0,6.

El máximo número de centésimos del cociente exacto 125 : 31 es el cociente entero 12500 por 31, que, efectuada la división, resulta ser 403; luego, el cociente exacto está comprendido entre 0,403 y 0,404.

Esta operación se llama reducir un quebrado a decimal.

EJERCICIOS:

1°. Efectuar las siguientes divisiones con error inferior a 1/100 :

2 : 36 ; 3 : 42 ; 25 : 72

2°. Se reparte un millón de pesos entre 1326 personas. ¿Cuánto recibe cado una (con error inferior a un centésimo) ?

3°. Efectuar los cálculos de los ejercicios anteriores con un error inferior a un millonésimo.

División de decimales. División de un decimal por un entero. - Supongamos, para fijar las ideas, que el dividendo es 45,58 y el divisor 21. El cociente es:

Prescindamos de la coma del dividendo y calculemos la parte entera del nuevo cociente:

Como el cociente pedido es la centésima parte de éste, basta dividir por 100 los tres números de esta desigualdad; y, por la ley de monotonía, resulta:

Tenemos, pues, que el cociente por defecto, con error menor que 0,01, es 2,17. El resto no es 1, sino 0,01 y, el cociente exacto es:

La operación que hemos hecho para obtener el cociente ha sido la división, prescindiendo de la coma del dividendo, y separando de la derecha del cociente tantas cifras decimales como tenga el dividendo; o bien se pone la coma una vez efectuada la división de la parte entera del dividendo por el divisor, y resultan tantas cifras decimales en el cociente como cifras decimales se utilicen del dividendo.

REGLA: Para obtener los cocientes aproximados sucesivos de un número decimal por un entero, se efectúa la división prescindiendo de la coma del dividendo.

Las cifras obtenidas utilizando la parte entera del dividendo forman la parte entera del cociente, y cada cifra decimal del dividendo da una cifra decimal del cociente.

EJEMPLO: Prosiguiendo las divisiones en el ejercicio anterior, obtenemos:

División por un número decimal. - Cualquiera que sea el dividendo, se reduce este caso a los anteriores multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como unidades decimales tenga el divisor y basta aplicar la regla antes demostrada en esta lección y la anterior, pudiendo proseguirse la división hasta cualquier orden.

EJEMPLO 1º: Cociente de 0,05618 por 25,64.

Multiplicando por 100 ambos números, o sea corriendo la coma dos lugares a la derecha, se convierten en 5,618 y 2564, y efectuando la división como se ha explicado en el caso anterior, resultan los cocientes· aproximados sucesivos siguientes:

El resto no es 2336, sino 0,2336.

EJEMPLO 2°: Cociente de 0,13 por 0,00127.

Al correr la coma cinco lugares resulta:

El resto no es 79, sino 7,9.

El cociente exacto es: 102,3 + 7,9/127

EJERCICIOS: Calcular con error menor que 0,001 los cocientes:

Expresiones decimales periódicas. - Consideremos las fracciones :

El primer ejemplo es un decimal exacto; en cambio, en el segundo ejemplo, en cualquier momento que interrumpamos la división queda un resto 1 y las cifras del cociente son todas 3; en el tercer caso, los restos no son todos iguales, ni lo son las cifras del cociente, pero también se observa una periodicidad, es decir, se repite el dividendo parcial 200 y a partir de él se repiten las cifras 3 y 6 del cociente.

Esta periodicidad que se observa en los dos ejemplos debe presentarse siempre; pues debiendo ser todos los restos menores que el divisor, como nunca se llega a resto 0, debe repetirse algún resto, y a partir de él se repetirán las cifras del cociente.

Por tanto:

Al reducir a decimal una fracción ordinaria cuyo denominador tiene algún factor distinto de 2 y de 5, resultan infinitas cifras tales que un cierto grupo de ellas, llamado período, se repite indefinidamente.

La expresión obtenida no es propiamente un número decimal, pues tiene un número indefinido de cifras; pero por convención se llamará expresión decimal indefinida o periódica. Con este convenio podemos enunciar:

Toda fracción ordinaria no expresable exactamente en forma decimal da origen a una expresi6n decimal indefinida que es periódica.

La expresión decimal se llama periódica pura cuando el período comienza en las cifras de las décimas, y se llama mixta cuando hay un cierto grupo de cifras (por lo menos una) que no se repite, es decir, el período comienza en una cifra más avanzada; la parte que no se repite suele llamarse anteperíodo.

EJEMPLOS; La expresión decimal de la fracción 1/3 es periódica pura, pues el período está formado por la cifra 3 y no hay parte periódica. En cambio, en la expresión decimal de la fracción 68/55  hay una parte no periódica formada por la cifra 2 y el período está formado por el grupo 36, es decir, la expresión es periódica mixta.

NOTACIÓN: En vez de repetir el período, suele escribirse una sola vez, con un arco que indica su repetición indefinida; así:

Tenemos, pues, dos expresiones decimales engendradas por 1/3 y 68/55, respectlvamente, y se conviene al escribir en forma de igualdad :

EJERCICIOS:

Dar las expresiones decimales de los siguientes quebrados:

EJERCICIOS DE NÚMEROS DECIMALES

PROGRAMA: Ejercicios de reducción de fracciones ordinarias a decimales o fracciones periódicas

1º Reducir a decimal 7/16

Puesto que se trata de una división indicada, efectúo la operación:

2.° Reducir a decimal 2/3

Efectúo la división:

y no continúo la operación, pues, como el residuo es igual al dividendo, el cociente se repetirá, resultando una fracción periódica. Es decir. Puedo poner:

Podemos resumir el procedimiento indicado en la siguiente regla práctica:

Para reducir un quebrado a decimal se divide hasta que el resto sea cero o igual a uno de los dividendos anteriores. En el primer caso,  la fracción decimal resultante es exacta; en el segundo periódica,  siendo el período las cifras del cociente comprendidas entre las que dan iguales restos.

4º. Reducir a decimal :

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